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第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准


第 28 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 参考解答与评分标准
一、选择题. 答案: 1.C 2.C 3.BC 4.A 5.D 评分标准: 本题共 5 小题,每小题 6 分.全部选对的得 6 分,选对但不全的得 3 分,有选错或 不答的得 0 分. 二、填空题 答案与评分标准: 6.2.5m ( 6 分) 7.

3 s (10 分) 5
ke

2 ( 6 分) Ek ? ECl
2.0×10-9 (2 分)

8.

9.9 ( 10 分) 10. i.如图所示.( 8 分) (图错不给分,图 不准确酌情评分.) ii. 并联电阻两端的电压 U0=2.3V (2 分) , 通过电阻 1 的电流 I10=1.2A (3 分) ,通过电 阻 2 的电流 I20= 2.2A ( 3 分) (读数第一位必 须正确,第二位与答案不同,可酌情评分.) iii.2.5 W ( 2 分), 4 .9W ( 2 分) 11.参考解答: i.设空间站离地面的高度为 H, 因为同 步卫星的周期和地球自转周期相同,根据开 普勒第三定律以及题意有

(R ? H )3 T 2 ? ( R ? H 0 )3 T02


(1)

T H ? ( R ? H ) ( 2 )/ 3 ? R 0 T0

(2)

代人数据得 H= 376km (3) 卫星的高度 h =H 一 l =356km (4) 卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用 下跟随空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运动,有

1 第页

G

Mm 2? ? F ? m( ) 2 ( R ? h ) 2 ( R ? h) T

(5)

式中 G 为万有引力常量, M 为地球质量.空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的圆 周运动 故有

G

Mm? 2? ? m?( )2 ( R ? h) 2 ( R ? h) T

(6)

式中 m’为空间站的质量.由(5)(6)两式得 、

2? 2 ( R ? H )2 F ? m( ) ( R ? h)[ ? 1] T ( R ? h) 2

(7)

将(3)(4)式及其他有关数据代人(7)式得 F=38.2N 、 (8) ii.细绳脱落后,卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆.在脱落的瞬间,卫 星的速度垂直于卫星与地心的连线,所以脱落点必是远地点(或近地点) ,由( 4)式可知,此 点到地面的高度 h =356km (9) 设卫星在近地点(或远地点)的高度为 h',速度为 v',根据开普勒第二定律,有

( R ? h?)v? ?
根据机械能守恒,有

2? ( R ? h) 2 T

(10)

1 Mm 1 2? Mm mv?2 ? G ? m( )2 ( R ? h) 2 ? G 2 R ? h? 2 T R?h
联立(10)(11)两式并利用(6)式得 、

(11)

h? ?
代 人 (13 ) 有

( R ? h) 4 2( R ? H )3 ? ( R ? h)3
数 据 有 h ' =

(12) 238km



由(9)(13)两式可知,远地点到地面的高度为 356km,近地点到地面的高度为 238km . 、 设卫星的周期为 T ',根据开普勒第三定律,卫星的周期

T? ? (

2 R ? h ? h? 3/ 2 ) T 2R ? 2H

(14)

代人数据 T '= 90 . 4min (15) 评分标准:本题 17 分. 第 i 小题 9 分. ( l)式 2 分, ( 5)式 3 分, ( 6)式 2 分, (8)式 2 分. 第 ii 小题 8 分. (9)(10)式各 l 分, (11)式 2 分, (12)(13)(14)(15)式各 1 分. 、 、 、 、 12.参考解答: 解法一 因为下坡时自行车匀速行驶,可知阻力大小 f=mgsinθ (1) 由题意,自行车沿斜坡匀速向上行驶时,轮盘的角速度

2 第页

??

2? N t

(2)

设轮盘边缘的线速度为 v1,由线速度的定义有 v1=ω R1 (3) 设飞轮边缘的线速度为 v2,后车轮边缘的线速度为 v3,因为轮盘与飞轮之间用链条连结,它 们边缘上的线速度相同,即 v1=v2 (4) 因飞轮与后车轮的转动角速度相同,故有

v2 R2 ? v3 R3

(5)

因车轮与坡面接触处无滑动, 在车后轮绕其中心轴转动一周的时间 T 内, 车后轮中心轴前进的 路程

?s ? 2? R3


(6 )

T?

2? R3 v3

(7)

车后轮的中心轴前进的速度即自行车行驶速度的大小

V?

?s T
2? NR1 R3 R2t

(8)

由以上有关各式得

V?

(9)

人骑自行车上坡的功率为克服阻力 f 的功率加上克服重力沿斜面分力的功率,即 P=fV+mgVsinθ 由(l)(9)(10)式得 、 、

(10)

P?

