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湖北省黄冈市武穴市育才高中2015届高三下学期3月月考数学试卷(文科)


湖北省黄冈市武穴市育才高中 2015 届高三下学期 3 月月考数学试 卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)若 i 是关于 x 的实系数方程 x +bx+c=0 的一个复数根,则() A.b=2,c=3 B.b=2,c=﹣1 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=

﹣2,c=3

2. (5 分)若集合 A={x|﹣1≤2x+1≤3}, A.{x|﹣1≤x<0} B.{x|0<x≤1}

,则 A∩B=() C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}

3. (5 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1) =4,则 g(1)等于() A.4 B. 3 C. 2 D.1 4. (5 分)已知 f(x)=sin(ωx+ ) (ω>0)的图象与 y=﹣1 的图象的相邻两交点间的距离

为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=cos2x 的图象() A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位 B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

5. (5 分)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)+(x﹣b) (x﹣c)+(x﹣c) (x﹣a) 的两个零点分别位于区间() A.(a,b)和(b,c)内 B.(﹣∞,a)和(a,b)内 C. (b, c) 和 (c,+∞)内 D. (﹣∞,a)和(c,+∞)内

6. (5 分)已知△ ABC 和点 M 满足 则 m=() A.2

.若存在实数 m 使得

成立,

B. 3

C. 4
2 2 2

D.5

7. (5 分)已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2an =an+1 +an﹣1 (n≥2) ,则 a6 等于() A.16 B. 8 C. D.4

8. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 D,若指数函数 y=a 的图象上存在

x

区域 D 上的点,则 a 的取值范围是() A.(1,3] B.[2,3]

C.(1,2]

D.[3,+∞]

9. (5 分)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△ APB 的最大边是 AB”发生 的概率为 ,则 A. =() B. C. D.

10. (5 分)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍 以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形 轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭 圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①a1+c1=a2+c2;②a1﹣c1=a2﹣c2;③c1a2>a1c2;④ 其中正确式子的序号是() .

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

二、填空题(本大题共 7 小题,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上. ) 11. (5 分)已知 =
2

=2,

?

=﹣2,则 与 的夹角为.

12. (5 分)已知曲线 y=3x +2x 在点(1,5)处的切线与直线 2ax﹣y﹣6=0 平行,则 a=.

13. (5 分)过双曲线

左焦点 F 的直线交双曲线的左支于 M、N 两点,F2 为其右焦

点,则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为.

14. (5 分)已知直线 l:x﹣y+4=0 与圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2,则 C 上各点到 l 的距离的 最小值为. 15. (5 分)某地有居民 100000 户,其中普通家庭 99000 户,高收入家庭 1000 户.从普通家 庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 100 户进行 调查,发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通家庭 50 户,高收人家庭 70 户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所 占比例的合理估计是%. 16. (5 分) 已知函数 f (x) =2 , 等差数列{an}的公差为 2, 若f (a2+a4+a6+a8+a10) =4, 则 log2[f (a1)?f(a2)?f(a3)?…?f(a10)]=.
x

2

2

17. (5 分) 已知点 A (1, ﹣1) , B (3, 0) , C (2, 1) . 若平面区域 D 由所有满足 (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚) 18. (12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. 2 2 (1)sin 13°+cos 17°﹣sin13°cos17° 2 2 (2)sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15° 2 2 (3)sin 18°+cos 12°﹣sin18°cos12° 2 2 2 (4)sin (﹣18°)+cos 48°﹣sin (﹣18°)cos48° 2 2 2 (5)sin (﹣25°)+cos 55°﹣sin (﹣25°)cos55° (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 19. (13 分)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N . (Ⅰ)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列? (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 20. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底 面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD; (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.
*

21. (14 分)设 f(x)=﹣ x + x +2ax (1)若 f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围. (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]的最小值为﹣
2 2

3

2

,求 f(x)在该区间上的最大值.

22. (14 分)如图:⊙O 方程为 x +y =4,点 P 在圆上,点 D 在 x 轴上,点 M 在 DP 延长线上, ⊙O 交 y 轴于点 N, ∥ .且 .

