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高考数学第一轮复习


离散型随机变量的均值与方差
双基自测 1. (2010· 山东)样本中共有五个个体, 其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1, 则样本方差为( A. 解析 6 5 6 B.5 C. 2 D.2 ).

由题意知 a+0+1+2+3=5×1,解得,a=-1. D

?-1-1?2+?0-1?2+?1-1?2+?2-1

?2+?3-1?2 s2 = =2.答案 5 2.已知 X 的分布列为 X P 设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为( 7 A.3 解析 B.4 ). C.-1 D.1 -1 1 2 0 1 3 1 1 6

1 1 1 2 7 E(X)=-2+6=-3,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-3+3=3.

3.(2010· 湖北)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y

已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. A.0.4 解析 B.0.6 C.0.7 D.0.9

x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6.①又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4.②由①②

联立解得 x=0.2,y=0.4. 4.设随机变量 X~B(n,p),且 E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( A.n=8,p=0.2 解析 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 ). D.n=7,p=0.45

?n=8, ∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6,D(X)=np(1-p)=1.28,∴? ?p=0.2.

5.(2010· 上海)随机变量 ξ 的概率分布列由下表给出: ξ P 该随机变量 ξ 的均值是________. 解析 由分布列可知 E(ξ)=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2.
1

7 0.3

8 0.35

9 0.2

10 0.15

★★考向一

离散型随机变量的均值和方差

【例 1】?A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1、A2、A3,B 队队员是 B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵队 员 A1 和 B1 A2 和 B2 A3 和 B3 A 队队员胜的 概率 2 3 2 5 2 5 A 队队员负的 概率 1 3 3 5 3 5

现按表中对阵方式出场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 X,Y (1)求 X,Y 的分布列;(2)求 E(X),E(Y). [审题视点] 首先理解 X,Y 的取值对应的事件的意义,再求 X,Y 取每个值的概率,列成分布列的形 式,最后根据期望的定义求期望. 解 (1)X,Y 的可能取值分别为 3,2,1,0.

2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 P(X=3)=3×5×5=75,P(X=2)=3×5×5+3×5×5+3×5×5=75, 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 3 P(X=1)=3×5×5+3×5×5+3×5×5=5,P(X=0)=3×5×5=25; 根据题意 X+Y=3,所以 8 28 P(Y=0)=P(X=3)=75,P(Y=1)=P(X=2)=75, 2 3 P(Y=2)=P(X=1)=5,P(Y=3)=P(X=0)=25. X 的分布列为

X P

0 3 25

1 2 5

2 28 75

3 8 75

Y 的分布列为 Y P 3 3 25 2 2 5
2

1 28 78

0 8 75

8 28 2 3 22 (2)E(X)=3×75+2×75+1×5+0×25=15; 23 因为 X+Y=3,所以 E(Y)=3-E(X)=15. 【训练 1】 (2011· 四川)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的 收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部 分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小 1 1 1 1 时还车的概率分别为4,2;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为2,4;两人租车时间都不会 超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ). 解 1 1 (1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为4,4.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A,则 1 1 1 1 1 1 5 P(A)=4×2+2×4+4×4=16. 5 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为16. (2)ξ 可能取的值有 0,2,4,6,8. 1 1 1 1 1 1 1 5 P(ξ=0)=4×2=8;P(ξ=2)=4×4+2×2=16; 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 3 P(ξ=4)=2×4+4×2+4×4=16;P(ξ=6)=2×4+4×4=16; 1 1 1 P(ξ=8)=4×4=16. 甲、乙两人所付的租车费用之和 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 8 2 5 16 4 5 16 6 3 16 8 1 16

1 5 5 3 1 7 所以 E(ξ)=0×8+2×16+4×16+6×16+8×16=2. 考向二 均值与方差性质的应用

1 【例 2】?设随机变量 X 具有分布 P(X=k)=5,k=1,2,3,4,5,求 E(X+2)2,D(2X-1), D?X-1?. [审题视点] 利用期望与方差的性质求解.
3



1 1 1 1 1 15 ∵E(X)=1×5+2×5+3×5+4×5+5×5= 5 =3.

1 1 1 1 1 E(X2)=1×5+22×5+32×5+42×5+52×5=11. 1 1 1 1 1 1 D(X)=(1-3)2×5+(2-3)2×5+(3-3)2×5+(4-3)2×5+(5-3)2×5=5(4+1+0+1+4)=2. ∴E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27. D(2X-1)=4D(X)=8, D?X-1?= D?X?= 2. 若 X 是随机变量,则 η=f(X)一般仍是随机变量,在求 η 的期望和方差时,熟练应用期望和 方差的性质,可以避免再求 η 的分布列带来的繁琐运算. 【训练 2】 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现 从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求 X 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值. 解 (1)X 的分布列为 X P 0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5

1 1 1 3 1 ∴E(X)=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5. 1 1 1 3 1 D(X)=(0-1.5)2×2+(1-1.5)2×20+(2-1.5)2×10+(3-1.5)2×20+(4-1.5)2×5=2.75. (2)由 D(η)=a2D(X),得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 E(η)=aE(X)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2.当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ?a=2, ?a=-2, ∴? 或? 即为所求. ?b=-2, ?b=4, 考向三 均值与方差的实际应用

【例 3】?(2011· 福建)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:
4

X1 P 且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值;

5 0.4

6 a

7 b

8 0.1

(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样 本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由. 注:(1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 ; 产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. [审题视点] (1)利用分布列的性质 P1+P2+P3+P4=1 及 E(X1)=6 求 a,b 值. (2)先求 X2 的分布列,再求 E(X2),(3)利用提示信息判断. 解 (1)因为 E(X1)=6,所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即 6a+7b=3.2.

又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1,即 a+b=0.5. ?6a+7b=3.2, ?a=0.3, 由? 解得? ?a+b=0.5, ?b=0.2.

(2)由已知得,样本的频率分布表如下: X2 f 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如下: X2 P 所以 E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下: 6 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为6=1.
5

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

4.8 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 4 =1.2. 据此,乙厂的产品更具可购买性.

6


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