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2010年安徽省高中数学竞赛试题及详解答案


2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
(考试时间:2010 年 9 月 4 日 9:00—11:30) 二 题号 一 总分 9 10 11 12 得分 评卷人 复核人
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注意: 1.本试卷共 1

2 小题,满分 150 分; 2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答; 3.书写不要超过装订线; 4.不能使用计算器. 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 2 的值域是__________________________. 2.函数 y ? _____________________的图象与 y ? e x 的图象关于直线 x ? y ? 1 对称. 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值 等于__________________________. 4.设椭圆

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? __________________________. t ?1 t ?1

5.设 z 是复数,则 | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 的最小值等于________________ __________. 6. 设 a , b , c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列,
3 2

则 a , b , c 应满足的充分必要条件是__________________________. 7 . 设 O 是 ?ABC 的内心, AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC ,

0 ? x, y, z ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是__________________. 二、解答题(共 86 分) 9.(20 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?

2 , n ? 2 .求 an 的通项公式. 1 ? an ?1

1

10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n ? n ? 24 可被 2010 整除.
2

11.(22 分)已知 ?ABC 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ? A , ? B , ?C 的平 分线与边 BC , CA , AB 的垂直平分线的交点.求证: ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积.

12. (22 分) 桌上放有 n 根火柴, 甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取, 第一次可取走至多 n ? 1 根火柴,此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最 后一根火柴者获胜.问:当 n ? 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

2

2010 年全 国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分, 共 64 分) 1.答案: ? 4 ? 2 5,8? .

?

?

提 示 : 因

0? x?4 , 设

x?2?

2 ? c o ( s 0 ?? ??

) , 则

y ? 4 c?o ? s

?2 ?s i ?n

? 4

(其中 ? s , ? 2 ? 5 cos ? c?o ( sin ? ? )

2 5

1 , 4 ? 为锐 5
?

角),所以当 ? ? 0 时, ymax ? 8 ,当 ? ?? ?? 时, ymin ? 4 ? 2 5 ,故 y ? ? 4 ? 2 5,8 ? .

?

2. 答案: 1 ? ln(1 ? x) 提 示 : 因 两 函 数 图 象 关 于 直 线 x ? y ? 1 对 称 , 所 以 x ? y ?1 , y ? 1 ? x , ∴

1 ? x ? e1? y ,解得 y ? 1 ? ln(1 ? x) .
3. 答案: ?

1 3

提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以 任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面 角 ? 的两倍.∵ tan ? ? 2 ,∴ cos ? ?
2

1 1 ? ,则 2 1 ? tan ? 3

1 cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1? ? . 3
4. 答案 : 5 提示:由椭圆方程

? x2 y2 ? x ? t ? 1cos ? ? ? 1 知, t ? 1 ,设其参数方程为 ? (? 为 t ?1 t ?1 y ? t ? 1sin ? ? ?

参数)代入双曲线方程 xy ? 1 ,得 sin 2? ?

2 t ?1
2

.

因两曲线相切,∴

2 t 2 ?1

? 1 ,故 t ? 5 .

5. 答案: 1 ? 3 提 示 :在 复平 面 上, 设 A(?1, 0) , B(1, 0) , C (0,1) , 则 当 Z 为 ?ABC 的 费 马 点时 ,
3

| z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 取得最小值,最小值为1 ?