(I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (II) 设 F1 (0, 的取值范围. ) 、 F2 (0, ﹣ ) , 若过 F1 的直线交 (I) 中曲线 C 于 A、 B 两点, 求

湖北省黄冈市武穴市育才高中 2015 届高三下学期 3 月月 考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 A.b=2,c=3 i 是关于 x 的实系数方程 x +bx+c=0 的一个复数根,则() B.b=2,c=﹣1 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=﹣2,c=3
2

考点: 复数代数形式的混合运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 由题意,将根代入实系数方程 x +bx+c=0 整理后根据得数相等的充要条件得到关于 实数 a,b 的方程组 解答: 解:由题意 1+ ∴1+2 i﹣2+b+ ,解方程得出 a,b 的值即可选出正确选项 i 是关于 x 的实系数方程 x +bx+c=0
2 2

bi+c=0,即



,解得 b=﹣2,c=3

故选 D 点评: 本题考查复数相等的充要条件,解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件,能根 据它得到关于实数的方程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题

2. (5 分)若集合 A={x|﹣1≤2x+1≤3}, A.{x|﹣1≤x<0} 考点: 专题: 分析: 值. 解答: B.{x|0<x≤1}

,则 A∩B=() C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}

交集及其运算. 计算题. 根据已知条件我们分别计算出集合 A,B,然后根据交集运算的定义易得到 A∩B 的 解:∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}, ={x|0<x≤2}

故 A∩B={x|0<x≤1}, 故选 B 点评: 本题考查的知识点是交集及其运算,其中根据已知条件求出集合 A,B 是解答本题的 关键. 3. (5 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1) =4,则 g(1)等于() A.4 B. 3 C. 2 D.1 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由 f(x) 、g(x)的奇偶性可得关于 f(1) 、g(1)的方程组,消掉 f(1)即可求得 g(1) . 解答: 解:由 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数得,﹣f(1)+g(1)=2①,f(1)+g(1) =4②, 由①②消掉 f(1)得 g(1)=3, 故选 B. 点评: 本题考查函数奇偶性及其应用,属基础题,定义是解决该类问题的基本方法.

4. (5 分)已知 f(x)=sin(ωx+

) (ω>0)的图象与 y=﹣1 的图象的相邻两交点间的距离

为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=cos2x 的图象() A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位 B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 依题意可知 f (x) =sin (ωx+ 的图象变换即可求得答案. 解答: 解:∵f(x)=sin(ωx+ 为 π, ∴f(x)=sin(ωx+ ∴ω=2; ∴f(x)=sin(2x+ ) . ) , )的周期 T=π,又 ω>0,T= =π, ) (ω>0)的图象与 y=﹣1 的图象的相邻两交点间的距离 ) 的周期为 π, 从而可求得 ω, 利用函数 y=Asin (ωx+φ)

令 g(x)=cos2x=sin(2x+

则 g(x)=sin(2x+ =sin(2x+



g(x﹣

)=sin[2(x﹣

)+

)]

)=f(x) , )的图象,只需将 y=g(x)=cos2x=sin(2x+ )的图象右平

∴要想得到 f(x)=sin(2x+ 移 个单位即可.

故选 B. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,求得 ω 的值是关键,考查平移知识与运 算能力,属于中档题.

5. (5 分)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)+(x﹣b) (x﹣c)+(x﹣c) (x﹣a) 的两个零点分别位于区间() A.(a,b)和(b,c)内 B.(﹣∞,a)和(a,b)内 C. (b, c) 和 (c,+∞)内 D. (﹣∞,a)和(c,+∞)内 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b) , (b,c)内分别存在一个零点;又函 数 f(x)是二次函数,最多有两个零点,即可判断出. 解答: 解:∵a<b<c,∴f(a)=(a﹣b) (a﹣c)>0,f(b)=(b﹣c) (b﹣a)<0,f(c) =(c﹣a) (c﹣b)>0, 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b) , (b,c)内分别存在一个零点; 又函数 f(x)是二次函数,最多有两个零点, 因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a,b) , (b,c)内. 故选 A. 点评: 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键.

