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高三数学总复习 12.3 平均数、方差与标准差教学案 新人教版必修1


12.3 平均数、方差与标准差
一、知识导学
?

1.n 个数据 a 1 , a 2 ,??. a n 的平均数或平均值一般记为 a =

a1 ? a 2 ? ........ ? a n n

.

2 . 一 般 地 , 若 取 值 x1 , x 2 ,......, x

n 的 频 率 分 别 为 p1 , p 2 ,......, p n , 则 其 平 均 数 为

x1 p1 ? x 2 p 2 ? ...... ? x n p n .
3.把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.
2 4. 一般地,设一组样本数据 x1 , x 2 ,......, x n ,其平均数为 x ,则称 s ?
?

1

? (x n
i ?1

n

i

? x ) 2 为这个样本的方

?

差,算术平方根 s ?

1 n

? ( x i ? x ) 2 为样本的标准差,分别简称样本方差,样本标准差.
i ?1

n

?

二、疑难知识导析 1.平均数,中位数 和众数都是总体的数字特征,从不同角度反映了分布的集中趋势,平均数是最常用的 指标,也是数据点的“重心”位置,它易受极端值(特别大或特别小的值)的影响,中位数位于数据序 列的中间位置,不受极端值的影响,在一组数据中,可能没有众数,也可能有多个众数. 2.方差和标准差是总体的数字特征,反映了分布的分散程序(波动大小) ,标准差也会受极端值(特别 大或特别小的值)的影响. 3.分布的分散程序还可以用极差来描述,但较粗略. 4.样本方差也可以用公式 s ?
2

1

?x n
i ?1

n

2 i

? x 计算.

2

三、经典例题导讲 [例 1]某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x, y ,10 ,11,9. 已知这组数据的平均数为 10, 方差为 2,则 x ? y 的值为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

解:由平均数公式为 10,得 ( x ? y ? 10 ? 11 ? 9) ?

1 5

? 10 ,则 x ? y ? 20 ,又由于方差为 2,则

??x ? 10 ?

2

? ? y ? 10 ? ? ?10 ? 10 ? ? ?11 ? 10 ? ? ?9 ? 10 ? ?
2 2 2 2

?

1 5

? 2得

x 2 ? y 2 ? 208
所以有 x ? y ?

2 xy ? 192

? x ? y ?2

?

x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 4 ,故选 D.

[例 2]数据 x1,? , x n 是一名运动员的 n 次射击的命中环数,则他的平均命中环数的估计是( ).

1

A.样本平均数均值 x ?

1

?x n
i ?1

n

i

B.样本极差 R ? max( x1 , ? , x n ) ? min( x1 , ? , x n )

C.样本方差 s ?
2

1 n

? ( xi ? x) 2
i ?1

n

D.样本平均差 AD=

1 n

?x
i ?1

n

i

?x

错解:C. 错因:后三个选项都表示了样本的波动程度,不能用于总体平均 值的估计. 正解:A. [例 3]某房间中 10 个人的平均身高为 1.74 米,身高为 1.85 米的第 11 个人,进入房间后,这 11 个人的 平均身高是多少? 解:原来的 10 个人的身高之和为 17.4 米,所以,这 11 个人的平均身高为

1.74 ? 10 ? 1.85 11

=1.75.即这

11 个人的平均身高为 1075 米 [例 4]若有一个企业,70%的人年收入 1 万,25%的人年收入 3 万,5%的人年收入 11 万,求这个企业的年 平均收入及年收入的中位数和众数 解:年平均收入为 1 ? 70 % ? 3 ? 25 % ? 11 ? 5% ? 2 (万) ;中位数和众数均为 1 万 [例 5]下面是某快餐店所有工作人员的收入表: 老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 3000 元 450 元 350 元 400 元 320 元 320 元 410 元 (1)计算所有人员的月平均收入; (2)这个平 均收入能反 映打工人员的月收入的一般水平吗?为什么? (3)去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打 工人员的月收入的水平吗? (4)根据以上计算,以统计的观点对(3)的结果作出分析 解: (1)平均收入 x1 ?
?

1 7

(3000+450+350+400+320+320+410)=750 元

(2)这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平,可以看出打工人员的收入都低于平均收入,因为 老板收入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大的影响,并且他不是打工人员 (3)去掉老板后的月平均收入 x 2 ?
?

1 6

(450+350+400+320+320+410)=375 元.这能代表打工人员的月收

入水平 (4)由上可见,个别特殊数据可能对平均值产生大的影响,因此在进行统计分析时,对异常值要进行 专门讨论,有时应剔除之 四、典型习题导练 1. 在一次知识竞赛中,抽取 20 名选手,成绩分布如下: 成绩 6 7 8 9 10 人数分布 1 2 4 6 7 则选手的平均成绩是 ( ) A.4 B.4.4 C.8 D.8.8 2.8 名新生儿的身长(cm)分别为 50,51,52,55,53,54,58,54,则新生儿平均身长的估计 为 ,约有一半的新生儿身长大于等于 ,新生儿身长的最可能值 是 . 3.某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下:
2

等待时间 (分 ?0,5? 钟) 人数 4

?5,10 ?
8

?10 ,15 ?
5
?

?15 ,20 ?
2

?20 ,25 ?
1 , 病人等待时间的标准差的估计

用上述分组资料计算得病人平均等待 时间的估计值 x = 值s=

4.样本 x1 , x 2 ,......, x10 的平均数为 5,方差为 7,则 3 ? x1 ? 1?,3? x 2 ? 1?,......, 3? x10 ? 1? 的平均数、方差, 标准差分别为 5 .下面是一个班级在一次测验时的成绩(已按从小到大的次序排列) ,分别计算男生和女生的成绩和平 均值,中位数以及众数,试问中位数的含义是什么?对比两个平均值和中位数,你分析一下这个班级的 学习情况 男生:55,55,61,65,68,71,72,73,74,75,78,80,81,82,87,94 女 生:53,66,70,71,73,73,75,80,80,82,82,83,84,85,87,88,90,93,94,97 6.某工厂甲,乙两个车间包装同一产品,在自动包装传送带上每隔 30min 抽一包产品,称其重量是否 合格,分别记录抽查数据如下:甲车间:102,101,99,103,98,99,98;乙车间:110,105,90, 85,75,115,110. (1)这样的抽样是何种抽样方法? (2)估计甲、乙两车间的均值与方差,并说明哪个车间的产品较稳定.

3


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