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高中数学 选修2-2 1.1 变化率与导数(人教新课标)


第一章

导数及其应用

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1.1

变化率与导数

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课前预习导学

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学习目标 1.记住函

数的平均变化率的概念,学会用 符号语言刻画函数的平均变化率; 2.知道函数的平均变化率的几何意义,会求函 数的平均变化率; 3.知道导数概念的实际背景,知道瞬时变化率 就是导数; 4.会通过函数图象直观地理解导数的几何意 义. 重点难点

重点:导数的概念 及其几何意义; 难点:导数的概念.

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预习导引
1.平均变化率 (1)平均变化率的定义 对于函数 f(x),当自变量 x 从 x1 变到 x2 时,函数值从 f(x1)变到 f(x2), 则称式子
(2 )-f(1 ) 为函数 2 -1

f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率.

(2)符号表示 习惯上,自变量的改变量用 Δx 表示,即 Δx=x2-x1,函数值的改变
Δ 量用 Δy 表示,即 Δy=f(x2)-f(x1),于是平均变化率可以表示为Δ.

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(3)平均变化率的几何意义 如下图所示,函数 f(x)的平均变化率的几何意义是:直线 AB 的斜 率.事实上,kAB=
- -

=

(2 )-f(1 ) 2 -1

=

Δ .根据平均变化率的几何意义, Δ

可求解有关曲线割线的斜率.

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预习交流 1
思考:函数 f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率可以等于 0 吗?若平 均变化率等于 0,是否说明 f(x)在(x1,x2)上没有变化或一定为常数? 提示:函数 f(x)在区间(x1,x2)上的平均变化率可以等于 0,这时 f(x1)=f(x2);平均变化率等于 0,不能说 f(x)在区间(x1,x2)上没有变化, 也不能说明 f(x)一定为常数,例如 f(x)=x2-1 在区间(-2,2)上.

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2.导数的概念 (1)导数的定义 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 x = x→0
f(0 +x)-f(0 ) ,称它为函数 x x→0 y



y=f(x)在 x=x0 处的导数.

(2)导数的符号表示 用 f'(x0)或 y'|x=x 表示函数 f(x)在 x=x0 处的导数,即
0

f'(x0)= x = x→0 x→0

y

f(0 +x)-f(0 ) . x

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预习交流 2
(1)思考:能否认为函数在 x=x0 处的导数值越大,其函数值变化 就越大? 提示:不能.导数的正、负号确定函数值变化的趋势,其绝对值的 大小决定函数值变化的快慢,应该说导数的绝对值越大,函数值变化 得越快. (2)做一做:求函数 f(x)=2x2 在点 x=-1 处的导数. 提示:①求 f(x)在 x=-1 处函数值的改变量 Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=2(Δx)2-4Δx; ②求 f(x)的平均变化率x=2Δx-4; ③求瞬时变化率即导数
y f'(-1)= x x→0 y

= (2Δx-4)=-4.
x→0
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3.导数的几何意义 (1)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点 x0 处 的切线的斜率,即 f'(x0)=k=
f(0 +x)-f(0 ) . x x→0

(2)从求函数 f(x)在 x=x0 处导数的过程可以看到,当 x=x0 时,f'(x0) 是一个确定的数.这样,当 x 变化时,f'(x)便是 x 的一个函数,称它为 f(x) 的导函数(简称为导数),y=f(x)的导函数有时也记作 y',即 f'(x)=y'=
f(x+x)-f(x) . x x→0

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预习交流 3
(1)思考:曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗? 提示:不一定.曲线的切线与曲线可能有一个公共点,也可能有无 数个公共点.如直线 y=1 与曲线 y=sin x 相切,但它们有无数个公共 点. (2)做一做:已知曲线 y=x2,经过点 M(-2,3)作曲线的切线,则切点 坐标是 . 2 提示:设切点坐标为 P(x0,x0 ),由导数的几何意义知切线的斜率 2 等于 P 点的导数值 f'(x0).而 Δy=(x0+Δx)2-x 0 =2x0Δx+(Δx)2,
y ∴ =2x0+Δx,于是 x y f'(x0)= x=2x0,因此有 x→0 x2 -3 2x0=x 0+2,即 0

