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圆锥曲线选择题


1、 (2011?重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A,B 两点,左焦点为在以 AB 为直径的圆内, 则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A、 (0, ) B、 (1, ) C、 ( ,1) D、 ( ,+∞)
2

2、 (2011?浙江)已知椭圆 C1:

=1 (a>b>0)与双曲线 C2:x ﹣

=1 有公共的焦点,C2 )

的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( A、a =
2

B、a =3

2

C、 =

b2

D、 =2
2

b2

3、 (2011?天津)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px 的焦点的距离为 4, )

且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距为( A、2 B、2 C、4 D、4 4、 (2011?上城区)如图,F2 为双曲线

的右焦点,E 为 OF2 中点.过双曲线左顶点 A 作两

渐近线的平行线分别与 y 轴交于 C、D 两点,B 为双曲线右顶点.若四边形 ACBD 的内切圆经过点 E, 则双曲线的离心率为( )

A、2

B、

C、

D、 )

5、 (2011?陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是( 2 2 2 2 A、y =﹣8x B、y =8x C、y =﹣4x D、y =4x 6、 (2011?山东)已知双曲线
2 2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切, ) =1 D、 =1

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( A、 B、
2

=1

C、

7、 (2011?辽宁)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) A、 B、1 C、 D、

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8、 (2011?湖南)设双曲线

的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为(



A、4 B、3 C、2 D、1 2 2 9、 (2011?安徽)双曲线 2x ﹣y =8 的实轴长是( A、2 B、 C、4 D、 10、 (2010?浙江)设 O 为坐标原点,F1,F2 是双曲线 上存在点 P,满足∠F1PF2=60°,|OP|= A、x± y=0 B、 x±y=0





=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线 )

a,则该双曲线的渐近线方程为( C、x± y=0 D、 x±y=0

11、 (2010?浙江)设 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点.若在双曲线

右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐 近线方程为( ) A、3x±4y=0 B、3x±5y=0 C、4x±3y=0 D、5x±4y=0 12、 (2010?天津)已知双曲线 焦点在抛物线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为( A、 B、
2 2

的一条渐近线方程是 ) D、 )
2 2

,它的一个

C、

13、 (2010?四川)抛物线 y =8x 的焦点到准线的距离是( A、1 B、2 C、4 D、8
2

14、 (2010?陕西)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,则 p 的值为( A、 B、1 C、2
2



D、4
2 2

15、 (2010?陕西)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y ﹣6x﹣7=0 相切,则 p 的值为( A、 B、1 C、2
2



D、4

16、 (2010?山东)已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A、B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A、x=1 B、x=﹣1 C、x=2 D、x=﹣2 17、 (2010?宁夏)已知双曲线 E 的中心为原点,P(3,0)是 E 的焦点,过 P 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点为 N(﹣12,﹣15) ,则 E 的方程式为( ) A、 B、 C、 D、

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18、 (2010?辽宁)设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果 直线 AF 的斜率为 ,那么|PF|=( ) A、 B、8 C、 D、16 19、 (2010?辽宁)设双曲线的﹣个焦点为 F;虚轴的﹣个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A、 B、 C、
2

2

D、 ) )

20、 (2010?湖南) 设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( A、4 B、6 C、8 D、12 21、 (2010?广东) 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是 ( A、 B、 C、 D、

22、 (2010?福建)若点 O 和点 F 分别为椭圆

的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,

则 A、2

的最大值为( B、3

) C、6
2 2

D、8 ) D、

23、 (2010?安徽)双曲线方程为 x ﹣2y =1,则它的右焦点坐标为( A、 B、 C、

24、 (2009?浙江)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF

⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 A、 B、 C、

=2

,则椭圆的离心率是( D、



25、 (2009?浙江)过双曲线



=1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为﹣1 的直线,该直线与双

曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C.若

=

,则双曲线的离心率是(



A、 B、 C、 D、 2 26、 (2009?天津)设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M(

