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高一数学必修1期中考试测试题及答案[1]


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人大附中 2010-2011 学年第一学期高一年级必修 1 考核试卷
说明:本试卷共三道大题,分 18 道小题,共 6 页;满分 100 分,考试时间 90 分钟;请在密封线内 填写个人信息。 一、选择题(共 8 道小题,每道小题 4 分,共 32 分.请将正确答案填涂在答题卡上

) 1.已知 U 为全集,集合 P ? Q,则下列各式中不成立的是 ( D ) ... A. P∩Q=P C. P∩( ? UQ) = ? B. P∪Q=Q D. Q∩( ? UP)= ? ( D )

2. 函数 f ( x) ? lg(3 x ?1) 的定义域为 A.R B. ( ??, )

1 1 1 C. [ , ??) D. ( , ??) 3 3 3 2 3.如果二次函数 y ? ax ? bx ? 1 的图象的对称轴是 x ? 1 ,并且通过点 A(?1, 7) ,则(
A.a=2,b= 4
| x|

B.a=2,b= -4

C.a=-2,b= 4

) D.a=-2,b= -4 ( D )

4.函数 y ? 2 的大致图象是

5.如果 a ? b (a ? 0且a ? 1) ,则 A. 2 log a b ? 1 B. log a





1 ?b 2
2 2.9

C. log 1 a ? b
2

D. log 1 b ? a
2

6.已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x f (x) 1 6.1 3 -3.5

那么 ( ) A. (-∞,1) 7.下列说法中,正确的是

函 数 f (x) 一 定 存 在 零 点 的 区 间 是 B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞) ( )

A.对任意 x∈R,都有 3x>2x ; B.y=( 3 ) x 是 R 上的增函数; C.若 x∈R 且 x ? 0 ,则 log 2 x ? 2 log 2 x ;
2


D.在同一坐标系中,y=2x 与 y ? log 2 x 的图象关于直线 y ? x 对称. 8.如果函数 y ? x ? (1 ? a) x ? 2 在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是(
2



A.a≥9 B.a≤-3 C.a≥5 D.a≤-7 二、填空题(共 6 道小题,每道小题 4 分,共 24 分。请将正确答案填写在答题表中) , 9 . 已 知 函 数 y ? f (n) , 满 足 f (1) ? 2 , 且 f ( n ? 1) ? 3f (n ) n?N ? , 则 f (3) 的 值 为 _______________.

1 ? 3 log3 2 的值为_________________. 100 11.若奇函数 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数,且 f (?1) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 取值范围
10.计算 2 ? 3 4 ? 6 32+lg 是__________________.
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12.函数 f ( x) ? log 3 ( x ? 2 x ?10) 的值域为_______________.
2

13.光线通过一块玻璃板时,其强度要损失原来的 10%,把几块这样的玻璃板重叠起来,设光线原 来的强度为 a,则通过 3 块玻璃板后的强度变为________________. 14.数学老师给出一个函数 f ( x) ,甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质 甲:在 (??,0] 上函数单调递减; 乙:在 [0, ??) 上函数单调递增; 丙:在定义域 R 上函数的图象关于直线 x=1 对称; 丁: f (0) 不是函数的最小值. 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么,你认为_________说的是错误的.

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人大附中 2010-2011 学年第一学期高一年级必修 1 考核试卷
二、填空题(每道小题 4 分,共 24 分. 请将正确答案填写在下表中对应题号的空格内) .... 9 10 11 三、解答题(分 4 道小题,共 44 分) 15. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 12 13 14

1 . x ?1
2

(1)设 f ( x) 的定义域为 A,求集合 A; (2)判断函数 f ( x) 在(1,+ ? )上单调性,并用定义加以证明.

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16. (本题满分 12 分)有一个自来水厂,蓄水池有水 450 吨. 水厂每小时可向蓄水池注水 80 吨,同 时蓄水池又向居民小区供水, 小时内供水量为 160 5 t 吨. 现在开始向池中注水并同时向居民供水. t 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量。

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17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a

x ?1

(a ? 0且a ? 1)

(1)若函数 y ? f ( x) 的图象经过 P(3,4)点,求 a 的值;

1 )与f (?2.1) 大小,并写出比较过程; 100 (3)若 f (lg a) ? 100 ,求 a 的值.
(2)比较 f (lg

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18. (本题满分 8 分)集合 A 是由适合以下性质的函数 f?x?构成的:对于定义域内任意两个不相等的 x ?x 1 实数 x1 , x2 ,都有 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) . 2 2 2 (1)试判断 f?x?? x 及 g?x??log2x 是否在集合 A 中,并说明理由; 1 (2)设 f?x??A 且定义域为?0,???,值域为?0,1?, f ?1? ? ,试求出一个满足以上条件的函数 f 2 ?x?的解析式.

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《必修 1 测试》参考答案及评分标准
一、选择题(每道小题 4 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 答 题 44 分)

D D B 答案 二、填空题(每道小题 4 分,共 24 分) 三、 解 9 18 ( 共 10 0 11
(?1,0) ? (1, ??)
2

12 13 14

6 0.729a 乙

15. 解: (1)由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 ,

1 的定义域为 {x ? R | x ? ?1} ……………………… 4 分 x ?1 1 (2)函数 f ( x) ? 2 在 (1, ??) 上单调递减. ………………………………6 分 x ?1 证明:任取 x1 , x2 ? (1, ??) ,设 x1 ? x2 ,
所以,函数 f ( x) ?
2

则 ?x ? x2 ? x1 ? 0,

?y ? y2 ? y1 ?
? x1 ? 1, x2 ? 1,

( x ? x )( x ? x )2 1 1 ? 2 ? 1 2 2 21 …………………… 8 分 x ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 2

2 ? x12 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0.

