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函数专题答案


2009 年高考数学试题分类汇编——函数
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a(a ? 0,且a ? 1 的反函数,且 f (2) ? 1 , )
x

则 f ( x) ?

A. log 2 x 【答案】A

B.

1 2x



C. log 1 x
2

D.2 x?2

) 【解析】函数 y ? a(a ? 0,且a ? 1 的反函数是 f ( x) ? log a x ,又 f (2) ? 1 ,即 log a 2 ? 1 ,
x

所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log 2 x ,选 A. 2.(2009 年广东卷文)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

A. (??,2) 【答案】D

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??)

21 世纪教育 网

【解析】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x

? ?? ? ( x ? 2)e
(C) -1

x

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D

3.(2009 全国卷Ⅰ理) 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为( B ) (A)1 (B)2 (D)-2

解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则 y0

? x0 ? 1, y0 ? ln( x0 ? a) ,又? y ' |x ? x0 ?

1 ?1 x0 ? a

? x0 ? a ? 1? y0 ? 0, x 0 ? ?1? a ? 2 .故答案选 B
f ( x) ? g ( x) ? M ? 1?? 2 .
6.(2009 浙江文)若函数 f ( x) ? x ?
2

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x
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A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数

C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考查 结合函数的性质进行了交汇设问.

7.(2009 北京文)为了得到函数 y ? lg (

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 10

) A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 【答案】C 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
.w

A. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3? , B. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3? ,

x?3 , 10 x ?3 D. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg . 10
C. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg 故应选 C.

e x ? e? x 9. (2009 山东卷理)函数 y ? x 的图像大致为( e ? e? x
y y 1 O 1 x 1 O1 x y

).

y

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 e ?e
x

?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1

答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在 于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

e x ? e? x 11.(2009 山东卷文)函数 y ? x 的图像大致为( e ? e? x

).

y y 1 O 1 x 1 O1 x

y

y

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B
?x

C

【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 e ?e
x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. ? 2x ? 1? 2x x ?x e ?e e ?1 e ?1

答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在 于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 12. (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 的值为( A.-1 ) B. -2 C.1 D. 2

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f(3) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 5 , f (0) ? log 2 4 ? 2 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? 2 ? log 2 5 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? log 2 5 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? log 2 5 ? (2 ? log 2 5) ? ?2 ,故选 B.
答案:B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 14.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= ? x (x ? 0)的反函数是 (A) y ? x (x ? 0)
2

(B) y ? ? x (x ? 0)
2

(B) y ? x (x ? 0)
2

(D) y ? ? x (x ? 0)
2

答案:B 解析:本题考查反函数概念及求法,由原函数 x ? 0 可知 AC 错,原函数 y ? 0 可知 D 错, 选 B. 15.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y= y ? log 2

2? x 的图像 2? x

(A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 答案:A

(B)关于主线 y ? ?x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称

解析: 本题考查对数函数及对称知识, 由于定义域为 (-2, 关于原点对称, f(-x)=-f(x), 2) 又 故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。 21.(2009 安徽卷文)设 ,函数 的图像可能是

【解析】可得 x ? a, x ? b为y ? ( x ? a) ( x ? b) ? 0 的两个零解.
2

当 x ? a 时,则 x ? b ? f ( x) ? 0 当 a ? x ? b 时,则 f ( x) ? 0, 当 x ? b 时,则 f ( x) ? 0. 选 C。 【答案】C

? x 2 ? 3x ? 4 22.(2009 江西卷文)函数 y ? 的定义域为 x A. [?4, 1] B. [?4, 0) C. (0, 1] D. [?4, 0) ? (0, 1]
答案:D 【解析】由 ?

?

x?0

2 ?? x ? 3x ? 4 ? 0

得 ?4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D.

