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2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2007 年江苏省高中数学联赛初赛
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y=sin2x,则( (A) 有最小正周期为 2π π (C) 有最小正周期为2 ). (B) 有最小正周期为 π (D) 无最小正周期

2.关于 x 的不等式 x2-ax-20a2<0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值 的和是(

) . (B) 1 (C) 0 (D) -1 (A) 2

→ → → 3. 已知向量 a、b,设 AB =a+2b, BC =-5a+6b, CD =7a-2b,则一定共线的三 点是( ). (A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D ) .

4.设 α、β、γ 为平面,m、n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是(

(A)α⊥β,α∩β=n,m⊥n (B)α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ (C)α⊥β,β⊥γ,m⊥α (D)n⊥α,n⊥β,m⊥α 2 5. 若 m、n∈{x|x=a2×10 +a1×10+a0},其中 ai∈{1,2,3,4,5,6,7},i=0,1, 2,并且 m+n=636,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为( ) . (A)60 个 (B)70 个 (C)90 个 ). (C)4 个 (D)120 个 6.已知 f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2007|(x∈

R) ,且 f(a2-3a+2)=f(a-1).则 a 的值有(
(A)2 个 (B)3 个 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

(D)无数个 .

7. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 若 S5=10, S10=-5, 则公差为 d=

8. 设 f(x)=loga(x+b)(a>0 且 a≠1)的图象经过点(2,1),它的反函数的图象经过点(2, 8),则 a+b 等于 .

2x2-x-1 9.已知函数 y=f(x)的图象如图,则满足 f( 2 )f(lg(x2-6x+20))≤0 的 x 的取值范 x -2x+1 围为 . y

O

1

x

(第 9 题) 10.圆锥曲线 x2+y2+6x-2y+10-|x-y+3|=0 的离心率是 2 2 11. 在?ABC 中, 已知 tanB= 3, sinC= 3 , AC=3 6, 则?ABC 的面积为 . .

1

12. 设命题 P:a2<a,命题 Q: 对任何 x∈R,都有 x2+4ax+1>0. 命题 P 与 Q 中有且 仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分)
?x+y>0, 13. 设不等式组? 表示的平面区域为 D. 区域 D 内的动点 P ?x-y<0.

. y

到直线 x+y=0 和直线 x-y=0 的距离之积为 2. 记点 P 的轨迹为曲线 C.过点 F(2 2,0)的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点. 若以线段 AB 为直 径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率. O

x

14. 如图,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形,∠ACC1=60°,侧面 ABB1A1⊥ AA1C1C,A1B=AB=AC=1. B 求证: (1)AA1⊥BC1; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. A A1

B1

C

C1 (第 14 题)

15.已知数列{an}中,a1=1,an+3≤an+3,an+2≥an+2. 求 a2007.

16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l,与每个圆都有公共点?证 明你的结论.

A1

A2 Ak B m
10

Bk B2

2


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