,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点, =( )

与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比

A、

B、

C、

D、

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27、 (2009?天津)设双曲线 近线方程为( A、 ) B、y=±2x C、

的虚轴长为 2,焦距为

,则双曲线的渐

D、
2

28、 (2009?四川)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直 线 l2 的距离之和的最小值是( ) A、2 B、3 C、
2

D、
2

29、 (2009?陕西)”m>n>0”是”方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2 30、 (2009?山东)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) 2 2 A、y =±4x B、y =4x 2 2 C、y =±8x D、y =8x

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答案与评分标准 一、选择题(共 30 小题) 1、 (2011?重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A,B 两点,左焦点为在以 AB 为直径的圆内, 则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A、 (0, ) B、 (1, ) C、 ( ,1) D、 ( ,+∞)

考点:双曲线的简单性质。 分析:求出渐近线方程及准线方程;求得它们的交点 A,B 的坐标;利用圆内的点到圆心距离小于半 径,列出参数 a,b,c 满足的不等式,求出离心率的范围. 解答:解:渐近线 y=± x. 准线 x=± 求得 A( , ) .B( ) ,

左焦点为在以 AB 为直径的圆内, 得出 , b<a, c <2a
2 2



∴ , 故选 B. 点评:本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率 本身要大于 1. 2、 (2011?浙江)已知椭圆 C1: =1 (a>b>0)与双曲线 C2:x ﹣
2

=1 有公共的焦点,C2 )

的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( A、a = C、 =
b2 2

B、a =3 D、 =2
b2

2

考点:椭圆的简单性质;圆锥曲线的综合。 专题:计算题。 分析:先由双曲线方程确定一条渐近线方程为 y=2x,根据对称性易 AB 为圆的直径且 AB=2a,利用椭 2 2 圆与双曲线有公共的焦点,得方程 a ﹣b =5;设 C1 与 y=2x 在第一象限的交点的坐标为(x,2x) ,代

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入 C1 的方程得: 三等分得:2

;对称性知直线 y=2x 被 C1 截得的弦长=2 ,从而可解出 a ,b 的值,故可得结论
2 2

x,根据 C1 恰好将线段 AB

x=

解答:解:由题意,C2 的焦点为(± 且 AB=2a ∴C1 的半焦距 c= ,于是得 a ﹣b =5
2 2

,0) ,一条渐近线方程为 y=2x,根据对称性易 AB 为圆的直径 ① ②,

设 C1 与 y=2x 在第一象限的交点的坐标为(x,2x) ,代入 C1 的方程得: 由对称性知直线 y=2x 被 C1 截得的弦长=2 由题得:2
2

x,

x=
2

,所以



由②③得 a =11b ④ 2 2 由①④得 a =5.5,b =0.5 故选 C 点评:本题以椭圆,双曲线为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题思路清晰,但计算有点烦 琐,需要小心谨慎. 3、 (2011?天津)已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px 的焦点的距离为 4,
2

且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距为( ) A、2 B、2 C、4 D、4 考点:双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系。 专题:计算题。 分析:根据题意,点(﹣2,﹣1)在抛物线的准线上,结合抛物线的性质,可得 p=4,进而可得抛物 线的焦点坐标,依据题意,可得双曲线的左顶点的坐标,即可得 a 的值,由点(﹣2,﹣1)在双曲线 的渐近线上,可得渐近线方程,进而可得 b 的值,由双曲线的性质,可得 c 的值,进而可得答案. 解答:解:根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) , 即点(﹣2,﹣1)在抛物线的准线上,又由抛物线 y =2px 的准线方程为 x=﹣ ,则 p=4, 则抛物线的焦点为(2,0) ; 则双曲线的左顶点为(﹣2,0) ,即 a=2; 点(﹣2,﹣1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为 y=± x, 由双曲线的性质,可得 b=1; 则 c= ,则焦距为 2c=2 ; 故选 B. 点评:本题考查双曲线与抛物线的性质,注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标
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2