26.(2009 江西卷理)函数 y ? A. (?4, ? 1) 答案:C 【解析】由 ? B. (?4,1)

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

C. (?1,1)

D. (?1,1]

?x ?1 ? 0
2

? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1 .故选 C ? ? x ? 3 x ? 4 ? 0 ? ?4 ? x ? 1
2

27.(2009 江西卷理)设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为

y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为
A. 4 答案:A 【解析】由已知 g ?(1) ? 2 ,而 f ?( x) ? g ?( x) ? 2 x ,所以 f ?(1) ? g ?(1) ? 2 ?1 ? 4 故选 A 29.(2009 天津卷文)设 a ? log 1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

B. ?

1 4

C. 2

D. ?

1 2

1 2

0.3

,则

A a<b<c B a<c<b 【答案】B

C b<c<a

D b<a<c

【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a ? 0,0 ? c ? 1 ,而 b ? log 2 3 ? 1 , 因此选 B。 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能力。

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 30.(2009 天津卷文)设函数 f ( x ) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
A

(?3,1) ? (3,??)

B (?3,1) ? (2,??) D (??,?3) ? (1,3)

C (?1,1) ? (3,??)

【答案】A 【解析】由已知,函数先增后减再增 当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 32.(2009 湖北卷理)设 a 为非零实数,函数 y ? A、 y ? C、 y ?

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? ax a
1? x ( x ? R, 且x ? 1) a(1 ? x)

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? )的反函数是 1 ? ax a 1 ? ax 1 B、 y ? ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? ax a
D、 y ?

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) a(1 ? x)

【答案】D 【解析】 由原函数是 y ?

1? y 1 ? ax 1 ( y ? R, 且y ? ?1) 从中解得 x ? ( x ? R, 且x ? ? ) , a(1 ? y ) 1 ? ax a

即原函数的反函数是 x ?

1? y ( y ? R, 且y ? ?1) ,故选择 D a(1 ? y )

33.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A.

x ?1

( x ? R) 的反函数是
B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1) D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ?1)

y ? 1 ? log 2 x( x ? 0)

C. y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 【答案】C 【解析】由 y ? 2
x ?1

? x ? 1 ? log 2 y ? x ? ?1 ? log 2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0)

3 1 1? 3 5 3 5 1 5 2 f ( ) ? f ( ) ? f ( ? 1) ? [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 x 35.(2009 全国卷Ⅱ理)曲线 y ? 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1 5 3 f ( ) ? f ( ? 1) ? 2 2 1?
A. x ? y ? 2 ? 0 解: y ? |x ?1 ? B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0

2x ?1 ? 2x 1 |x ?1 ? [? ] |x ?1 ? ?1 , 2 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 37.(2009 湖南卷文) log 2 A. ? 2
1 2

2 的值为【 D 】
C. ?

B. 2

1 2

D.

1 2

解:由 log 2

1 1 2 ? log 2 2 ? log 2 2 ? ,易知 D 正确. 2 2

38.(2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是【 A 】 y y y y

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解: 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 在区间 [a, b] 上是增函数,即在区间 [a, b] 上 ... 各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A. 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

40.(2009 福建卷理)下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ),当 x1 < x2 时, 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是 A. f ( x) =

1 x

B. f ( x) = ( x ? 1)

2

C . f ( x) = e

x

D f ( x) ? ln( x ?1)

【答案】:A [解析]依题意可得函数应在 x ? (0, ??) 上单调递减,故由选项可得 A 正确。 42.(2009 辽宁卷文) 已知函数 f ( x) 满足: x≥4,则 f ( x) = ( ) ; x<4 时 f ( x) = f ( x ? 1) , 当
x

1 2

则 f (2 ? log 2 3) = (A)

1 24

(B)

1 12

(C)

1 8

(D)

3 8

【解析】∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴ f (2 ? log 2 3) =f(3+log23)

1 3? log2 3 1 1 log 2 3 1 1 log 1 3 1 1 1 ? ?( ) ? ?( ) 2 ? ? ? =( ) 2 8 2 8 2 8 3 24
43.(2009 辽宁卷文)已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A)(

1

1 3

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|< 【答案】A 46.(2009 陕西卷文)函数 f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 4) 的反函数为

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

1 2 x ? 4( x ? 0) 2 1 2 ?1 (C) f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 2
(A) f
?1

( x) ?

1 2 x ? 4( x ? 2) 2 1 2 ?1 (D) f ( x) ? x ? 2( x ? 2) 2
(B) f
?1

( x) ?

学科

答案:D. 解析:令原式 故 f ?1 ( x) ?

y ? f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 2)
故选 D.

则 y ? 2 x ? 4,即x ?
2

y2 ? 4 y2 ? ?2 2 2

1 2 x ? 2( x ? 2) 2
x ?1

50.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A.