6. (5 分)已知△ ABC 和点 M 满足 则 m=() A.2

.若存在实数 m 使得

成立,

B. 3

C. 4

D.5

考点: 向量的加法及其几何意义. 分析: 解题时应注意到 解答: 解:由 则 所以有 = ,故 m=3, ,则 M 为△ ABC 的重心. 知,点 M 为△ ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中点, = ,

故选:B. 点评: 本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理. 7. (5 分)已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2an =an+1 +an﹣1 (n≥2) ,则 a6 等于() A.16 B. 8 C. D.4 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 由题设知 an+1 ﹣an =an ﹣an﹣1 ,且数列{an }为等差数列,首项为 1,公差 d=a2 ﹣ 2 2 a1 =3,故 an =1+3(n﹣1)=3n﹣2,由此能求出 a6. 2 2 2 解答: 解:∵正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2an =an+1 +an﹣1 (n≥2) , 2 2 2 2 ∴an+1 ﹣an =an ﹣an﹣1 , 2 2 2 ∴数列{an }为等差数列,首项为 1,公差 d=a2 ﹣a1 =3,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴an =1+3(n﹣1)=3n﹣2, ∴ =16,

2

∴a6=4, 故选 D. 点评: 本题考查数列的递推式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意等差数列的性 质和应用.

8. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 D,若指数函数 y=a 的图象上存在

x

区域 D 上的点,则 a 的取值范围是() A.(1,3] B.[2,3]

C.(1,2]

D.[3,+∞]

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;指数函数的图像与性质. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 先依据不等式组

,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画
x

出其表示的平面区域,再利用指数函数 y=a 的图象特征,结合区域的角上的点即可解决问题. x 解答: 解:作出区域 D 的图象,联系指数函数 y=a 的图象, 由 得到点 C(2,9) ,

当图象经过区域的边界点 C(2,9)时,a 可以取到最大值 3, 而显然只要 a 大于 1,图象必然经过区域内的点. 故选:A.

点评: 这是一道略微灵活的线性规划问题,本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、 指数函数的图象与性质,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.

9. (5 分)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△ APB 的最大边是 AB”发生 的概率为 ,则 A. =() B. C. D.

考点: 简单线性规划. 专题: 压轴题;不等式的解法及应用. 分析: 先明确是一个几何概型中的长度类型,然后求得事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机 取一点 P,使△ APB 的最大边是 AB”发生的线段长度,再利用两者的比值即为发生的概率 , 从而求出 .

解答: 解: 记“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P, 使△ APB 的最大边是 AB”为事件 M, 试验的全部结果构成的长度即为线段 CD, 构成事件 M 的长度为线段 CD 其一半,根据对称性,当 PD= CD 时,AB=PB,如图. 设 CD=4x,则 AF=DP=x,BF=3x,再设 AD=y, 则 PB= 于是 故选 D. = =4x,解得 , ,从而 .

点评: 本题主要考查几何概型,基本方法是:分别求得构成事件 A 的区域长度和试验的全 部结果所构成的区域长度,两者求比值,即为概率. 10. (5 分)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍 以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形 轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭 圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①a1+c1=a2+c2;②a1﹣c1=a2﹣c2;③c1a2>a1c2;④ 其中正确式子的序号是() .

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据图象可知 a1>a2, c1>c2, 进而根据基本不等式的性质可知 a1+c1>a2+c2; 进而判断①④不正确.③正确;根据 a1﹣c1=|PF|,a2﹣c2=|PF|可知 a1﹣c1=a2﹣c2; 解答: 解:如图可知 a1>a2,c1>c2, ∴a1+c1>a2+c2; ∴①不正确, ∵a1﹣c1=|PF|,a2﹣c2=|PF|, ∴a1﹣c1=a2﹣c2;②正确. a1+c2=a2+c1 2 2 可得(a1+c2) =(a2+c1) , 2 2 2 2 a1 ﹣c1 +2a1c2=a2 ﹣c2 +2a2c1, 2 2 即 b1 +2a1c2=b2 +2a2c1,∵b1>b2 所以 c1a2>a1c2 ③正确; 可得 ,④不正确.

故选 B. 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力. 二、填空题(本大题共 7 小题,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上. ) 11. (5 分)已知 = =2, ? =﹣2,则 与 的夹角为 .