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为(﹣2,﹣1)”这一条件的运用,另外注意题目中要求的焦距即 2c,容易只计算到 c,就得到结论. 4、 (2011?上城区)如图,F2 为双曲线 的右焦点,E 为 OF2 中点.过双曲线左顶点 A 作两

渐近线的平行线分别与 y 轴交于 C、D 两点,B 为双曲线右顶点.若四边形 ACBD 的内切圆经过点 E, 则双曲线的离心率为( )

A、2 C、

B、 D、

考点:双曲线的简单性质。 专题:计算题。 分析: 先根据双曲线的几何性质可推断出直线 AD 的方程, 进而利用直线 AD 与四边形 ACBD 的内切圆 相切,结合点到直线的距离公式得到 a,b 关系,最后求得 a 和 c 的关系式,即双曲线的离心率. 解答:解:由题意得:直线 AD 的方程为:AD:y= (x+a) , 即:bx﹣ay+ab=0, 因为直线 AD 与四边形 ACBD 的内切圆相切, 故:r=d,即 ?a=b,

∴双曲线的离心率为 故选 C. 点评:本题主要考查了双曲线的简单性质.涉及求双曲线的离心率问题,解题的关键是找到 a,b 和 c 的关系. 5、 (2011?陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是( ) 2 2 A、y =﹣8x B、y =8x 2 2 C、y =﹣4x D、y =4x 考点:抛物线的标准方程。 专题:计算题。 分析:根据准线方程求得 p,则抛物线的标准方程可得. 解答:解:∵准线方程为 x=﹣2 ∴ =2
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∴p=4

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∴抛物线的方程为 y =8x 故选 B 点评:本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了考生对抛物线基础知识的掌握. 6、 (2011?山东)已知双曲线 =1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切, )
2 2

2

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( A、 B、 =1

C、

=1

D、

=1

考点:圆与圆锥曲线的综合。 专题:综合题;转化思想。 分析:由题意因为圆 C:x +y ﹣6x+5=0 把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0) ,利用双曲线的右 焦点为圆 C 的圆心及双曲线的标准方程建立 a,b 的方程.再利用双曲线
2 2 2 2

=1(a>0,b>0)

的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切,建立另一个 a,b 的方程. 2 2 2 2 解答:解:因为圆 C:x +y ﹣6x+5=0?(x﹣3) +y =4,由此知道圆心 C(3,0) ,圆的半径为 2,又 因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心而双曲线 =1(a>0,b>0) ,∴a +b =9①又双曲线
2 2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y ﹣6x+5=0 相切,而双曲线的渐近线方程为:

2

2

y=

?bx±ay=0,∴

连接①②得

所以双曲线的方程为:



故选 A. 点评:此题重点考查了直线与圆相切的等价条件,还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想 进行解题. 2 7、 (2011?辽宁)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) A、 B、1
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C、

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D、

考点:抛物线的定义。 专题:计算题。 分析:根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的 距离,列出方程求出 A,B 的中点横坐标,求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离. 2 解答:解:∵F 是抛物线 y =x 的焦点 F( )准线方程 x= B(x2,y2) =3

设 A(x1,y1) ∴|AF|+|BF|= 解得

∴线段 AB 的中点横坐标为 ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 故选 C 点评:本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准 线的距离. 8、 (2011?湖南)设双曲线 A、4 B、3 C、2 D、1 考点:双曲线的简单性质。 专题:计算题。 分析:先求出双曲线 的渐近线方程,再求 a 的值. 的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为( )

解答:解:

的渐近线为 y=



∵y=

与 3x±2y=0 重合,

∴a=2. 故选 C. 点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用. 2 2 9、 (2011?安徽)双曲线 2x ﹣y =8 的实轴长是( ) A、2 B、
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C、4 D、 考点:双曲线的标准方程。 专题:计算题。 分析:将双曲线方程化为标准方程,求出实轴长. 2 2 解答:解:2x ﹣y =8 即为

