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三角函数、平面向量综合题六类型


三角函数与平面向量综合题的六种类型
题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 ? ? 【例 1】(2007 年高考安徽卷)已知 0 ? ? ? , ? 为 f ( x ) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期, 4 8
2 ? 2 cos ? ? sin 2(? ? ? ) ? ? ? ? a ? (tan(? ? ), ? 1), b ? (c

os ? , 2), a ? b ? m ,求 的值. cos ? ? sin ? 4

【解答】因为 ? 为 f ( x ) ? cos(2 x ?

?

8 ? ? ? ? 又 a ? b ? cos ? ? tan(? ? ) ? 2 ,故 cos ? ? tan(? ? ) ? m ? 2 . 4 4

? ? ) 的最小正周期,故 ? ? ? .因为 a ? b ? m ,

由于 0 ? ? ?

?
4

,所以

2 cos ? ? sin 2(? ? ? )
2

cos ? ? sin ?
2 cos ? (cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ?

?

2 cos ? ? sin(2? ? 2? )
2

cos ? ? sin ?
1 ? tan ? 1 ? tan ?

?

2 cos ? ? sin 2?
2

cos ? ? sin ?

?

? 2 cos ? ?

) ? m ? 2. 4 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式,然后运用三角函数中的和、差、

? cos ? ? tan(? ?

?

半、倍角公式进行恒等变形,以期达到与题设条件或待求结论的相关式,找准时机代入求值或化 简。? 题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 ? ? 【例 2】 (2006 年高考浙江卷)如图,函数 y ? 2 sin(? x ? ? ), x ? R (其中 0 ? ? ? ) 2 的图像与 y 轴交于点(0,1) 。 (Ⅰ)求 ? 的值; ???? ? ???? (Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点,求 P M 与 PN 的夹角。 【解答】 (I)因为函数图像过点 (0,1) , 所以 2 sin ? ? 1, 即 sin ? ? 因为 0 ? ? ?
1 2 .

?
2

,所以 ? ?

?
6

.
) 及其图像,得 M ( ? 1 1 5 , 0), P ( , ? 2), N ( , 0), 6 3 6

(II)由函数 y ? 2 sin(? x ?

?

6 ???? ? ???? 1 1 所以 PM ? ( ? , 2), PN ? ( , ? 2), 从而 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? PM ? PN 15 15 ? ???? ? cos ? PM , PN ?? ???? ,故 ? PM , PN ?? arccos . 17 | PM | ? | PN | 17

1

? ? a ?b ? ? 【评析】 此类问题的一般步骤是:先利用向量的夹角公式: cos a , b ? ? ? 求出被求 a ?b

角的三角函数值,再限定所求角的范围,最后根据反三角函数的基本运算,确定角的大小;或者 利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。 题型三:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 3】(山东卷)在 ? ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; ??? ??? 5 ? ? (2)若 CB ? CA ? ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C ?3 7, 【解答】(1)? tan C ? 3 7 ,? cos C 1 2 2 又? sin C ? cos C ? 1 ,解得: cos C ? ? , 8 1 ? tan C ? 0 ,? C 是锐角,? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? 5 (2)? CB ? CA ? ,? ab cos C ? ,? ab ? 20 , 2 2 又? a ? b ? 9 ,? a ? 2 ab ? b ? 81 ,? a ? b ? 41 ,
2 2 2 2

? c ? a ? b ? 2 ab cos C ? 36 ,? c ? 6 .
2 2 2

【评析】 根据题中所给条件,初步判断三角形的形状,再结合向量以及正弦定理、余弦定 理实现边角转化,列出等式求解。? 题型四:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 ? ? ? ? 【例 4】 (2007 年高考陕西卷) f ( x ) ? a ? b , 其中向量 a ? ( m , cos 2 x ) ,b ? (1 ? sin 2 x ,1) ,
x ? R ,且函数 y ? f ( x ) 的图象经过点 (

?
4

, 2) .

(Ⅰ)求实数 m 的值;? (Ⅱ)求函数 y ? f ( x ) 的最小值及此时 x 值的集合。
? ? 【解答】(Ⅰ) f ( x ) ? a ? b ? m (1 ? sin 2 x ) ? cos 2 x

? ? ? 由已知 f ( ) ? m (1 ? sin ) ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 4 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? ∴当 sin(2 x ? 由 sin(2 x ?
2 sin(2 x ?

?
4

)

?
4

) ? ? 1 时, y ? f ( x ) 的最小值为 1 ?

2,

?

3? ? ? ) ? ? 1 ,得 x 值的集合为 ? x | x ? k ? ? ,k ? Z ? . 4 8 ? ?

2

【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时,可先根据向量的数量积的运算法则求出 相应的函数基本关系式,然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如
y ? A sin(? x ? ? ) ? k ,再借助三角函数的有界性使问题得以解决。?

题型五:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法 【例 5】 (2007 年高考湖北卷)将 y ? 2 cos ? 得图象的解析式为( ) B. y ? 2 cos ?
?x ?3 ?x ?3 ? ? π? ??2 4? π ? ??2 12 ? ?x ? ? A. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?x ?3 ? π? ? ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ? 2 ? 平移,则平移后所 6? 4 ? ?

C. y ? 2 cos ? 【解答】∵ a ? ? ?
? ?

?x ?3

?