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的运算律将向量的等式展开,利用向量的平方等于向量模的平方,求出两 个向量的数量积;利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦,求出夹角. 解答: 解:设两个向量的夹角为 θ ∵ ∴

∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为 点评: 本题考查向量的运算律、考查向量模的性质:向量模的平方等于向量的平方、考查 利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦. 12. (5 分)已知曲线 y=3x +2x 在点(1,5)处的切线与直线 2ax﹣y﹣6=0 平行,则 a=4. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 求导函数确定切线的斜率,利用切线与已知直线平行,即可求得 a 的值. 解答: 解:求导函数可得 y'=6x+2,令 x=1 则 y'=6×1+3=8 2 ∵曲线 y=3x +2x 在点(1,5)处的切线与直线 2ax﹣y﹣6=0 平行, ∴2a=8 ∴a=4 故答案为:4 点评: 本题考查导数的几何意义,考查切线方程的求法,属于基础题.
2

13. (5 分)过双曲线

左焦点 F 的直线交双曲线的左支于 M、N 两点,F2 为其右焦

点,则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为 8. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线第一定义有|MF2|﹣|MF|=2a,|NF2|﹣|NF|=2a,两式相加得|MF2|+|NF2|﹣ |MN|的值. 解答: 解:根据双曲线定义有|MF2|﹣|MF|=2a,|NF2|﹣|NF|=2a, 两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|=4a=8. 答案:8. 点评: 本题主要考查双曲线定义的灵活运用. 14. (5 分)已知直线 l:x﹣y+4=0 与圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2,则 C 上各点到 l 的距离的 最小值为 . 考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题: 数形结合.
2 2

分析: 如图过点 C 作出 CD 与直线 l 垂直,垂足为 D,与圆 C 交于点 A,则 AD 为所求;求 AD 的方法是:由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式求出圆心 到直线 l 的距离 d,利用 d 减去圆的半径 r 即为圆上的点到直线 l 的距离的最小值. 解答: 解:如图可知:过圆心作直线 l:x﹣y+4=0 的垂线,则 AD 长即为所求; 2 2 ∵圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 的圆心为 C(1,1) ,半径为 , 点 C 到直线 l:x﹣y+4=0 的距离为 ∴AD=CD﹣AC=2 ﹣ = , 故 C 上各点到 l 的距离的最小值为 故答案为: ,



点评: 此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离. 本题的突破点是数形结合, 使用点 C 到直线 l 的距离距离公式. 15. (5 分)某地有居民 100000 户,其中普通家庭 99000 户,高收入家庭 1000 户.从普通家 庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 100 户进行 调查,发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通家庭 50 户,高收人家庭 70 户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所 占比例的合理估计是 5.7%. 考点: 分层抽样方法. 专题: 压轴题. 分析: 首先根据拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占的比例, 得出 100 000 户中居民中拥有 3 套或 3 套以上住房的户数,它除以 100 000 得到的值,为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家 庭所占比例的合理估计. 解答: 解:该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭可以估计有:99000× +1000× =5700

户, 所以所占比例的合理估计是 5700÷100000=5.7%. 点评: 本题分层抽样问题的运用,首先要注意分层抽样的方法与特点,进而根据合理估计 的计算方法,得到答案. 16. (5 分) 已知函数 f (x) =2 , 等差数列{an}的公差为 2, 若f (a2+a4+a6+a8+a10) =4, 则 log2[f (a1)?f(a2)?f(a3)?…?f(a10)]=﹣6. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.
x

分析: 先根据等差数列{ax}的公差为 2 和 a2+a4+a6+a8+a10=2 进而可得到 a1+a3+a5+a7+a9=2 ﹣5×2=﹣8,即可得到 a1+…+a10=﹣6,即可求出答案. x 解答: 解:∵f(x)=2 ,f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,∴a2+a4+a6+a8+a10=2, 又{an}的公差为 2,∴a1+a3+a5+a7+a9=(a2+a4+a6+a8+a10)﹣5d=﹣8, ∴a1+a2+…+a9+a10=﹣6, ﹣6 ∴log2[f(a1)?f(a2)?f(a3)?…?f(a10)]=log22 =﹣6. 故答案为:﹣6. 点评: 本题主要考查等差数列的性质和指数函数的运算法则.属基础题.