2 2 2x0 +4x0=x0 -3,解得 x0=-1,或-3. 故切点坐标是(-1,1),或(-3,9).
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课堂合作探究

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问题导学
一、函数平均变化率的计算 活动与探究 1
求函数 f(x)=x+2在区间(-1,0),(1,3),(4,4+Δx)上的平均变化率. 思路分析:按照平均变化率的定义分三步求得平均变化率的值 或表达式.
1

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1 解:f(x)= 在区间(-1,0)上的平均变化率为 x+2 y x

=

f(0)-f(-1) 0-(-1) 1

=

1 2-1

1

=- ;

1 2

f(x)=x+2在区间(1,3)上的平均变化率为
y x

=

f(3)-f(1) 3-1

= 2 =-15;

11 53

1

1 f(x)= 在区间(4,4+Δx)上的平均变化率为 x+2 y x

=

f(4+x)-f(4) (4+x)-4

=

1 1 6+x-6

x

=

-1 . 6(6+x)
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迁移与应用 1.已知函数 y=f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点
y (1+Δx,f(1+Δx)),则 =( x

)

A.4 B.4+2Δx C.4+2(Δx)2 D.4x 解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=2(Δx)2+4Δx, 所以 =2Δx+4. 答案:B
y x

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2.已知 f(x)=x2-3x+5,则函数 f(x)从 1 到 2 的平均变化率 是 . 解析:Δx=2-1=1,Δy=f(2)-f(1) =22-3× 2+5-(12-3× 1+5)=0. ∴ =0.∴ 函数 f(x)从 1 到 2 的平均变化率为 0. 答案:0
y x

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求函数 y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的步骤: (1)求自变量的改变量:Δx=x2-x1; (2)求函数值的改变量:Δy=f(x2)-f(x1);
y (3)求平均变化率:x

=

f(2 )-f(1 ) x

=

f(2 )-f(1 ) . 2 -1

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二、瞬时速度 活动与探究 2
一辆汽车按规律 s=at2+1 做直线运动,若汽车在 t=2 时的瞬时速 度为 12,求 a. 思路分析:先根据瞬时速度的求法得到汽车在 t=2 时的瞬时速 度的表达式,再代入求出 a 的值.

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解:∵ 2+1, s=at ∴ s(2+Δt)=a(2+Δt)2+1=4a+4aΔt+a(Δt)2+1. 于是 Δs=s(2+Δt)-s(2)=4a+4aΔt+a(Δt)2+1-(4a+1)=4aΔt+a(Δt)2,
s ∴ t

=

4at+a(t)2 =4a+aΔt. t s

因此 t = (4a+aΔt)=4a, t→0 t→0 依题意有 4a=12,∴ a=3.

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迁移与应用 1.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2.其中 s 的单位是米,t 的单位是 秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 解析:s(3+Δt)=1-(3+Δt)+(3+Δt)2=(Δt)2+5Δt+7,所以 s(3+Δt)-s(3)=(Δt)2+5Δt,故 速度为 t =5(米/秒). t→0 答案:C
s s(3+t)-s(3) =Δt+5,于是物体在 t

3 秒末的瞬时

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2.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则此 物体在 t=2 时的瞬时速度是 . 解析:由于 Δs=3(2+Δt)-(2+Δt)2-(3× 2) 2-2 =3Δt-4Δt-(Δt)2=-Δt-(Δt)2,
s ∴ t

=

-t-(t)2 =-1-Δt. t

∴ t = (-1-Δt)=-1. v= t→0 t→0 ∴ 物体在 t=2 时的瞬时速度为-1. 答案:-1
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s

根据条件求瞬时速度的步骤: (1)探究非匀速直线运动的规律 s=s(t); (2)由时间改变量 Δt 确定位移改变量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0); (3)求平均速度 v= t ; (4)运用逼近思想求瞬时速度:当 Δt→0 时,t →v(常数).
s s