π ? ??2 12 ?

D. y ? 2 cos ?

?

? ?x π ? ? , ? 2 ? ,∴平移后的解析式为 y ? 2 cos ? ? ? ??2 4 ? ? 3 6 12 ?

?x ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 ,选 A . ?3 4?

【评析】理清函数 y ? f (? x ) 按向量 a ? ( h , k ) 平移的一般方法是解决此类问题之关键,平 移后的函数解析式为 y ? f [? ( x ? h )] ? k . ? 把函数 y=sin2x 的图象按向量→=(- ,-3)平移后,得到函数 y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0, a 6 ? |?|= )的图象,则?和 B 的值依次为 2 ? A. ,-3 12 ? B. ,3 3 ? C. ,-3 3 ( )

? D.- ,3 12

题型六:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 ? ? x x 【例 6】 (2006 年高考湖北卷)设向量 a ? (sin x , co s x ),b ? (co sx , co s ), ? R,函数 ? ? ? f ( x) ? a ? ( a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集. ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 【解答】 (Ⅰ)∵ f ( x ) ? a ? ( a ? b ) ? a ? a ? a ? b ? sin x ? cos x ? sin x cos x ? cos x
2
? 1? 1 2 sin 2 x ? 1 2 (cos 2 x ? 1) ?
3 2 2 2 3 2 ? 2 2

3

3 2

?

2 2

sin(2 x ?

?
4
2

)
??

∴ f ( x ) 的最大值为 ?
(Ⅱ)要使 f ( x ) ? 即 sin(2 x ?
3 2

,最小正周期是

2?

成立,当且仅当

sin(2 x ?

?
4

)?

3 2


3? 8 ,k ? Z ,

?
4

) ? 0 ? 2k? ? 2 x ?

?
4

? 2k? ? ? ? k? ?

?
8

? x ? k? ?

3

即 f ( x) ?

? 3? ? ? ,k ? Z ? . 成立的 x 的取值集合是 ? x | k ? ? ? x ? k ? ? 2 8 8 ? ?
3

【评析】 结合向量的坐标运算法则,求出函数 f ( x ) 的三角函数关系式,再根据三角公式 对函数 f ( x ) 的三角恒等关系,然后借助基本三角函数的单调性,求简单三角不等式的解集。 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→=(2-2sinA,cosA+sinA)与向量→ p q =(cosA-sinA,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角 A; C-3B (Ⅱ)求函数 y=2sin2B+cos 的最大值. 2 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得 A 角的正弦值, 再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及 A、B、C 三个角的 关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角 B 的表达式,再根据 B 的范围求最值. 【解】 (Ⅰ)∵→、→共线,∴(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA),则 sin2A p q 3 = , 4 又 A 为锐角,所以 sinA= 3 ? ,则 A= . 2 3

? (π- -B)-3B 3 C-3B (Ⅱ)y=2sin2B+cos =2sin2B+cos 2 2 1 3 ? =2sin2B+cos( -2B)=1-cos2B+ cos2B+ sin2B 3 2 2 3 1 ? = sin2B- cos2B+1=sin(2B- )+1. 2 2 6 ? ? ? 5? ? ? ? ∵B∈(0, ),∴2B- ∈(- , ),∴2B- = ,解得 B= ,ymax=2. 2 6 6 6 6 2 3

【跟踪训练】
? ? ? ? ? 1.设函数 f ( x ) ? a ? ( b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x , ? cos x ), b ? (sin x , ? 3 cos x ) ,

? c ? ( ? cos x , sin x ), x ? R .

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期;
? (Ⅱ)将函数 y ? f ? x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称, ? 求长度最小的 d .
? ? ? ? 2.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? ? ? ? . 2 2

4

? ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ;
? ? (Ⅱ)求 a ? b 的最大值.

【参考答案】
? ? ? 1.解:(Ⅰ)由题意得, f ( x ) ? a ? (b ? c ) ? (sin x , ? cos x ) ? (sin x ? cos x , sin x ? 3 cos x )
? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ?
2 2

2 sin(2 x ?

3? 4

),

所以, f ( x ) 的最大值为 2 ? (Ⅱ)由 sin(2 x ?
3? 4

2 ,最小正周期是
3? 4

2? 2

?? . 3? 8

) ? 0 得2x ?

? k ? ,即 x ?

k? 2

?

,k ? Z ,

? ? k ? 3? ? , ? 2) , d ? 于是 d ? ( 2 8

(

k? 2

?

3? 8

) ? 4, k ? Z .
2

? ? ? 因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k ? 1 ,此时 d ? ( ? , ? 2) 即为所求. 8

? ? ? ? 2.解:(Ⅰ)若 a ? b ,则 sin ? ? cos ? ? 0 ,由此得: tan ? ? ? 1, ( ? ? ? ? ) , 2 2 ? 所以, ? ? ? . 4 ? ? (Ⅱ)由 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), 得:
? ? a?b ? (sin ? ? 1) ? (1 ? cos ? ) ?
2 2

3 ? 2(sin ? ? cos ? )

?

3 ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

当 sin(? ?

?

? ? ? ? ? ) ? 1 时, a ? b 取得最大值,即当 ? ? 时, a ? b 的最大值为 2 ? 1 . 4 4

5


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