17. (5 分) 已知点 A (1, ﹣1) , B (3, 0) , C (2, 1) . 若平面区域 D 由所有满足 (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为 3. 考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 P 的坐标为(x,y) ,根据 ,结合向量的坐标运算解出

,再由 1≤λ≤2、0≤μ≤1 得到关于 x、y 的不等式组,从而得到如图的平行四

边形 CDEF 及其内部,最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域 D 的面积. 解答: 解:设 P 的坐标为(x,y) ,则 =(2,1) , =(1,2) , =(x﹣1,y+1) ,∵ ,



,解之得

∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,∴点 P 坐标满足不等式组

作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形 CDEF 及其内部 其中 C(4,2) ,D(6,3) ,E(5,1) ,F(3,0) ∵|CF|= = , =

点 E(5,1)到直线 CF:2x﹣y﹣6=0 的距离为 d= ∴平行四边形 CDEF 的面积为 S=|CF|×d= 故答案为:3 ×

=3, 即动点 P 构成的平面区域 D 的面积为 3

点评: 本题在平面坐标系内给出向量等式, 求满足条件的点 P 构成的平面区域 D 的面积. 着 重考查了平面向量的坐标运算、 二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知 识,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚) 18. (12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. 2 2 (1)sin 13°+cos 17°﹣sin13°cos17° 2 2 (2)sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15° 2 2 (3)sin 18°+cos 12°﹣sin18°cos12° 2 2 2 (4)sin (﹣18°)+cos 48°﹣sin (﹣18°)cos48° 2 2 2 (5)sin (﹣25°)+cos 55°﹣sin (﹣25°)cos55° (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 考点: 分析法和综合法;归纳推理. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)选择(2) ,由 sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ,可得这个常数的 值. (Ⅱ)推广,得到三角恒等式 sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= .证明方法一:直 接利用两角差的余弦公式代入等式的左边,化简可得结果. 证明方法二:利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 + + cos2α+ ﹣ sin2α﹣ sin2α ,化简可得结果. ﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) ,即 1﹣
2 2 2 2

解答: 解:选择(2) ,计算如下: sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ,故 这个常数为 . (Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广,得到三角恒等式 sin α+cos (30°﹣α) ﹣sinαcos(30°﹣α)= .
2 2 2 2

证明: (方法一)sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)=sin α+ ﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) =sin α+ cos α+ sin α+
2 2 2 2 2

2

2

2

sinαcosα﹣

sinαcosα﹣ sin α= sin α+ cos α= . + ﹣

2

2

2

(方法二)sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) =1﹣ =1﹣ + (cos60°cos2α+sin60°sin2α)﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ sin2α﹣ sin α =1﹣
2

﹣ +

= .

点评: 本题主要考查两角差的余弦公式,二倍角公式及半角公式的应用,考查归纳推理以 及计算能力,属于中档题. 19. (13 分)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N . (Ⅰ)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列? (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 考点: 等比关系的确定;等差数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,可得 an+1=3Sn+1,再写一式,两式相 减,结合 a1=t,即可求得 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列; (Ⅱ)在 (Ⅰ) 的结论下, 求出 , 我们可以得到 bn=log4an+1=n, ,
*

求和时利用分组求和,可以得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上 ∴an+1=3Sn+1,① an=3Sn﹣1+1,②(n>1)…(2 分) ①﹣②:an+1﹣an=3(Sn﹣Sn﹣1)=3an, ∴an+1=4an,n>1…(4 分) ∵a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,a1=t, ∴3t+1=4t,∴t=1 ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列…(6 分) (Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下,an+1=4an, ∴ ,…(8 分) ,…(10 分)

∴bn=log4an+1=n,…(9 分) ∴

…(12 分)