4mg? NR1 R3 sin ? R2t

(11)

评分标准:本题 17 分. ( l)式 3 分,求得(9 式共 8 分, (10)式 5 分, (11)式 1 分. 解法二 因下坡时自行车匀速行驶,若自行车出发点的高度为 h,则克服阻力所做的功 Wf 等于势 能的减少,有 Wf=mgh (1) 用 s 表示自行车行驶的路程,有 h=ssinθ (2 ) 自行车沿斜坡匀速向上行驶时,骑车者所做的功 W,等于克服阻力的功 Wf 与势能增量 mgh 之和,即 W=Wf+mgh (3) 设骑车者蹬踩踏板 N 圈到达下坡时的出发点,因踏板转 N 圈可使后轮转 NR1/R2 圈,所以自行

3 第页

车行驶的距离 s 为

s?

NR1 ? 2? R R2

(4)

由(1)到(4)式,得

W?

4? NR1 R3 ? mg sin ? R2t

(5)

上式除以所用时间 t,即得骑车者功率

P?

W 4mg? NR1 R3 ? sin ? t R2t

(6)

评分标准:本题 17 分. ( I)式 3 分, ( 2)式 l 分, (3)式 4 分, (4)式 6 分, (5)式 l 分, (6)式 2 分. 13.参考解答: 当环的角速度到达ω 0 时,环的动能

1 Ek ? m( R? 0 )2 2
若在时刻 t,环转动的角速度为ω ,则环上电荷所形成的等效电流

(l)

I?
感应电动势

q 2? R

R? ?

??

?? ?I ?k ?t ?t

?q 2?

(2) (3) (4)

由(2)(3)式得 、

? ?k

q ?? 2? ?t

环加速转动时,要克服感应电动势做功,功率为 P1=εI (5) 因为是匀加速转动,所以ω 和 I 都随时间 t 线性增加.若角速度从零开始增加到ω 0 经历的时 间为 t0,则有

?0 ?

?? t0 ?t

(6)

若与ω 0 对应的等效电流为 I0,则在整个过程中克服感到电动势做的总功

1 W1 ? ? I 0t0 2
由以上有关各式得

(7)

W1 ? k
外力所做的总功

?02 q 2 8? 2

(8)

W ? W1 ? Ek ? k
评分标准:本题 20 分.

?02 q 2 1 ? m( R? 0 )2 2 8? 2

(9)

4 第页

(1)式 3 分,(2)式 4 分,(3)式 2 分,(5)式 3 分, (6)式 2 分, (7)式 3 分,(8) 式 l 分, (9)式 2 分 14.参考解答: i.由于子弹射人摆球至停留在球内经历的时间极短,可以认为在这过程中摆球仅获得速 度但无位移.设摆球(包括停留在球内的子弹)向前(指垂直于图面向里)的速度为 u,由动 量守恒定律有 mv0=2mu (l) 摆球以速度 u 开始向前摆动,木块亦发生运动.当摆球上升至最高时,摆球相对木块静止, 设此时木块的速度为 V,摆球上升的高度为 h,因水平方向动量守恒以及机械能守恒有 2mu=(2m+M)V (2)

1 mu 2 ? (2m ? M )V 2 ? 2mgh 2
解(l)(2)(3)三式得 、 、
2 Mv0 8 g (2m ? m)

(3)

h?

(4)

ii.摆球升到最高后相对木块要反向摆动.因为在摆球从开始运动到摆线返回到竖直位置 前的整个过程中,摆线作用于支架的拉力始终向斜前方,它使木块向前运动的速度不断增大; 摆线经过竖直位置后,直到摆线再次回到竖直位置前,摆线作用于支架的拉力将向斜后方, 它使木块速度减小,所以在摆线(第一次)返回到竖直位置的那一时刻,木块的速度最大, 方向向前 以 V’表示摆线位于竖直位置时木块的速率,u’表示此时摆球的速度(相对桌面) ,当 u' >0,表示其方向水平向前,反之,则水平向后.因水平方向动量守恒以及机械能守恒,故有 (5) 2mu ? 2mu? ? MV ?

1 mu 2 ? mu?2 ? MV ?2 2
解(1)(5)(6)三式可得摆线位于竖直位置时木块速度的大小 、 、

(6)

V? ? 0
V? ? 2mv0 2m ? M

(7) (8)

(7)式对应于子弹刚射人摆球但木块尚未运动时木块的速度,它也是摆球在以后相对木块往 复运动过程中摆线每次由后向前经过竖直位置时木块的速度;而题中要求的木块的最大速率 为(8)式,它也是摆球在以后相对木块的往复运动过程中摆线每次由前向后经过竖直位置时 木块的速度. iii.在整个运动过程中,每当摆线处于竖直位置时,小球便位于最低处.当子弹刚射人摆 球时,摆球位于最低处,设这时摆球的速度为 u,由(l)式得

u?

1 v0 2

(9)

方向水平向前.当摆球第一次回到最低处时,木块速度最大,设这时摆球的速度为 u',由 (l) 、 (5)(6)三式和(8)式可得 、

1 m? M 2 v u? ? 0 M ? 2m

(10)

5 第页

其方向向后. 当摆球第二次回到最低处时,由(7)式木块速度减至 0,设这时摆球的速度为 u'', 由(l)(5)(6)式可得 、 、 u''= u ?