∴a =4 ∴a=2 故实轴长为 4 故选 C 点评:本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值. 10、 (2010?浙江)设 O 为坐标原点,F1,F2 是双曲线 上存在点 P,满足∠F1PF2=60°,|OP|= A、x± y=0 B、 x±y=0 C、x± y=0 D、 x±y=0 考点:双曲线的简单性质。 专题:计算题。 的关系,进而根据 b= ﹣ =1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线 )

2

a,则该双曲线的渐近线方程为(

分析:假设|F1P|=x,进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得 c +5a =14a ﹣2c ,求得 a 和 c 求得 a 和的关系进而求得渐进线的方程.

2

2

2

2

解答:解:假设|F1P|=x OP 为三角形 F1F2P 的中线, 根据三角形中线定理可知 2 2 2 2 x +(2a+x) =2(c +7a ) 2 2 整理得 x(x+2a)=c +5a 由余弦定理可知 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x+ (2a+x)﹣x 2a+x) ( =4c 整理得 x x+2a) ( =14a ﹣2c 进而可知 c +5a =14a ﹣2c 求得 3a =c ∴c= a b= a 那么渐近线为 y=± x,即 x±y=0 故选 D 点评:本题将解析几何与三角知识相结合,主要考查了双曲线的定义、标准方程,几何图形、几何性 质、渐近线方程,以及斜三角形的解法,属中档题 11、 (2010?浙江)设 F1、F2 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线

右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐 近线方程为( ) A、3x±4y=0 B、3x±5y=0
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C、4x±3y=0 D、5x±4y=0 考点:双曲线的简单性质。 专题:计算题。 分析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等量关系,可知答案 选 C, 解答:解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形 PF2F1 是一个等腰三角形,F2 在直线 PF1 的投影是其中点, 由勾股定理知 可知|PF1|=2 =4b
2 2 2 2

根据双曲定义可知 4b﹣2c=2a,整理得 c=2b﹣a,代入 c =a +b 整理得 3b ﹣4ab=0,求得 = ∴双曲线渐进线方程为 y=± x,即 4x±3y=0 故选 C 点评:本题主要考查三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查,属 中档题 12、 (2010?天津)已知双曲线 焦点在抛物线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为( A、 B、
2

的一条渐近线方程是 )

,它的一个

C、

D、

考点:双曲线的标准方程。 分析:由抛物线标准方程易得其准线方程为 x=﹣6,而通过双曲线的标准方程可见其焦点在 x 轴上, 则双曲线的左焦点为(﹣6,0) ,此时由双曲线的性质 a +b =c 可得 a、b 的一个方程;再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± x,可得 = ,则得 a、b 的另一个方程.那么只需解 a、b 的方
2 2 2

程组,问题即可解决. 2 解答:解:因为抛物线 y =24x 的准线方程为 x=﹣6, 则由题意知,点 F(﹣6,0)是双曲线的左焦点, 2 2 2 所以 a +b =c =36, 又双曲线的一条渐近线方程是 y= x, 所以
2


2

解得 a =9,b =27, 所以双曲线的方程为 .
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故选 B. 点评:本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质. 13、 (2010?四川)抛物线 y =8x 的焦点到准线的距离是( A、1 B、2 C、4 D、8 考点:抛物线的简单性质。 专题:计算题。 分析:先根据抛物线的方程求出 p 的值,即可得到答案.
2 2



解答:解:由 y =2px=8x,知 p=4,又交点到准线的距离就是 p. 故选 C. 点评:本题主要考查抛物线的基本性质.属基础题. 2 2 2 14、 (2010?陕西)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,则 p 的值为( A、 B、1



C、2 D、4 考点:抛物线的简单性质。 专题:计算题。 分析: 根据抛物线的标准方程可知准线方程为 解答:解:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为
2 2 2 2

, 根据抛物线的准线与圆相切可知 ,

求得 p.