点评: 考查数列与函数的联系,考查等比数列的定义,考查分组求和,求和时根据通项的 特点选择合适的方法是我们解决这类问题的关键所在. 20. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底 面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD; (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (Ⅰ)根据条件,利用平面和平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)根据已知条件判断 ABED 为平行四边形,故有 BE∥AD,再利用直线和平面平行的判 定定理证得 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)先证明 ABED 为矩形,可得 BE⊥CD ①.现证 CD⊥平面 PAD,可得 CD⊥PD,再由 三角形中位线的性质可得 EF∥PD, 从而证得 CD⊥EF ②.结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得 CD⊥平面 BEF,再 由平面和平面垂直的判定定理 证得平面 BEF⊥平面 PCD. 解答: 解: (Ⅰ)∵PA⊥AD,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,由平 面和平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,故四边形 ABED 为平行四边形,故有 BE∥AD. 又 AD?平面 PAD,BE 不在平面 PAD 内,故有 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)平行四边形 ABED 中,由 AB⊥AD 可得,ABED 为矩形,故有 BE⊥CD ①. 由 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥AB,再由 AB⊥AD 可得 AB⊥平面 PAD, ∴CD⊥平面 PAD,故有 CD⊥PD. 再由 E、F 分别为 CD 和 PC 的中点,可得 EF∥PD, ∴CD⊥EF ②. 而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线,故有 CD⊥平面 BEF.

由于 CD?平面 PCD,∴平面 BEF⊥平面 PCD. 点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理,直线和平面平行的判定定理,平面和平 面垂直的判定定理、性质定理的应用,属于中档题.
3 2

21. (14 分)设 f(x)=﹣ x + x +2ax (1)若 f(x)在( ,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范围. (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]的最小值为﹣ ,求 f(x)在该区间上的最大值.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用函数递增,导函数大于 0 恒成立,求出导函数的最大值,使最大值大于 0. (2)求出导函数的根,判断出根左右两边的导函数的符号,求出端点值的大小,求出最小值, 列出方程求出 a,求出最大值. 解答: 解: (1)f′(x)=﹣x +x+2a f(x)在 ∴f′(x)>0 在
2 2

存在单调递增区间 有解

∵f′(x)=﹣x +x+2a 对称轴为 ∴ ∴ 解得 . 递减

(2)当 0<a<2 时,△ >0; f′(x)=0 得到两个根为 ∵ ∴ 时,f′(x)>0; <f(1) 时,f′(x)<0 ; (舍)

当 x=1 时,f(1)=2a+ ;当 x=4 时,f(4)=8a 当 x=4 时最小∴ 所以当 x= = 解得 a=1 时最大为

点评: 本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值.

22. (14 分)如图:⊙O 方程为 x +y =4,点 P 在圆上,点 D 在 x 轴上,点 M 在 DP 延长线上, ⊙O 交 y 轴于点 N, ∥ .且 .

2

2

(I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (II) 设 F1 (0, 的取值范围. ) 、 F2 (0, ﹣ ) , 若过 F1 的直线交 (I) 中曲线 C 于 A、 B 两点, 求

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (I)利用 ,确定 P,M 坐标之间的关系,利用⊙O 方程为 x +y =4,点 P
2 2

在圆上,即可求得点 M 的轨迹 C 的方程; (II)①当直线 AB 的斜率不存在时,显然 =﹣4;②当直线 AB 的斜率存在时,设

AB 的方程代入椭圆方程,利用韦达定理及向量知识,即可得到结论. 解答: 解: (I)设 P(x0,y0) ,M(x,y) , ∵ ,∴
2 2

,∴

…(3 分)

∵⊙O 方程为 x +y =4,点 P 在圆上, 2 2 ∴x0 +y0 =4 ∴

∴点 M 的轨迹 C 的方程为

…(5 分) =﹣4; …(6 分) 与椭圆方程联立,消去 y 可得

(II)①当直线 AB 的斜率不存在时,显然

②当直线 AB 的斜率存在时,不妨设 AB 的方程为:y=kx+ 2 2 (9+4k )x +8 kx﹣16=0 不妨设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ,x1x2=



=(1+k )x1x2+2 …(10 分)
2

2

k(x1+x2)+20=(1+k )×

2

+2



+20=﹣

4+

∵9+4k ≥9,∴ ∴ ∴ 综上所述, 的范围是 …(11 分) …(12 分)

点评: 本题考查代入法求轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用, 解题的关键是联立方程,利用韦达定理进行求解.


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