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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第9章 第5节 线面、面面垂直的判定与性质


第九章

第五节

一、选择题 1.(文)(2014· 温州十校联考)关于直线 a,b,l 及平面 α,β,下列命题中正确的是( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,b⊥a,则 b⊥α C.若 a?α,b?α,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥α D.若 a⊥α,a∥β,则 α⊥β [答案] D [解析] 平行于同一平面的两条直线

的位置关系不确定,故 A 错;a∥α,b⊥a 时,经过 b 与 a 垂直的平面 α 内任一条直线 l 都与 a 垂直,但 l 与 α 的位置关系不确定,每一条直线 l 都 可取作直线 b,故 B 错;对于 C,当 a 与 b 相交时,结论成立,当 a 与 b 不相交时,结论错误, 故 C 错;∵a∥β,设经过 a 的平面与 β 相交于 c,则 a∥c,∵a⊥α,∴c⊥α,∴α⊥β,故 D 正确. (理)已知两条不同的直线 m、n,两个不同的平面 α、β,则下列命题中的真命题是( A.若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n B.若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m∥n C.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n D.若 m∥α,n⊥β,α⊥β,则 m∥n [答案] A [解析]
? m⊥α? ??m∥β或m?β α⊥β ? ? ?m⊥n,故 A 正确;

)

)

n⊥β

? ? ?

如图(1),m⊥α,n⊥α 满足 n∥β,但 m∥n,故 C 错; 如图(2)知 B 错;

如图(3)正方体中,m∥α,n⊥β,α⊥β,知 D 错. 2.(文)设 α、β、γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题

-1-

①若 α⊥β,β⊥γ,则 α⊥γ;②若 l 上两点到 α 的距离相等,则 l∥α;③若 l⊥α,l∥β, 则 α⊥β;④若 α∥β,l?β,且 l∥α,则 l∥β. 其中正确的命题是( A.①② C.②④ [答案] D [解析] 对于①:若 α⊥β,β⊥γ,则可能 α⊥γ,也可能 α∥γ.对于②:若 l 上两点到 α 的 距离相等,则 l∥α,显然错误.当 l⊥α,l∩α=A 时,l 上到 A 距离相等的两点到 α 的距离相 等.③④显然正确. (理)设 a、b 为两条直线,α、β 为两个平面,下列四个命题中真命题是( A.若 a、b 与 α 所成角相等,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,α⊥β,则 a⊥b C.若 a?α,b?β,a⊥b,则 α⊥β D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,则 a⊥b [答案] D [解析] 正四棱锥 P-ABCD 中,PA、PC 与底面 ABCD 所成角相等,但 PA 与 PC 相交, ∴A 错;如图(1)正方体中,a∥b∥c,满足 a∥α,b∥β,α⊥β,故 B 错;图(2)正方体中,上、 下底面为 β、α,a、b 为棱,满足 a?α,b?β,a⊥b,但 α∥β,故 C 错; ) ) B.②③ D.③④

? a⊥α? ??a∥β或a?β ? α⊥β? ?b⊥a,故 D 真.

b⊥β

? ? ?

3.(2014· 浙江温州第一次适应性测试)m 是一条直线,α,β 是两个不同的平面,以下命题 正确的是( ) B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β

A.若 m∥α,α∥β,则 m∥β C.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β [答案] D

[解析] 若 m∥α,α∥β,则 m∥β 或 m?β,A 错误;若 m∥α,m∥β,则 α∥β 或 α∩β =l,且 m∥l,B 错误;若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 或 m∥β 或 m?β,C 错误;∵m∥α,∴存 在直线 n?α,使 m∥n,∵m⊥β,∴n⊥β,又∵n?α,∴α⊥β,故选 D.
-2-

4.(文)(2013· 深圳调研)如图,在立体图形 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列结论正确的是( A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE [答案] C [ 解析 ] 要判断两个平面的垂直关系,就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂 )

直.因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE. 因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC?平面 ACD,所以平面 ACD⊥ 平面 BDE.所以选 C. (理)(2014· 望江期中)在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下 面四个结论中不成立 的是( ... A.BC∥平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC [答案] C [解析] ∵D、F 分别为 AB、CA 中点,∴DF∥BC. ) B.DF⊥平面 PAE D.平面 PAE⊥平面 ABC