因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切, 所以 ;

故选 C. 点评:本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系. 15、 (2010?陕西)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y ﹣6x﹣7=0 相切,则 p 的值为( A、 B、1
2 2 2



C、2 D、4 考点:抛物线的简单性质。 专题:计算题。 2 2 2 分析:先表示出准线方程,然后根据抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切,可以 得到圆心到准线的距离等于半径从而得到 p 的值. 解答:解:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为
2 2 2 2



因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切, 所以 故选 C 点评:本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.
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16、 (2010?山东)已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A、B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A、x=1 B、x=﹣1 C、x=2 D、x=﹣2 考点:抛物线的简单性质。 专题:计算题。 分析:先假设 A,B 的坐标,根据 A,B 满足抛物线方程将其代入得到两个关系式,再将两个关系式 相减根据直线的斜率和线段 AB 的中点的纵坐标的值可求出 p 的值,进而得到准线方程. 解答:解:设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则有 y1 =2px1,y2 =2px2, 两式想减得: 1﹣y2) 1+y2)=2p(x1﹣x2) (y (y , 又因为直线的斜率为 1,所以 =1,
2 2

2

所以有 y1+y2=2p,又线段 AB 的中点的纵坐标为 2, 即 y1+y2=4,所以 p=2,所以抛物线的准线方程为 x=﹣ =﹣1. 故选 B. 点评:本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识. 17、 (2010?宁夏)已知双曲线 E 的中心为原点,P(3,0)是 E 的焦点,过 P 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点为 N(﹣12,﹣15) ,则 E 的方程式为( ) A、 B、

C、

D、

考点:双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题。 专题:计算题。 分析:已知条件易得直线 l 的斜率为 1,设双曲线方程,及 A,B 点坐标代入方程联立相减得 x1+x2= ﹣24,根据 = ,可求得 a 和 b 的关系,再根据 c=3,求得 a 和 b,进而可得答案.

解答:解:由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=kFN=1, 设双曲线方程为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ,

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则有



两式相减并结合 x1+x2=﹣24,y1+y2=﹣30 得 = ,

从而=
2 2

=1

即 4b =5a , 2 2 又 a +b =9, 2 2 解得 a =4,b =5, 故选 B. 点评:本题主要考查了双曲线的标准方程.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力. 18、 (2010?辽宁)设抛物线 y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果 直线 AF 的斜率为 ,那么|PF|=( ) A、 B、8 C、 D、16 考点:抛物线的简单性质;抛物线的定义。 分析:先根据抛物线方程求出焦点坐标,进而根据直线 AF 的斜率为 求出直线 AF 的方程,然后 联立准线和直线 AF 的方程可得点 A 的坐标,得到点 P 的坐标,根据抛物线的性质:抛物线上的点到 焦点和准线的距离相等可得到答案. 解答:解:抛物线的焦点 F(2,0) ,准线方程为 x=﹣2,直线 AF 的方程为 , 所以点 、 ,从而|PF|=6+2=8 故选 B. 点评:本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系,考查了等价转化 的思想. 19、 (2010?辽宁)设双曲线的﹣个焦点为 F;虚轴的﹣个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A、 B、 C、 D、
2

考点:双曲线的简单性质;两条直线垂直的判定。 专题:计算题。 分析:先设出双曲线方程,则 F,B 的坐标可得,根据直线 FB 与渐近线 y= 垂直,得出其斜率的乘

积为﹣1,进而求得 b 和 a,c 的关系式,进而根据双曲线方程 a,b 和 c 的关系进而求得 a 和 c 的等
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式,则双曲线的离心率可得. 解答:解:设双曲线方程为 则 F(c,0) ,B(0,b) 直线 FB:bx+cy﹣bc=0 与渐近线 y= 所以
2 2



垂直,

,即 b =ac
2

2

所以 c ﹣a =ac,即 e ﹣e﹣1=0, 所以 或 (舍去)

