当前位置:首页 >> 数学 >> 1.3.1函数的单调性和导数

1.3.1函数的单调性和导数


1. 3.1

函数的单调性和导数
课前预习学案

一、预习目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 二、预习内容 1.利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导, 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f (

x) 为这个区间内的 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 思考: (1)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件? 回答: 提示: f(x)=x3,在 R 上是单调递增函数,它的导数恒>0吗? ; 。

(2)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ? 若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为 2.利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间; 解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递减区间. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 函数.

课内探究学案 一.学习目标:1 了解可导函数的单调性与其导数的关系. 2 掌握利用导数判断函数单调性的方法. 学习重点:利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程 【引 例】

1

1.确定函数 y ? x2 ? 4x ? 3 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数? 解答: , 问 1) 、为什么 y ? x2 ? 4x ? 3 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数?

解答: , 2) 、研究函数的单调区间你有哪些方法? 解答: , 2、确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 解答: , 【探 究】 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。 研究二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象; (1) 画出二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象,研究它的单调性。 (2) 提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的? 回答: (3) 我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律? 观察图像,能得到什么结论 回答: 【新课讲解】 根据刚才观察的结果进行总结:导数 与函数的单调性有什么关系? 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,
' 如果在这个区 间内 f ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 ' 如果在这个区间内 f ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的

; 。

思考: (1)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上 为增函数的什么条件? 回答: 提示: f(x)=x3,在 R 上是单调递增函数,它的导数恒>0吗?

(2)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ? 若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为 结论应用: 由以上结论知:函数的单调性与其 性。下面举例说明: 【例题讲解】
3

函数. 去探讨函数的单调

有关,因此我们可以用

例1、 求证: y ? x ? 1 在 (??, 0) 上是增函数。

2

归纳步骤:1、 ;2、 ;3、 。 3 2 例2、 确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.

小结:用导数求函数单调区间的步骤: (1) ; (2) ; (3) 【课堂练习】 1.确定下列函数的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x (2)y=3x-x3

2、设 y ? f ?(x) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, y ? f ?(x) 的 图象如图所示, 则 y ? f ( x ) 的图象最有可能是( )

3

课后练习与提高 1. (2007 年浙江卷)设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画 在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )

y

y

y

y

O

x

O

x

O C.

x

O D.

x

A. B. f ( x) ? x ln x ,则( 2.已知函数 ) A.在 (0,??) 上递增 B.在 (0,??) 上递减

? 1? ? 1? ? e? ? e? 3 2 3.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 5 的单调递增区间是_____________.
C.在 ? 0, ? 上递增 D.在 ? 0, ? 上递减

4

1.3.1 函数的单调性和导数教案 一、教材分析 以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么函数 f(x)就是区间 I 上的增函数. 对于任意的两个数 x1,x2 ∈I,且当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么函数 f(x)就是区间 I 上的减函数。 在函数 y=f(x)比较复杂的情况下, 比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易. 如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准,本节分为四课时,此为 第一课时。 二、教学目标 1,知识目标: 1)正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2)掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 2,能力目标: 学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,提高创新能力。 3,情感、态度与价值观目标: 在愉悦的学习氛围中,学生感受到解决数学问题的一般方法:从简单到复杂,从特殊 到一般。 三、教学重点难点 教学重点:利用导数判断函数单调性。 教学难点:利用导数判断函数单调性。. 四、教学方法:探究法 五、课时安排:1 课时 六、教学过程 【引 例】 1.确定函数 y ? x ? 4x ? 3 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?
2

解: y ? x ? 4x ? 3 ? ( x ? 2) ?1 ,在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数。
2 2

问:1) 、为什么 y ? x ? 4x ? 3 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数?
2

2) 、研究函数的单调区间你有哪些方法? 都是反映函数随自 (1)观察图象的变化趋势; (函数的图象必须能画出的) 变量的变化情况。 (2) 利用函数单调性的定义。 (复习一下函数单调性的定义) 3 2 2、确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? (1)能画出函数的图象吗? (2) 能用单调性的定义吗?试一试, 提问一个学生: 解决了吗?到哪一步解决不了? (产 生认知冲突) 【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了。尤其是在 不知道函数的图象的时候,如函数 f(x)=2x3-6x2+7,这就需要我们寻求一个新的方法来解

?

决。 (研究的必要性)事实上用定义研究函数 y ? x ? 4x ? 3 的单调区间也不容易。
2

【探 究】 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。 问:如何入手?(图象) 从函数 f(x)=2x3-6x2+7 的图象吗?
5

1、研究二次函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象; (1) (2) (3) (4) (5) 学生自己画图研究探索。 提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的? (开口方向,对称轴)既然要寻求一个新的办法,显然要换个角度分析。 提示:我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量) 能反映函数的变化规律? 学生继续探索,得出初步规律。几何画板演示,共同探究。 得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。 (学生总结) : ①该函数在区间 (??, 2) 上单调递减,切线斜率小于 0,即其导数为负; 在区间 (2, ??) 上单调递增,切线斜率大于 0,即其导数为正; 注:切线斜率等于 0,即其导数为 0;如何理解? ②就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢? 2、先看一次函数图象; 3、再看两个我们熟悉的函数图象。 (验证) (1) 观察三次函数 y ? x3 的图象; (几何画板演示) (2) 观察某个函数的图象。 (几何画板演示) 指出:我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导 数研究函数的单调性(幻灯放映课题) 。 【新课讲解】 4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结:导数与函数的单调性有什么关系?请一个学生 回答。 (幻灯放映) 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,则函数在该区间内
' 如果在这个区间内 f ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的增函数; ' 如果在这个区间内 f ( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的减函数。 ' 若在某个区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为常函数。