又 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0, 故 ?y ? 0. 因此,函数 f ( x) ?

说明:分析 ?y 的符号不具体者,适当扣 1—2 分. 16.解:设t小时后蓄水池内水量为y吨, …………………………………… 1分 根据题意,得

1 在 (1, ??) 上单调递减. ………………………12 分 x ?1
2

y ? 450 ? 80t ? 160 5t

……………………………………… 5分

? 80( t ) 2 ? 160 5 t ? 450 ? 80[( t ) 2 ? 2 5 t ] ? 450 ? 80( t ? 5)2 ? 50 当 t ? 5 ,即 t ? 5 时,y取得最小值是50.
答:5小时后蓄水池中的水量最少,为50吨. ……………………………………… 10分 …………………………… 11分 …………………………… 12分
2

说明:①本题解题过程中可设 t ? x ,从而 y ? 80 x ? 160 5 x ? 450 . ②未写出答,用“所以,5小时后蓄水池中的水量最少,为50吨”也可以. 未答者 扣1分. 17.解:⑴∵函数 y ? f ( x) 的图象经过 P(3, 4)
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∴ a ? 4 ,即 a ? 4 . 又 a ? 0 ,所以 a ? 2 .
3-1 2

……………………………………… 2 分 ……………………………………… 4 分

1 ) ? f (?2.1) ; 100 1 ) ? f (?2.1) . …………………………………… 6 分 当 0 ? a ? 1时, f (lg 100 1 ) ? f (?2) ? a ?3 , f (?2.1) ? a ?3.1 因为, f (lg 100 x 当 a ? 1 时, y ? a 在 (??, ??) 上为增函数,
⑵当 a ? 1 时, f (lg ∵ ?3 ? ?3.1 ,∴ a 即 f (lg
?3

? a?3.1 .

1 ) ? f (?2.1) . 100 x 当 0 ? a ? 1时, y ? a 在 (??, ??) 上为减函数,
∵ ?3 ? ?3.1 ,∴ a 即 f (lg
?3

? a?3.1 .

1 ) ? f (?2.1) . ……………………………………… 8 分 100 lg a ?1 ? 100 . ⑶由 f (lg a) ? 100 知, a lg a ?1 ? 2 (或 lg a ? 1 ? log a 100 ). 所以, lg a ∴ (lg a ? 1) ? lg a ? 2 . 2 ∴ lg a ? lg a ? 2 ? 0 , ……………………………………… 10 分 ∴ lg a ? ?1 或 lg a ? 2 , 1 所以, a ? 或 a ? 100 . ……………………………………… 12 分 10
说明:第⑵问中只有正确结论,无比较过程扣2分. 18.解: (1) f ( x) ? A , g ( x) ? A . ……………………………………… 2 分 对于 f ( x) ? A 的证明. 任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x x 2 ? x2 2 x ?x x 2 ? 2 x1 x2 ? x2 2 ? f( 1 2)? 1 ? ( 1 2 )2 ? 1 2 2 2 2 4 1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 4 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x 即 ? f ( 1 2 ) . ∴ f ( x) ? A …………………………… 3 分 2 2 对于 g ( x) ? A ,举反例:当 x1 ? 1 , x2 ? 2 时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 1 ? (log 2 1 ? log 2 2) ? , 2 2 2 x1 ? x2 1? 2 3 1 g( ) ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? , 2 2 2 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) x1 ? x2 不满足 ? g( ) . ∴ g ( x) ? A . ……………………… 4 分 2 2

2 1 ?2? ⑵函数 f ( x ) ? ? ? ,当 x ? (0, ??) 时,值域为 (0,1) 且 f (1) ? ? .…… 6 分 3 2 ?3?
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任取 x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 ,则
x1 ? x2 x x ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 1 ?? 2 ? 1 ? 2 ? 2 2? 2 ? ? ? f( ) ? ? ? ? ? ? ? 2?? ? ? 2 2 2 ?? 3 ? ? 3 ? ?3? ? ? x1 2 x1 ?? ? 1 ? ?? 2 ? 2 ? ?2?2 ? ? ? ? ? 2?? ? 2 ? ?? 3 ? ? ?3? ? ?? x2 ? ? ?2? ?2?2 ? ? ?? ? ? ? ? ?? 3 ? ? ?3? ? ? x2 2 2 x1 x2 2 ? ? ? 2 ? 1 ?? 2 ? ?2?2 ? ?0 ? ? ? ? ?? ? ?3? ? ? 2 ?? 3 ? ? ? ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ?2? 即 ? f ( 1 2 ) . ∴ f ( x ) ? ? ? ? A . ………………… 8 分 2 2 ?3? k x 1 (k ? 1) 为常见. 说明:本题中 f ( x) 构造类型 f ( x) ? a ( ? a ? 1) 或 f ( x) ? 2 x?k

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