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指数函数及反函数


教学目标
1.在指数函数及反函数概念的基础上,掌握对数函 数的概念,能正确描绘对数函数的图像,掌握对数函数 的性质,并初步应用性质解决简单问题. 2.通过对数函数的学习,树立相互联系,相互转化 的观点,渗透数形结合,分类讨论的思想. 3.通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、 归纳的思维能力.

重点难点
重点是理解对数函数的定义,掌握图像和性 质. 难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关 系,利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像 和性质.

引入新课
提问:什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?

y = a x (a > 0, a ≠ 1) 是指数函数,它是存在反函数的. 答:

y = a x 得 a x = y,∴ x = log a y 解: 由
y = a x 的值域为 (0,+∞ ) 又
∴所求反函数为


y = log a x, x ∈ (0,+∞ )

新授知识
一、对数函数的概念:

f ?1 ( x ) = log a x 定义:函数 f ( x) = a (a > 0, a ≠ 1) 的反函数
x

(a > 0, a ≠ 1) 叫做对数函数.

二、对数函数的图像与性质

1.作图方法 (1)图象变换法 (2)描点作图法

2.画草图

由于指数函数的图像按 a > 1 和 0 < a < 1 分成两种不同的类型, 故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况: 1

a > 1 和0 < a < 1

分别以 y = log 2 x 和 y = log 1 x 为例画 2 图.

将 y = log 2 x 和 y = log 1 x 的图像画在同一坐标系内,
2

如图:

3.性质(根据图象说出对数函数的性质)

( (1)定义域:0,+∞ )
R (2)值域:
(3)截距:令 y = 0 得 x = 1 即在 x 轴上的截距为1, 与 y 轴无交点即以 y 轴为渐近 线. (4)奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数,即它不 关于原点对称,也不关于 y 轴对 称. a有 (5)单调性:与 关. 当 a > 1 时, 在 (0,+∞ ) 上 是增函数.即图像是上升的 在 当 0 < a < 1 时, (0,+∞ ) 上 是减函数,即图像是下降 的.

三、简单应用 1.研究相关函数的性质 例1.求下列函数的定义域:

(1 y = log ( 5? x ) ( 2 x ? 3) )
(3) y = lg(4 ? x)

(2) y = log a x 2

2.利用单调性比较大小 例2.比较下列各组数的大小

(1) log

3

7 与 log 6

3

6 5

log (2) 1 0.98 与 log 1 1.01
π
π

lg (3) a 与 lg 2a

(4)log a ?1

29 29 与 log a ?1 31 32

巩固练习

练习:若 log a

2 < 1, 求 a 的取值范围. 3


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