( x ? R) 的反函数是
B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1) D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ?1)

y ? 1 ? log 2 x( x ? 0)

C. y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 【答案】C 【解析】由 y ? 2
x ?1

? x ? 1 ? log 2 y ? x ? ?1 ? log 2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0)

1 52.(2009 全国卷Ⅰ文)已知函数 f ( x) 的反函数为 g ( x)= +2lgx ? x>0 ? ,则 f (1) ? g(1) ?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4

【解析】本小题考查反函数,基础题。 解:由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f (1) ? 1 ,又 g(1) ? 1 ,所以 f (1) ? g(1) ? 2 ,故 选择 C。 53.(2009 湖北卷文)函数 y ? A. y ? C. y ?
1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ) 1 ? 2x 2
1? x ( x ? R, 且x ? 1) 2(1 ? x)

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 的反函数是 1 ? 2x 2

B. y ? D. y ?

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? 2x 2
1? x ( x ? R, 且x ? ?1) 2(1 ? x)

【答案】D 【解析】可反解得 x ?

1? y 1? x 故 f ?1 ( x ) 且可得原函数中 y∈R、y≠-1 所以 2(1 ? y ) 2(1 ? x )

f ?1 ( x )

1? x 且 x∈R、x≠-1 选 D 2(1 ? x )
? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

58. (2009 天津卷理) 已知函数 f ( x ) ? ? 取值范围是 A (??, ?1) ? (2, ??)

x?0 x?0

若 f (2 ? a ) ? f (a), 则实数 a 的
2

B (?1, 2)

C (?2,1)

D (??, ?2) ? (1, ??)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。
2

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? 在点x ? 2处 连续,则常数 a 的 59.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 (当x ? 2时) ? ? x?2
值是 A.2 B.3 C.4 D.5

【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。 解析:由题得 a ? log 2 ? 2 ? 2 ? a ? 3 ,故选择 B。
2

61.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x 解析 解析 由 y ? B. f ( x) ?

1 有相同定义域的是 x
D. f ( x) ? e
x

1 x

C. f ( x) ?| x |

1 1 可得定义域是 x ? 0. f ( x) ? ln x 的定义域 x ? 0 ; f ( x) ? 的定义域 x x
x

是 x ≠0; f ( x) ?| x | 的定义域是 x ? R; f ( x) ? e 定义域是 x ? R 。故选 A. 二、填空题 1.(2009 辽宁卷文)若函数 f ( x ) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) 【解析】f’(x)= ( x ? 1) 2
f’(1)= 【答案】3 2.(2009 重庆卷理)若 f ( x) ? 【答案】

3? a =0 ? a=3 4 1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x



1 2
1 2x ?a ? ? a, f ( ? x ) ? ? f ( x ) 2? x ? 1 1 ? 2x

【解析】解法 1 f (? x) ?

2x 1 1 2x 1 ? ? a ? ?( x ? a ) ? 2a ? ? ? 1故a ? x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2
3.若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
2

.

解 法 2 (分离 变量法)上述也可 等价于方程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 内有解, 显然可得 x

a??

1 ? ? ??, 0 ? 2 x2
3 2

7.(2009 江苏卷)函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33x ? 6 的单调减区间为 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。

.

f ?( x) ? 3x 2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,
由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 ( ?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13.(2009 山东卷文)若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 .
x

【解析】: 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有 两 个 零 点 , 就 是 函 数 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1} 与 函 数 y ? x ? a 有 两 个 交 点 , 由 图 象 可 知 当
x

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x ( a ? 1) 的图象过点(0,1),
而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取 值范围是 {a | a ? 1} . 答案: {a | a ? 1} 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查, 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 15.(2009 福建卷理)若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是
3

_____________. 【答案】: (??,0) 解析:由题意可知 f ( x) ? 2ax ?
' 2

1 ,又因为存在垂直于 y 轴的切线, x

所以 2ax ?
2

1 1 ? 0 ? a ? ? 3 ( x ? 0) ? a ? (??, 0) 。 x 2x
x

18. 2009 宁夏海南卷文) ( 曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点 (0,1) 处的切线方程为 【答案】 y ? 3x ? 1 【解析】 y' ? e ? xe ? 2 ,斜率 k= e ? 0 ? 2 =3,所以,y-1=3x,即 y ? 3x ? 1
x x