∴BC∥平面 PDF,故 A 正确. 又∵P-ABC 为正四面体, ∴P 在底面 ABC 内的射影 O 在 AE 上. ∴PO⊥平面 ABC.∴PO⊥DF. 又∵E 为 BC 中点, ∴AE⊥BC,∴AE⊥DF. 又∵PO∩AE=O,∴DF⊥平面 PAE,故 B 正确. 又∵PO?平面 PAE,PO⊥平面 ABC, ∴平面 PAE⊥平面 ABC,故 D 正确. ∴四个结论中不成立的是 C. 5. (文)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 若 AB=2, AA1=1, 则点 A 到平面 A1BC 的距离为( A. 3 4 B. 3 2 )

-3-

3 3 C. 4 [答案] B

D. 3

[解析] 解法 1:取 BC 中点 E,连接 AE、A1E,过点 A 作 AF⊥A1E,垂足为 F. ∵A1A⊥平面 ABC,∴A1A⊥BC, ∵AB=AC.∴AE⊥BC. ∴BC⊥平面 AEA1. ∴BC⊥AF,又 AF⊥A1E, ∴AF⊥平面 A1BC. ∴AF 的长即为所求点 A 到平面 A1BC 的距离. ∵AA1=1,AE= 3,∴AF= 3 . 2

1 1 3 解法 2:VA1-ABC= S△ABC· AA1= × 3×1= . 3 3 3 又∵A1B=A1C= 5, 在△A1BE 中,A1E= A1B2-BE2=2. 1 ∴S△A1BC= ×2×2=2. 2 1 2 ∴VA-A1BC= ×S△A1BC· h= h. 3 3 2 3 3 3 ∴ h= ,∴h= .∴点 A 到平面 A1BC 距离为 . 3 3 2 2 (理)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ABB1⊥BC,且 A1C 与底面成 45° 角,AB=BC= 2,则该棱柱体积的最小值为( )

A.4 3 C .4 [答案] C

B.3 3 D.3

[解析] 由已知得平面 A1ABB1⊥平面 ABC 且交线为 AB, 故 A1 在平面 ABC 上的射影 D 在 AB 上.由 A1C 与底面成 45° 角得 A1D=DC,∵BC⊥AB,∴当 CD 最小即 CD=BC 时 A1D 最 1 1 小,此时 Vmin= ×AB×BC×A1D= ×2×2×2=4.故选 C. 2 2 6. (2014· 皖南八校联考)正四面体 ABCD 的棱长为 1, G 是△ABC 的中心, M 在线段 DG 上, 且∠AMB=90° ,则 GM 的长为( )

-4-

1 A. 2 C. 3 3

B. D.

2 2 6 6

[答案] D [解析] ∵G 是正四面体 ABCD 的面 ABC 的中心,M 在 DG 上,∴MA=MB, 又∠AMB=90° ,AB=1,∴MA=MB= ∴MG= MA2-AG2= 二、填空题 7.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,∠ADC=90° ,且 AA1=AD=DC=2,M∈平面 ABCD,当 D1M⊥平面 A1C1D 时,DM=________. ? 2 3 ,又 AG= , 2 3

22 3 6 ? -? ?2= . 2 3 6

[答案] 2 2 [解析] ∵DA=DC=AA1=DD1 且 DA、DC、DD1 两两垂直,故当点 M 使四边形 ADCM 为正方形时,D1M⊥平面 A1C1D,∴DM=2 2. 8.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上 的一动点,当点 M 满足______时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条 件即可)

[答案] DM⊥PC(或 BM⊥PC 等)(不唯一)

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[解析] 连接 AC,∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, 又∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BD, 又 AC∩PA=A,∴BD⊥平面 PAC, ∴BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC 等)时, 即有 PC⊥平面 MBD,而 PC?平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD. 9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F、G 分别是 AB、BC、B1C1 的中点.下 列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形; ②P 在直线 FG 上运动时,AP⊥DE; ③Q 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A-D1QC 的体积不变; ④M 是正方体的面 A1B1C1D1 内到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是一条线段. [答案] ②③④ [解析] 三棱锥 A1-ABC 的四个面都是直角三角形, 故①错; P 在 FG 上运动时,PF⊥平面 ABCD, ∴PF⊥DE,又在正方体 ABCD 中,E、F 为 AB、BC 中点,∴ AF⊥DE,∴DE⊥平面 PAF,∴DE⊥PA,故②真;VA-D1QC=VQ -AD1C, ∵BC1∥AD1,∴BC1∥平面 AD1C,∴无论点 Q 在 BC1 上怎样 运动,Q 到平面 AD1C 距离都相等,故③真;到点 D 和 C1 距离相等的点在经过线段 C1D 的中 点与 DC1 垂直的平面 α 上,故点 M 为平面 α 与正方体的面 A1B1C1D1 相交线段上的点,这条线 段即 A1D1. 三、解答题 10.(2014· 山东威海一模)如图所示,矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,等腰 梯形 ABEF 中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60° ,O,P 分别为 AB,CB 的中点, M 为底面△OBF 的重心.