这个结论是我们通过观察图象得到的,只是一个猜想,正确吗?答案是肯定的。严格的证 明需要用到中值定理,大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。 小结:数学中研究问题的常规思想方法是:从特殊到一般,从简单的复杂。 结论应用: 由以上结论知:函数的单调性与其导数有关,因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。 下面举例说明: 【例题讲解】 例1、 求证: y ? x ? 1 在 (??, 0) 上是增函数。
3

由学生叙述过程老师板书: 因为 y ? ( x ? 1) ? 2x , x ? (??,0) ,
' 3 ' 2

6

所以 x ? 0 ,即 y' ? 0 ,
2

所以函数 y ? x3 ? 1 在 (??, 0) 上是增函数。 注:我们知道 y ? x3 ? 1 在 R 上是增函数,课后试一试,看如何用导数法证明。 学生归纳步骤:1、求导;2、判断导数符号;3、下结论。 例2、 确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 由学生叙述过程老师板书: 解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x, 令 6x2-12x>0,解得 x>2 或 x<0 ∴当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数 . 令 6x2-12x<0,解得 0<x<2.∴当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 学生小结:用导数求函数单调区间的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求函数 f(x)的导数 f′(x). (3) 令 f′(x)>0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. 令 f′(x)<0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 【课堂练习】 1.确定下列函数的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x (2)y=3x-x3 (1)解:y′=(x3-9x2+24x)′=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4) 令 3(x-2)(x-4)>0,解得 x>4 或 x<2. ∴y=x3-9x2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 令 3(x-2)(x-4)<0,解得 2<x<4 .∴y=x3-9x2+24x 的单调减区间是(2,4) (2)解:y′=(3x-x3)′=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1) 令-3(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<1. ∴y=3x-x3 的单调增区间是(-1,1). 令-3(x+1)(x-1)<0,解得 x>1 或 x<-1. ∴y=3x-x3 的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞) 2、设 y ? f ?(x) 是函数 y ? f ( x ) 的导数, y ? f ?(x) 的 图象如图所示, 则 y ? f ( x ) 的图象最有可能是( )

小结:重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系? 【课堂小结】 1.函数导数与单调性的关系:若函数 y=f(x)在某个区间内可导,
7

′ 如果 f (x)>0, 则 f(x)为增函数;如果 f′(x)<0, 则 f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心 ,能灵活应用导数解题 是目的,另外应注意 数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【课后练习】 1. (2007 年浙江卷)设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画 在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )

2.已知函数 f ( x) ? x ln x ,则( ) A.在 (0,??) 上递增 B.在 (0,??) 上递减

? 1? ? 1? ? e? ? e? 3 2 3.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 5 的单调递增区间是_____________.
C.在 ? 0, ? 上递增 D.在 ? 0, ? 上递减 【课堂作业】 课本 p42 习题 2.4 1,2 【课后记】 本节课是一节新授课,课本所提供的信息很简单,如果直接得出结论,学生也能接受, 可学生只能进行简单的模仿应用。 为了突出知识的发生过程,不把新授课上成习题课,设计思路如下,以便教会学生会思 考解决问题:1、首先研究从熟悉的二次函数入手,简单复习回顾以前的方法; 1、 从不熟悉的三次函数入手,使学生体会到以前的知识已不能解决,必须寻求一个新的解 决办法,产生认知冲突,认识到再次研究单调性的必要性; 2、 从简单的、 熟悉的函数图象入手, 引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的 变 化,再与新学的导数联系起来,形成结论。另外,也使学生感受到解决数学问题的一般 方法:从简单到复杂,从特殊到一般。 3、 应用中重点指导学生的解题步骤,避免考试中隐性失分。 在今后的教学中,应注重学生的参与,引发认知冲突,教会学生思考问题。加强教案设计 的合理性,语言做到准确、简练。节奏要把握好。

8


更多相关文档:

1.3.1函数的单调性与导数教学设计

联合体教学设计 河北任丘一中数学组:张海昌 教学课题 选修 2-2 第一章 1.3.1 函数的单调性与导数一、知识与技能: 1.理解利用导数判断函数单调性的原理,掌握...

1.3.1函数的单调性与导数导学案

普洱市一中导学案 § 1.3.1 函数的单调性与导数【学习要求】 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 ...

1.3.1函数的单调性和导数

1. 3.1 函数的单调性和导数课前预习学案 一、预习目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 二、预习内容 1....

1.3.1函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数_数学_高中教育_教育专区。1.3.1函数的单调性与导数 凤鸣中学双单三卡教学模式导学设计 年级 高二_ 科目 数学 主备教师 协作教师 ...

1.3.1函数的单调性与导数(一)

1.3.1函数的单调性与导数(一)_数学_高中教育_教育专区。课 题 1.3.1 函数的单调性与导数(一) 徐丹丹 审核 备课时间 上课时间 年年 月月 日日 主备 徐...

选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数

选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数课题:3.3.1 函数的单调性教学目的: 1.正确...

1.3.1 函数的单调性与导数

一般地,在某个区间(a,b)内,函数的单调性与导数有如下关系: 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调___ 单调___ 常数函数 2. 在...

1.3.1函数的单调性与导数

§1.3.1 函数的单调性与导数利用导数的符号来判断函数单调性: 结论:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 若 f ( x) ? 0 , 则 f ( x) 为增...

1.3.1 函数的单调性与导数教案

1.3.1 函数的单调性与导数教案_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 函数的单调性与导数授课班级:高二(9) 授课教师:曾进 教材分析“函数单调性与导数”是高中...
更多相关标签:
函数的单调性与导数 | 用导数求函数的单调性 | 函数单调性与导数 | 函数单调性与导数教案 | 函数单调性与导数ppt | 利用导数求函数单调性 | 导数研究函数单调性 | 导数判断函数单调性 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com