点评:本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程 思想. 2 20、 (2010?湖南) 设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( ) A、4 B、6 C、8 D、12 考点:抛物线的定义。 专题:计算题。 分析:先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程,根据点 P 到 y 轴的距离求得点到准线的距离进而 利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等,进而求得答案. 解答:解:抛物线 y =8x 的准线为 x=﹣2, ∵点 P 到 y 轴的距离是 4, ∴到准线的距离是 4+2=6, 根据抛物线的定义可知点 P 到该抛物线焦点的距离是 6 故选 B 点评:本题主要考查了抛物线的定义.充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等 这一特性. 21、 (2010?广东) 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是 ( ) A、 C、 B、 D、
2

考点:椭圆的应用;数列的应用。 专题:计算题。 分析:先设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c,由题意可知:a+c=2b,由此可以导出该椭圆的离心率. 解答:解:设长轴为 2a,短轴为 2b,焦距为 2c, 则 2a+2c=2×2b, 即 a+c=2b?(a+c) =4b =4(a ﹣c ) ,所以 3a ﹣5c =2ac,同除 a , 整理得 5e +2e﹣3=0,∴
2 2 2 2 2 2 2 2

或 e=﹣1(舍去) ,
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故选 B. 点评:本题考查等差数列和椭圆的离心率,难度不大,只需细心运算就行. 22、 (2010?福建)若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,



的最大值为(



A、2 B、3 C、6 D、8 考点:椭圆的标准方程;平面向量数量积的含义与物理意义。 专题:综合题。 分析:先求出左焦点坐标 F,设 P(x0,y0) ,根据 P(x0,y0)在椭圆上可得到 x0、y0 的关系式,表示 出向量 、 ,根据数量积的运算将 x0、y0 的关系式代入组成二次函数进而可确定答案.

解答:解:由题意,F(﹣1,0) ,设点 P(x0,y0) ,则有 因为 , ,

,解得



所以

=

=



此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=﹣2, 因为﹣2≤x0≤2,所以当 x0=2 时, 取得最大值 ,

故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、 二次函数的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力. 23、 (2010?安徽)双曲线方程为 x ﹣2y =1,则它的右焦点坐标为( A、 C、 B、 D、
2 2



考点:双曲线的简单性质。 专题:计算题。 分析:把双曲线方程化为标准方程可分别求得 a 和 b,进而根据 c= 解答:解:双曲线的 ∴右焦点为 .
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求得 c,焦点坐标可得.







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故选 C

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点评:本题考查双曲线的交点,把双曲线方程先转化为标准方程,然后利用 c =a +b 求出 c 即可得出 2 2 交点坐标.但因方程不是标准形式,很多学生会误认为 b =1 或 b =2,从而得出错误结论. 24、 (2009?浙江)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF

2

2

2

⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 A、 C、 B、 D、

=2

,则椭圆的离心率是(



考点:椭圆的简单性质。 专题:数形结合。 分析:先求出点 B 的坐标,设出点 P 的坐标,利用 解答:解:如图,由于 BF⊥x 轴,故 xB=﹣c,yB= ∵ =2 , ﹣t) . =2 ,得到 a 与 c 的关系,从而求出离心率.

,设 P(0,t) ,

∴(﹣a,t)=2(﹣c, ∴a=2c, ∴e= = , 故选 D.

点评:本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用,体现了数形结合的数学思想. 25、 (2009?浙江)过双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为﹣1 的直线,该直线与双

曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C.若 A、 C、 B、 D、

=

,则双曲线的离心率是(



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考点:直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质。 专题:计算题。 分析:分别表示出直线 l 和两个渐进线的交点,进而表示出
2 2 2



,进而根据

=

求得 a 和 b

的关系,进而根据 c ﹣a =b ,求得 a 和 c 的关系,则离心率可得. 解答:解:直线 l:y=﹣x+a 与渐近线 l1:bx﹣ay=0 交于 B( l 与渐近线 l2:bx+ay=0 交于 C( , ) ,A(a,0) , , ) ,