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(1)求证:平面 ADF⊥平面 CBF; (2)求证:PM∥平面 AFC; (3)求多面体 CD-AFEB 的体积 V. [解析] (1)证明:∵矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,且 CB⊥AB, ∴CB⊥平面 ABEF. 又 AF?平面 ABEF,∴CB⊥AF. 又 AB=2,AF=1,∠BAF=60° ,由余弦定理知 BF= 3,∴AF2+BF2=AB2,∴得 AF⊥ BF.又 BF∩CB=B,∴AF⊥平面 CFB.∵AF?平面 ADF,∴平面 ADF⊥平面 CBF. (2)证明:连接 OM 延长交 BF 于 H,则 H 为 BF 的中点,又 P 为 CB 的中点,∴PH∥CF. 又∵CF?平面 AFC,∴PH∥平面 AFC.连接 PO,则 PO∥AC,∵AC?平面 AFC,PO?平面 AFC,∴PO∥平面 AFC.又 PO∩PH=P,∴平面 POH∥平面 AFC,PM?平面 POH,PM∥ 平面 AFC. (3)多面体 CD-AFEB 的体积可分成三棱锥 C-BEF 与四棱锥 F-ABCD 的体积之和. 在等腰梯形 ABEF 中,计算得 EF=1,两底间的距离 EE1= 1 1 1 3 3 ∴VC-BEF= S△BEF×CB= × ×1× ×1= , 3 3 2 2 12 1 1 3 3 VF-ABCD= S?ABCD×EE1= ×2×1× = , 3 3 2 3 ∴V=VC-BEF+VF-ABCD= 5 3 . 12 3 , 2

一、解答题 11.(文)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD, AB=AD=2,CD=4,M 为 CE 的中点.

(1)求证:BM∥平面 ADEF; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BEC. [证明] (1)证明:延长 DA 与 CB 相交于 P, ∵AB=AD=2,CD=4,AB∥CD,∴B 为 PC 的中点, 又 M 为 CE 的中点,∴BM∥EP,

-7-

∵BM?平面 ADEF,EP?平面 ADEF, ∴BM∥平面 ADEF. 1 1 (2)证明:由(1)知,BC= PC= PD2+CD2=2 2, 2 2 又 BD= AD2+AB2=2 2,

∴BD2+BC2=CD2,∴BD⊥BC. 又平面 ADEF⊥平面 ABCD,ED⊥AD, ∴ED⊥平面 ABCD,∴ED⊥BC, ∵ED∩BD=D,∴BC⊥平面 BDE, 又 BC?平面 BEC,∴平面 BDE⊥平面 BEC. (理)(2013· 合肥第二次质检)如图,在几何体 ABCDE 中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥平 面 ABD.M 为线段 BD 的中点,MC∥AE,AE=MC= 2.

(1)求证:平面 BCD⊥平面 CDE; (2)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC. [解析] (1)∵AB=AD=2,AB⊥AD,M 为线段 BD 的中点, 1 ∴AM= BD= 2,AM⊥BD. 2 ∵MC= 2, 1 ∴MC= BD,∴BC⊥CD. 2 ∵AE⊥平面 ABD,MC∥AE, ∴MC⊥平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 CBD, ∴AM⊥平面 CBD.又 MC 綊 AE, ∴四边形 AMCE 为平行四边形,

-8-

∴EC∥AM, ∴EC⊥平面 CBD,∴BC⊥EC, ∵EC∩CD=C,∴BC⊥平面 CDE, ∴平面 BCD⊥平面 CDE. (2)∵M 为 BD 中点,N 为 ED 中点, ∴MN∥BE 且 BE∩EC=E, 由(1)知 EC∥AM 且 AM∩MN=M, ∴平面 AMN∥平面 BEC. 12.(文)(2013· 北京朝阳期末)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=2,E 是棱 CD 上 的一点. (1)求证:AD1⊥平面 A1B1D; (2)求证:B1E⊥AD1; (3)若 E 是棱 CD 的中点,在棱 AA1 上是否存在点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 出线段 AP 的长;若不存在,请说明理由. [解析] (1)证明:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