3 2 3 2 3 ? ? ? 1? 3 . 3 3 3

6. 答案: b ?

a2 a3 a ? . ?1 且 c ? 27 3 3

提示:设三个根为 ? ? 1 , ? , ? ? 1 ,则 x3 ? ax2 ? bx ? c ? ( x ? ? ? 1)( x ? ? )( x ? ? ? 1) , 右 边 展 开 与 左 边 比 较 得 ? a ? 3? , b ? (? ?1)? ? ? (? ? 1) ? (? ? 1)(? ?1) ? 3? 2 ?1 ,

? a2 b ? ?1 ? ? 3 ?c ? (? ? 1)? (? ? 1) , 消去 ? 得 ? , 这就是所求 3 ?c ? a ? a ? 27 3 ?
的充要条件. 7. 答案: 12 6 提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图 中的三个平形四边形及其内部运动, 所以动点 P 的轨迹所覆 盖的平 面区域的面积 等于等于 ?ABC 面 积 的 2 倍, 即

12 6 .
6 7

8. 答案:

3 提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 C8 个三角形, 其中直角三角形有
3 12 ? C4 6 ? . 3 C8 7

3 个,所求“构成直角三角形” 的概率是 12 ? C4

二、解答题(共 86 分) 9. 解:特征根法. 又 an ? 2 ?

4 ? 2an ?1 1 ? an?1 , an ? 1 ? ,????(10 分) 1 ? an ?1 1 ? an?1 ? (?2) n ,



an ? 2 a ?2 a ?2 ? (?2) ? n?1 ? (?2) 2 n?2 ? an ? 1 an?1 ? 1 an?2 ? 1

于是 an ?

(?2) n ? 2 .??????(20 分) (?2) n ? 1

4

?n2 ? n ? 24 ? 0 mod 2 ?n 2 ? n ? 0 mod 3 ? 2 ? ?n ? n ? 24 ? 0 mod 3 10. 解: 2010 | n2 ? n ? 24 ? ? ? ?n 2 ? n ? 1mod 5 2 ?n ? n ? 24 ? 0 mod 5 ?n 2 ? n ? 43mod 67 ? ?n2 ? n ? 24 ? 0 mod 67 ?
????(10 分) 又 n ? n ? 0 mod 3 ? n ? 0 或 2 mod 3 ,
2

n2 ? n ? 1mod5 ? n ? 2mod5 , n2 ? n ? 43mod 67 ? n ? 10 或 56 mod 67 ,
故所求最小正整数 n ? 77 .????(22 分) 11. 证明:由题设可证 A , B C , D , E , F 六点共圆. ????(10 分) 不 妨 设 圆 半 径 为 1 , 则 有 S ?ABC ?

1 ( s iA n ? 2 B ?s i C n 2, 2

s i n 2

)

S?DEF ?

1 (sin A ? sin B ? sin C ) . 2 由于 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C 1 1 1 ? (sin 2 A ? sin 2 B) ? (sin 2 B ? sin 2C ) ? (sin 2C ? sin 2 A) 2 2 2

? sin( A ? B)sin( A ? B) ? sin( B ? C)sin( B ? C) ? sin(C ? A)sin(C ? A) ? sin( A ? B) ? sin( B ? C ) ? sin(C ? A)
? sin A ? sin B ? sin C ∴ ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积. ????(22 分)
12. 解: 把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为:n1 ,n2 ,n3 , ?, 不难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明: (1) ?ni ? 满足 ni ?1 ? ni ? ni ?1 ; (2)当 n ? ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ?1 ; (3)当 ni ? n ? ni ?1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? ni . ??????????????(10 分) 设 k ? n ? ni ( i ? 4 ),注意到 ni ? 2 ?

ni ? ni ?1 . 2

5

当1 ? k ? 当

ni 时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 ni ? 2k 根火柴,乙无法获胜. 2

ni ? k ? ni ?1 时, ni ?2 ? k ? ni ?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此 2

时所取的火柴数目 ? ni ? 2 ,剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,乙无法获胜. 当 k ? ni ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ? k ,则乙可取走所有剩小的火柴; 若m ? k , 则根据归纳假设, 乙总可以取到第 k 根火柴, 并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ? 2 , 剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,甲无法获胜. 综上可知, ni ?1 ? ni ? ni ?1 . 因为 100 不在数列 ?ni ? ,所以当 n ? 100 时,甲有获胜策略. ????(22 分)

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