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三、利用导数的定义求导数 活动与探究 3
(1)求函数 f(x)=x+1在 x=1 处的导数; (2)求函数 f(x)=2 x 的导数. 思路分析:对于(1)可有两种方法:一是直接利用导数定义求解, 二是先求出 f'(x),再令 x=1 求得 f'(x)的函数值即得导数值;对于(2)可 按照导函数的定义直接求导数.
1

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解:(1)方法一:(导数定义法)∵ Δy=f(1+Δx)-f(1)=

1 1 ? 2+x 2

=

-x y ,∴ 2(2+x) x

= 2(2+x),于是 f(x)在 x=1 处的导数 f'(1)= x=-4. x→0

-1

y

1

1 1 方法二:(导函数的函数值法)∵ Δy= ? x+x+1 x+1

=

-x y ,∴ (x+x+1)(x+1) x 1 f'(1)= 2 =-4. (1+1) -1

=

-1 ,因此 (x+x+1)(x+1)

y f'(x)= x x→0

=

-1 (x+1)

2 ,于是

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(2)∵ Δy=f(x+Δx)-f(x)=2 x + x-2 x,

y ∴ x

=

2 x+x-2 x x

= =

(2 x+x-2 x)( x+x+ x) x( x+x+ x) 2 , x+x+ x y f'(x)= x→0 x

于是 f(x)的导数

=

2 x→0 x+x+ x

=

1 x

=

x . x

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迁移与应用 1.若函数 f(x)=ax-2 在 x=3 处的导数等于 4,则 a=( A.3 B.-2 C.4 D.2 解析:由题意知 f'(3)=4,而 f'(3)= 故 a=4. 答案:C
a(3+x)-2-(3a-2) x x→0

) = a=a,
x→0

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2.函数 y= 2 在 x=2 处的导数为 解析一:(导数定义法) ∵ Δy=
4 (x+2)
2

4 x

.

?

4 22

=

4 (x+2)

2 -1

=-

(x)2 +4x (x+2)
2

,

y x+4 ∴ =. x (x+2)2

y x+4 ∴ x=- 2 =-1. x→0 x→0 (x+2)
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解析二:(导函数的函数值法) ∵ Δy=
4 (x+x)
2?

4 4x(2x+x) =- 2 2 , x2 (x+x)

∴ =-

y x

4(2x+x)
2 2 (x+x)

.

y 4(2x+x) 8 ∴ =- 2 y'= y'| 2 =-x3 .∴ x=2=-1. x→0 x x→0 (x+x)

答案:-1

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(1)“函数在一点处的导数”:就是在该点的函数的改变量与自变 量的改变量的比的极限,它是一个数值,不是变量. 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数步骤是: ①求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0); ②求平均变化率:x =
y f(0 +x)-f(0 ) ; x

y ③取极限,得导数:f'(x0)= . x→0 x

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(2)“导函数”:如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说 f(x)在开区间(a,b)内可导,这时对于区间(a,b)内每一个确定的值 x0,都 对应着一个导数 f'(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我 们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作 f'(x)或 y', 即 f'(x)=y'= x = x→0 x→0
y f(x+x)-f(x) . x

(3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是导函数 f'(x)在点 x=x0 处的函数值 f'(x0)=f'(x)|x=x ,所以求函数在某一点处的导数,一般是
0

先求出函数的导函数,再计算这点的导函数值.

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四、导数的几何意义及应用 活动与探究 4 设直线 l 是曲线 y=x2 的一条切线,求满足下列要求的切点. (1)平行于直线 y=4x-5; (2)垂直于直线 2x-6y+5=0; (3)与 x 轴成 135° 的倾斜角. 思路分析:本题主要考查导数的几何意义和两直线平行、 垂直的 条件.解题的关键是设出切点的坐标.求出切线的斜率.
f(x+x)-f(x) 解:f'(x)= x x→0

=

(x+x)2 -2 =2x,设 P(x0,y0)是满足 x x→0

条件的切点. (1)∵ 切线与直线 y=4x-5 平行,∴ 0=4,x0=2,y0=4,即 P(2,4)是满足 2x 条件的点.
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(2)∵ 切线与直线 2x-6y+5=0 垂直, ∴ 0·3=-1,得 x0=-2,y0=4, 2x 即P - ,
3 9 2 4 1 3 9

是满足条件的点.