因为 A1B1⊥平面 A1D1DA, 所以 A1B1⊥AD1. 在矩形 A1D1DA 中,因为 AA1=AD=2,所以 AD1⊥A1D. 所以 AD1⊥平面 A1B1D. (2)证明:因为 E∈CD, 所以 B1E?平面 A1B1CD, 由(1)可知,AD1⊥平面 A1B1CD, 所以 B1E⊥AD1. (3)解:当点 P 是棱 AA1 的中点时,有 DP∥平面 B1AE. 理由如下:

-9-

在 AB1 上取中点 M,连接 PM,ME. 因为 P 是棱 AA1 的中点,M 是 AB1 的中点, 1 所以 PM∥A1B1,且 PM= A1B1. 2 1 又 DE∥A1B1,且 DE= A1B1, 2 所以 PM∥DE,且 PM=DE, 所以四边形 PMED 是平行四边形,所以 DP∥ME. 又 DP?平面 B1AE,ME?平面 B1AE, 1 所以 DP∥平面 B1AE.此时,AP= A1A=1. 2 (理)(2014· 四川绵阳二诊)如图所示,四边形 ABCD 为矩形,四边形 ADEF 为梯形,AD∥ 1 FE,∠AFE=60° ,且平面 ABCD⊥平面 ADEF,AF=FE=AB= AD=2,点 G 为 AC 的中点. 2

(1)求证:EG∥平面 ABF; (2)求三棱锥 B-AEG 的体积; (3)试判断平面 BAE 与平面 DCE 是否垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由. [解析] (1)证明:取 AB 中点 M,连 FM,GM.

1 ∵G 为对角线 AC 的中点,∴GM∥AD,且 GM= AD. 2 1 又∵FE 綊 AD,∴GM∥FE 且 GM=FE. 2 ∴四边形 GMFE 为平行四边形,∴EG∥FM. 又∵EG?平面 ABF,FM?平面 ABF,∴EG∥平面 ABF.

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(2)作 EN⊥AD,垂足为 N, 由平面 ABCD⊥平面 AFED,平面 ABCD∩平面 AFED=AD, 得 EN⊥平面 ABCD,即 EN 为三棱锥 E-ABG 的高. ∵在△AEF 中,AF=FE,∠AFE=60° , ∴△AEF 是正三角形. ∴∠AEF=60° ,EF∥AD 知∠EAD=60° ,∴EN=AEsin60° = 3. 1 1 2 3 ∴三棱锥 B-AEG 的体积为 V= · S · EN= ×2× 3= . 3 △ABG 3 3 (3)平面 BAE⊥平面 DCE.证明如下: ∵四边形 ABCD 为矩形,且平面 ABCD⊥平面 AFED, ∴CD⊥平面 AFED,∴CD⊥AE. ∵四边形 AFED 为梯形,FE∥AD,且∠AFE=60° , ∴∠FAD=120° . 又在△AED 中,EA=2,AD=4,∠EAD=60° , 由余弦定理,得 ED=2 3,∴EA2+ED2=AD2, ∴ED⊥AE. 又∵ED∩CD=D,∴AE⊥平面 DCE. 又 AE?平面 BAE,∴平面 BAE⊥平面 DCE. 13.(文)(2014· 甘肃张掖月考)如图所示,在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平 面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 的中点,G 为 AC 上一动点.

(1)求证:BD⊥FG; (2)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG∥平面 PBD,并说明理由; (3)如果 PA=AB=2,求三棱锥 B-CDF 的体积. [解析] (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形,其对角线 BD,AC 交于 点 E,∴PA⊥BD,AC⊥BD.∴BD⊥平面 APC. ∵FG?平面 PAC,∴BD⊥FG. 3 (2)当 G 为 EC 的中点,即 AG= AC 时,FG∥平面 PBD. 4 理由如下:连接 PE.∵F 为 PC 的中点,G 为 EC 的中点,∴FG∥PE. ∵FG?平面 PBD,PE?平面 PBD,∴FG∥平面 PBD.
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1 1 2 (3)三棱锥 B-CDF 的体积为 VB-CDF=VF-BCD= × ×2×2×1= . 3 2 3 (理)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D、E 分别为 AC、AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2.