0

19.(2009 重庆卷文)记 f ( x) ? log3 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f

?1

( x) ,则方程 f ?1 ( x) ? 8 的解

x?
【答案】2


y ?1
?1

解法 1 由 y ? f ( x) ? log3 ( x ? 1) ,得 x ? 3

,即 f

( x) ? 3x ? 1 ,于是由 3x ?1 ? 8 ,解得

x?2
解法 2 因为 f ? 1( x) ? 8 ,所以 x ? f (8) ? log3 (8 ? 1) ? 2 20.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称,则 b=
3 2

( 三、解答题 4. (2009 浙江文)本题满分 15 分) ( 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析:(Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
2

又?

?

f (0) ? b ? 0

? f ?(0) ? ?a (a ? 2) ? ?3

,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

(Ⅱ)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)( a ? 1)( a ? 1) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1
2

5.(2009 北京文)(本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综 合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

? x ? ? 3x 2 ? 3a ,
∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ?a ? 4, ? ? ∴? ?? ?? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ?
(Ⅱ)∵ f
'

? x ? ? 3 ? x2 ? a ? ? a ? 0? ,
'

当 a ? 0 时, f

? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上单调递增,

此时函数 f ( x) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f
'

? x? ? 0 ? x ? ?

a,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增, ' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x) 的极大值点, x ? a 是 f ( x) 的极小值点. 14.(2009 江西卷文)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解:(1) f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) ,
' 2

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,
'
2

所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?
'

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4
' '

(2) 因为 当 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 33.(2009 福建卷文)(本小题满分 12 分)

5 . 2

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ?

(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; ( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;
解法一: (I)依题意,得 f '( x) ? x ? 2ax ? b
2

由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ?1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?
2

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ( 3

故 f '( x) ? x ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x)

(??,1 ? 2a)

(?2a, ?1)
— 单调递减

(?1 ? ?)

+

+ 单调递增

f ( x)

单调递增

由此得,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ②由 a ? 1 时, ? 2a ? ?1, 此时,f '( x) ? 0 恒成立, 且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 , 故函数 f ( x) 1 的单调区间为 R ③当 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1,同理可得函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单 调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上:
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当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a)

(Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?
3

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) 所以函数 f ( x) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 2 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x ? 3 x ? x ? 3
3 2

易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 ,而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线, 故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点 解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)同解法一。 (Ⅲ) a ? ?1 时, f ( x) ? 当 得

1 3 2 由 ') x 2 3 0 x ? x ? 3x , f ( x ? 2? x ? ? 3x

, x1 ? ?1, x2 ? 3 得

由(Ⅱ)得 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数 f ( x) 在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值, 故 M (?1, ), N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

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5 3

8 x ?1 3

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? ? y1 ? 3 , ? y2 ? ? 3 , ? y3 ? ?9 ? ?
所以线段 MN 与曲线 f ( x) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

11 ) 3

38.(2009 重庆卷文)(本小题满分 12 分,(Ⅰ)问 7 分,(Ⅱ)问 5 分) 已知 f ( x) ? x ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) , g ( x) ? ( x ? a) f ( x) .
2

(Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? bx ? c 为偶函数,故 f (? x) ? f ( x) 即有
2

(? x)2 ? b(? x) ? c ? x 2 ? bx ? c 解得 b ? 0
又曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,得 2 ? c ? 5, 有 c ? 1
2

? g ( x) ? ( x ? a) f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? a 从而 g ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ,? 曲线 y ? g ( x) 有
斜 率 为 0 的 切 线 , 故 有 g ( x) ? 0 有 实 数 解 . 即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 有 实 数 解 . 此 时 有
'

2

? ? 4a 2 ? 12 ≥ 0 解得
a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ?? ? ?

?
'

?

所以实数 a 的取值范围: a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

(Ⅱ)因 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,故有 g (?1) ? 0 即 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2
'

又 g ( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1)
2

令 g ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? ?
'

1 3

当 x ? (??, ?1) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (??, ?1) 上为增函数
'

当 x ? (?1, ? ) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (?1, ? ) 上为减函数
'

1 3

1 3

当 x ? (? , ??) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (? , ??) 上为增函数
'

1 3

1 3

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