(3)∵ 切线与 x 轴成 135° 的倾斜角, ∴ 其斜率为-1,即 2x0=-1,得 x0=-2,y0=4, 即P - ,
1 1 2 4 1 1

是满足条件的点.

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迁移与应用 1.已知曲线 为( ) A.30° B.45° C.135° D.165°
1 2 y= x -2 2

上一点 P

3 1,2

,则过点 P 的切线的倾斜角

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解析:∵ 2x2-2, y=
1 1 2 (x+x) -2- 22 -2 2

1

∴ y'=

x→0

x
1 2 (x) +xx 2

=

x→0

x

=

1 x + 2 x x→0

=x.

∴ x=1=1. y'| ∴ 过点 P 1,- 2 的切线的斜率为 1, 则切线的倾斜角为 45° . 答案:B
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3

2.已知曲线 C:y=x3. (1)求过曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点?

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解:(1)将 x=1 代入曲线 C 的方程得 y=1, ∴ 切点为 P(1,1).
y ∵ x y'= x→0

=

(x+x)3 -3 x x→0

32 x+3x(x)2 +(x)3 = x x→0

= [3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,
x→0

∴ x=1=3. y'| ∴ P 点的切线方程为 y-1=3(x-1), 过 即 3x-y-2=0.
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y = 3(x-1) + 1, (2)由 可得(x-1)(x2+x-2)=0, y = x3 , 解得 x1=1,x2=-2. 从而求得公共点为 P(1,1),或 P(-2,-8). 说明切线与曲线 C 除了切点外,还有另外的公共点.

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(1)导数的几何意义是指:曲线 y=f(x)在(x0,y0)点处的切线的斜率 就是函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,而切线的斜率就是切线倾斜角的 正切值. (2)运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时,一定要注意所 给的点是否是在曲线上,若点在曲线上,则该点的导数值就是曲线在 该点的切线的斜率;若该点不在曲线上,则该点的导数值不是切线的 斜率. (3)若所给的点不在曲线上,应另设切点,然后利用导数的几何意 义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解.

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当堂检测
1.函数 f(x)=x3 在区间(-1,3)上的平均变化率为( ) A.6.5 B.7 C.14 D.13 解析:
y x

=

f(3)-f(-1) 3-(-1)

=

27-(-1) =7. 4

答案:B

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12 2.若一物体的运动方程为 s(t)=2-2t ,则该物体在 t=6 时的瞬时速度为

( A.8

) B.-4 = C.-6
s(6+t)-s(6) t t→0

D.6 =
2-2(6+t) -(-16) t
1
2

s 解析:瞬时速度为 t→0 t

t→0

=

- 2 t-6 =-6. t→0 答案:C

1

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3.已知曲线 y=2x2 上一点 A(2,8),则点 A 处的切线斜率为( A.4 B.16 C.8 D.2
y 解析:由于 y'|x=2= x x→0

)

=

2(2+x)2 -8 =8,由导数几何意义知点 A x x→0

处的切线斜率 k=y'|x=2=8. 答案:C 4.若 f(x)=-4x+1,则 f'(0)= 解析:f'(0)= x = x→0 x→0 答案:-4
y

.
-4(0+x)+1-1 =-4. x

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5.已知曲线 y= x3 上一点 P 2,

1 3

8 3

,如图,求:

(1)点 P 处的切线的斜率; (2)点 P 处的切线方程.
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解:(1)由 y=3x3,∴ x y'= x→0 =
1 1 (x+x)3 -33 3

1

y

x→0

x

1 32 x+3x(x)2 +(x)3 = 3 x→0 x

=3 [3x2+3xΔx+(Δx)2]=x2,
x→0

1

y'|x=2=22=4. ∴ P 处的切线的斜率等于 4. 点 (2)在点 P 处的切线方程是 y-3=4(x-2), 即 12x-3y-16=0.
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8


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