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2.3.1直线与平面垂直的判定(2)


第66页 2.3.1 直线与平面垂直的判定
(2)

1. 直线与平面垂直的定义:
l

l ⊥ α , a ?α ?l ⊥ a

?

a

线面垂直?线线垂直

2. 直线与平面垂直的判定定理:
l

a ??

b

?

P

a

线线垂直?线面垂直

? ? b ?? ? ? a ? b ? P? ? l ? ? ? l ? a ? ? l ? b ?

说明: 证明直线与平面垂直的一般步骤
第一步:在平面内找出(或作出)两条相交直线; 第二步:证明直线都垂直于这两条相交直线; 第三步:利用判定定理得出直线与平面垂直.

课本练习: P67
1. 如图,在三棱锥V—ABC中,VA=VC, AB=BC, 求证:VB⊥AC.

. O

练习:
如图, AB是⊙O的直径, 点C是圆O上的动点, 过
动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面, D、E分别是 VA、VC的中点, 直线DE与平面VBC有什么关系?试 说明理由. V

DE⊥平面VBC
D E C A O B

3. 斜线、斜足及斜线在平面内的射影:
若一条直线和一个平面相交但不垂直,则这条直线

叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和 斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影. 平面?的斜线 斜足
P

.

斜线在平面?内的射影

?

A

O

垂足

4. 斜线和平面所成的角:
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成 的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角.
P

.

斜线和平面所成的角

?

A

O

斜线和平面所成角的取值 范围是: (00,900).

求斜线和平面所成角的关键是找出(或作出)

斜线在平面内的射影.

说明:
当一条直线垂直于一个平面时, 我们说这条直 线和这个平面所成的角是900角; 当一条直线平行于一个平面或在一个平面内时, 则我们说这条直线和这个平面所成的角是00角; 直线和平面所成角的取值范围为:[00,900].

例2. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求 (1)直线A1B和平面BCC1B1所成的角; (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 A1 B1 C1

300
D A 450

O
C
B

练习:
1. 如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角;

0o

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角;
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角;

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角.
A1

D1 B1

C1

D A B

C

练习:
1. 如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角; (3) A1C1与面BB1C1C所成的角;

0o

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角; 90o (4)A1C1与面ABC1D1所成的角.
A1

D1
B1

C1

D
A B

C

练习:
1. 如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角;

0o

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角; 90o
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角; 45o D 1 (4)A1C1与面ABC1D1所成的角.
A1 C1 B1

D A B

C

练习:
1. 如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角;

0o

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角; 90o
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角; 45o

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角. 30o
A1 O

D1 B1

C1

D A B

C

课本练习: P67
2. 过△ABC所在平面?外一点, 作PO⊥?, 垂足为O,
连接PA, PB, PC. (1) 若PA=PB=PC, ∠C=900, 则点O是AB的____ 中 点. (2) 若PA=PB=PC, 则点O是△ABC的____ 外 心. (3) 若PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则点O是△ABC 的_____ 垂 心. P C

A

O B

作业
第74页 B组 4


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