1 v0 2

(11)

方向向前,开始重复初始的运动. 评分标准:本题 20 分. 第 i 小题 8 分.(1) 式 1 分,(2)(3)式各 3 分, (4)式 l 分 、 第 ii 小题 7 分.(5)、(6)式各 3 分,(8)式 l 分 第 iii 小题 5 分. ( 9 )式 l 分, (10)式 3.分, (11)式 l 分. 15.参考解答: 先设磁感应强度为 B 的匀强磁场方向垂直 xy 平面向 里,且无边界.考察从粒子源发出的速率为 v、方向与 x 轴夹角为 θ 的粒子,在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆 周运动,圆轨道经过坐标原点 O,且与速度方向相切, 若圆轨道的半径为 R,有

qvB ? m
mv qB

v2 R

(1)



R?

(2)

圆轨道的圆心 O’在过坐标原点 O 与速度方向垂直的直 线上,至原点的距离为 R,如图 1 所示.通过圆心 O’ 作平行于 y 轴的直线与圆轨道交于 P 点,粒子运动到 P 点时其速度方向恰好是沿 x 轴正方向,故 P 点就在磁场 区域的边界上.对于不同人射方向的粒子,对应的 P 点 的位置不同,所有这些 P 点的连线就是所求磁场区域的 边界线.P 点的坐标为 x=—Rsinθ (3 ) y=一 R + Rcosθ (4) 这就是磁场区域边界的参数方程,消去参数 θ,得 x2 +(y+R)2=R2 (5) 由(2)(5)式得 、

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

(6)

这是半径为 R 圆心 O’ ’的坐标为(0,一 R ) 的圆,作为题 所要求的磁场区域的边界线, 应是如图 2 所示的半个圆周, 故磁场区域的边界线的方程为

x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

x?0 y?0

(7)

6 第页

若磁场方向垂直于 xy 面向外,则磁场的边界线为如图 3 示的半圆,磁场区域的边界线的 方程为 x2 +(y—R)2=R2

x?0 y?0 x?0 y?0

(8 )



x2 ? ( y ?

mv 2 m2v 2 ) ? 2 2 qB q B

(9)

证明同前 评分标准:本题 20 分. ( l)或(2)式 2 分, (3)(4)式各 4 分, (7)式 3 分,图(图 2 ) 2 分(只要半圆的位 、 置正确就给 2 分), (9)式 3 分,图(图 3 ) 2 分(只要半圆的位置正确就给 2 分) 16.参考解答: 以 t =0 时刻船 A 所在的位置为坐标原点 O,作如 图 1 所示平面直角坐标系 Oxy,x 轴指向正东,y 轴指 向正北.可以把船 C 的速度分解成沿正东方向的分速 度 vx 和沿正北方向的分速度 vy 两个分量.根据题意有 vx=vy=2u (1) 在 t 时刻,三船的位置如图 1 所示.B、C 二船在 y 方 向位移相等,两船的连线 BC 与 x 轴平行,两船间的距 离

BC ? a ? 2ut
BC 的中点到 B 点的距离为

(2)

1 a ? ut .中点 M 的坐标分别为 2 1 3 xM ? a ? a ? ut ? a ? ut 2 2
yM ? 2ut

(3) (4)

可见 M 点沿 x 方向的速度为 u,沿 y 方向的速度为 2u,在 t = 0 时刻 BC 的中点在 x 轴上,其 x 坐标为 3a/2. 在与 M 点固连的参考系中考察, 并建立以 M 为原点的直角坐标系 Mx'y' , x'轴与 x 轴平行, y'轴与 y 轴平行,则相对 M,船 A 的速度只有沿负 y'方向的分量,有 uAM=uAM y'=—2u (5) 在时刻 t,船 A 在坐标系 Mx'y'的坐标为

3 x? ? ? a A 2
y? ? u AM t A

(6) (7)

可以把 A 船的速度分解为沿连线 MA 方向的分量 uAM1 和垂直于连线 MA 方向的分量 uAM2 两 个分量,uAM1 使连线 MA 的长度增大,uAM2 使连线 MA 的方向改变,如图 2 所示.若用 R 表 示 t 时刻连线 MA 的长度,则连线 MA 绕 M 点转动的角速度

7 第页

??

u AM 2 R

(8)

若 MA 与 x'轴的夹角为θ ,则有

u AM 2 ? u AM cos ?


(9)

cos ? ?

x? A R

(10)

R ? x?2 ? y ?2 A A
由(5)到(10)各式得

(11)

??

12au 9a ? 16u 2t 2
2

(12)

评分标准:本题 20 分. 求得(5)式共 6 分, ( 6)(7)式各 l 分, (8)式 6 分, (9)式 2 分, (10) (11)式各 l 、 、 分,( 12 ) 式 2 分

8 第页


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