=(﹣



) ,

=(

,﹣

) ,∵

=




2

=
2 2

,b=2a,

∴c ﹣a =4a , ∴e =
2

=5,∴e=



故选 C. 点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.要求学生有较高地转化数学思想的运用能力,能 将已知条件转化到基本知识的运用. 26、 (2009?天津)设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M(
2

,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点, =( )

与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比

A、 C、

B、 D、

考点:抛物线的应用;抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题。 专题:计算题;数形结合。 分析:根据 F 到直线 AB 的距离为定值.推断出 = ,进而根据两三角形相似,推断出

=

,根据抛物线的定义求得

=

,根据|BF|的值求得 B 的坐标,进而利用两点式求得直线的方程,把 x=
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代入,即可

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求得 A 的坐标,进而求得 的值,则三角形的面积之比可得. 解答:解:如图过 B 作准线 l:x=﹣ 的垂线,垂足分别为 A1,B1, 由于 F 到直线 AB 的距离为定值. ∴ = .

又∵△B1BC∽△A1AC、 ∴ = ,

由拋物线定义

=

=



由|BF|=|BB1|=2 知 xB= ,yB=﹣ ∴AB:y﹣0= (x﹣ ) .



把 x=

代入上式,求得 yA=2,xA=2,

∴|AF|=|AA1|= . 故 故选 A = = = .

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点评:本题主要考查了抛物线的应用,抛物线的简单性质.考查了学生基础知识的综合运用和综合分 析问题的能力. 27、 (2009?天津)设双曲线 近线方程为( A、 C、 ) B、y=±2x D、 的虚轴长为 2,焦距为 ,则双曲线的渐

考点:双曲线的简单性质。 专题:计算题。 分析:由题意知 程为 . , ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,由此可知渐近线方

解答:解:由已知得到 因为双曲线的焦点在 x 轴上, 故渐近线方程为 ;

故选 C. 点评:本题主要考查了双曲线的几何性质和运用.考查了同学们的运算能力和推理能力. 2 28、 (2009?四川)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直 线 l2 的距离之和的最小值是( ) A、2 B、3 C、 D、

考点:抛物线的定义;点到直线的距离公式。
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专题:计算题。 分析:先确定 x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线,再由抛物线的定义得到 P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的 2 焦点 F(l2,0)的距离,进而转化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(l2,0)和直线 l2 的 距离之和最小,再由点到线的距离公式可得到距离的最小值. 2 解答:解:直线 l2:x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离, 2 故本题化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(l2,0)和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(l2,0)到直线 l2:4x﹣3y+6=0 的距离, 即 d= ,
2

故选 A. 点评:本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,考查基础知识的综合应用.圆锥曲线是高考的热 点也是难点问题,一定要强化复习. 29、 (2009?陕西)”m>n>0”是”方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 考点:椭圆的应用。 专题:常规题型。 分析:将方程 mx +ny =1 转化为
2 2 2 2



,然后根据椭圆的定义判断.

解答:解:将方程 mx +ny =1 转化为

2

2



根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足 所以 ,



故选 C. 点评:本题考查椭圆的定义,难度不大,解题认真推导. 2 30、 (2009?山东)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) 2 2 A、y =±4x B、y =4x 2 2 C、y =±8x D、y =8x 考点:抛物线的标准方程。 专题:计算题。 分析:先根据抛物线方程表示出 F 的坐标,进而根据点斜式表示出直线 l 的方程,求得 A 的坐标,进 而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得 a,则抛物线的方程可得. 解答:解:抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为
2



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则直线 l 的方程为 它与 y 轴的交点为 A 所以△OAF 的面积为 解得 a=±8.

, , ,

所以抛物线方程为 y =±8x, 故选 C. 点评:本题主要考查了抛物线的标准方程,点斜式求直线方程等.考查学生的数形结合的思想的运用 和基础知识的灵活运用.

2

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