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由. [分析] (1)利用线面平行判定定理证明(关键证明 DE∥BC).
? ? ?DE⊥AD, ?DE⊥A1D, ? (2)由平面图形知? 折叠后, 由线面垂直判定定理证得 DE⊥平面 ?DE⊥CD. ?DE⊥CD. ? ?

A1CD,则 DE⊥A1F,又由 A1F⊥CD,易证得 A1F⊥平面 BCDE,则 A1F⊥BE. (3)采取先找再证的办法处理. 由 DA1=DC 联想到等腰三角形底边上的中线是底面边上的 高,可取 A1C 中点,再由“中点找中点”原则取 A1B 中点 Q,证明 A1C⊥平面 DEQ(利用(2) 中的 DE⊥平面 A1DC 这一结论). [解析] (1)证明:因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB,所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明:由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC,所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F?平面 A1DC,所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE. 所以 A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下:

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如图,分别取 A1C、A1B 的中点 P、Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ, 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰直角三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP. 所以 A1C⊥平面 DEP.从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. [点评] 1.本题考查了线面平行,线面垂直的判定定理,性质定理,折叠问题,存在性问 题等. 2. 对于折叠问题, 关键是看清折叠前后各量的变化与不变(包括长度、 角度、 位置关系等), 对于存在性问题,一般采取先找再证(取特例)的办法解决. 14.(文)(2013· 江西)如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2, AD= 2,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3.

(1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离. [解析] (1)证明:如图,过点 B 作 CD 的垂线交 CD 于点 F,则 BF=AD= 2,EF=AB -DE=1,FC=2.

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在 Rt△BFE 中,BE= 3. 在 Rt△CFB 中,BC= 6. 在△BEC 中,因为 BE2+BC2=9=EC2,故 BE⊥BC. 由 BB1⊥平面 ABCD 得 BE⊥BB1, 所以 BE⊥平面 BB1C1C. 1 (2)解:三棱锥 E-A1B1C1 的体积 V= AA1· S△A1B1C1= 2. 3
2 在 Rt△A1D1C1 中,A1C1= A1D2 1+D1C1=3 2.

同理,EC1= EC2+CC2 1=3 2. 故 S△A1C1E=3 5. 1 设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,则三棱锥 B1-A1C1E 的体积 V= · d· S△A1C1E= 5d, 3 从而 5d= 2,d= 10 . 5 10 . 5

即点 B1 到平面 EA1C1 的距离为

(理)(2014· 唐山一中月考) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC⊥侧面 AA1C1C,AC=BC= π 1,CC1=2, ∠CAA1= ,D、E 分别为 AA1、A1C 的中点. 3

(1)求证:A1C⊥平面 ABC; (2)求平面 BDE 与平面 ABC 所成角的余弦值. [解析] (1)证明:∵BC⊥侧面 AA1C1C,A1C 在平面 AA1C1C 内,∴BC⊥A1C, π △AA1C 中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1= , 3 π 由余弦定理得 A1C2=AC2+AA2 AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos =3, 1-2AC· 3 ∴A1C= 3,∴AC2+A1C2=AA2 1,∴AC⊥A1C, ∵AC∩BC=C,∴A1C⊥平面 ABC. (2)由(1)知 CA,CA1,CB 两两垂直, 如图,以 C 为空间坐标系的原点,分别以 CA,CA1,CB 所在直线为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系,则 C(0,0,0), B(0,0,1),A(1,0,0),A1(0, 3,0),

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1 3 3 3 3 → 1 → 由此可得 D( , ,0),E(0, ,0),BD=( , ,-1),BE=(0, ,-1). 2 2 2 2 2 2 → ? BD=0, ?n· 设平面 BDE 的法向量为 n=(x,y,z),∴? → ? BE=0. ?n· 3 x+ y-z=0, ?1 2 2 则有? 3 ? 2 y-z=0 ∴n=(0, 2 ,1), 3

,令 z=1,则 x=0,y=

2 , 3

→ ∵A1C⊥平面 ABC,∴C1A=(0, 3,0)是平面 ABC 的一个法向量, → n· CA1 2 7 → ∴cos<n,CA1>= = , 7 → |n||CA1| 2 7 ∴平面 BDE 与 ABC 所成锐二面角的余弦值为 . 7

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