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人教a版高考数学(理)一轮课件:4.7正弦定理、余弦定理及其实际应用


第7讲 正弦定理、余弦定理及其 实际应用 考纲展示 1.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角 形度量问题. 2.应用 能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关 的实际问题. 考纲解读 高考对正弦定理及余弦定理这部分内容的考查主 要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、 三角形内的三角函数求值及三角恒等式的证明

、 解析几何中有关的角及实际应用等问题 , 多以正 弦定理、余弦定理为框架 , 以三角形为主要依托 , 来综合考查三角知识 , 题型一般是选择题和填空 题,也有可能是中档难度的解答题. 1.正弦定理: a A = b B = c =2R,其中 C R 是三角形外接圆的半径.由正 弦定理可以变形为:(1)a∶ b∶ c=sin A∶ sin B∶ sin C;(2)a=2Rsin A,b=2Rsin B, a 2R b 2R c 2R c=2Rsin C;(3)sin A= ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题. 2.余弦定理 (1)余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. (2)余弦定理的变形 cos b +c2 -a2 A= ,cos 2bc 2 a2 +c2 -b B= 2ac 2 ,cos a2 +b -c2 C= . 2ab 2 勾股定理是余弦定理的特殊情况,余弦定理是勾股定理 的推广.在余弦定理表达式中分别令 A,B,C 为 90° ,则上述关系式分别化为 a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2. 3.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时解的情况 A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式 解个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 4.△ABC 的面积公式 (1)S= a· ha(ha 表示 a 边上的高); (2)S= absin C= acsin B= bcsin A; (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径); 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4)S= p(p-a)(p-b)(p-c) 其中 p = (a + b + c) . 5.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的六个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解,常见类型 及其解法如下表所示. 已知条件 一边和两角 (如 a , B , C ) 两边和夹角 (如 a,b,C) 三边(a,b,c) 两边和其中 一边的对角 (如 a,b,A) 应用定理 正弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 一般解法 由 A+B+C=180° ,求角 A;由正弦定理求出 b 与 c. 在有解时只有一解 由余弦定理求第三边 c;由正弦定理求出小边所对 的角;再由 A+B+C=180° 求出另一角.在有解时只 有一解 由余弦定理求出角 A,B;再利用 A+B+C=180° ,求出 角 C.在有解时只有一解 由正弦定理求出角 B;由 A+B+C=180° ,求出角 C; 再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解,一解或 无解 6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物 理问题等. 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,

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