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山东省淄博市桓台二中2013届高三上学期阶段性检测 数学(理)试题


高三阶段性检测理科数学卷
第Ⅰ卷
1、设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位)则 z ? A. ? i B. i C. ?1

z 的值为( z
D. 1



2、己知集合 Q ? {x | 2x2 ? 5x ? 0, x ? N}, 且P ? Q ,

则满足条件的集合 P 的个数是( A.3 B.4 C. 7 D.8 3、命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( ) A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数



?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 4、设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 目标函数 z ? x - y 的取值范围为( ? x ? 0, y ? 0, ?

)

? 8 ? A. ?- ,2? ? 3 ?
5、由直线 x ? ?

? 8 ? B. ?- ,? 0 ? 3 ?
,x ?

C. ?0, 4?

? 8 ? D. ?- ,? 4 ? 3 ?
)

?
3

?
3

, y ? 0与曲线y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为(

A.

1 2

B.1

C. 3

D.

3 2

6、函数 y=3sin(2x+ ? )的图象关于点( 最小值为( A. ) B.

4? ,0)中心对称,那么| ? |的 3
D.

? 6

2? 3

C.

? 3

5? 6

7、 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点, 则打印的点落 在坐标轴上的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8、 已知函数 f ? x ? 是定义域为 R 的偶函数, f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,若 f ? x ? 且 在[-1,0]上是增函数,那么 f ? x ? 在?1,3? 上是( A.增函数 9、函数 y ? B.减函数 ) D.先减后增的函数

C.先增后减的函数

lg | x | 的图象大致是 x

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x2 y2 10、已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到双 a b 曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( ) 8 3 16 3 2 2 2 2 A.x = y B.x = y C.x =8y D.x =16y 3 3 11、在△ ABC 中,已知 b ? cos C ? c ? cos B ? 3a ? cos B ,其中 a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的 对边.则 cos B 值为( ) A.

1 3

B. ?

1 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

12、已知 x0 是 f ( x ) ? ( ) ?
x

1 2

1 的一个零点, x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,则 x
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分, 把答案填在题中横线上) 13、已知向量 a , b 夹角为 45? ,且| a |=1,|2 a - b |= 10 ,
3
则| b |=________ 14、若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示,则它的侧视图的面 积为 15、已知双曲线
正视图

1
俯视图

x2 y2 ? ? 1 左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F2 作与 a2 b2

x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P ,且 ?PF1 F2 ?
16、将函数 y ? sin( x ? 所得图象向左平移

?
6

,则双曲线的渐近线方程为

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将

? 个单位,则所得函数图象对应的解析式为 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,写出文字说明、演算步骤)
17、 (本小题满分 12 分)

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函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? (1)求 f (x) 的最小正周期及解析式;

?
2

) 的部分图象如图

(2)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ,求函数 g (x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最小值

18、 (本小题满分 12 分) 某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所 学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率 19、 (本小题满分 12 分) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一 点. (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC. 20、 (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且 差数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 an ? ( ) n ,设 cn ?
2 b

1 , a n , S n 成等 2

1 2

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

21、 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C: x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原 点到 m,n 距离的比值. 22、 (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0), g ( x) ? ? x ? 2. (1)求函数 f ( x ) 在点 M (e, f (e)) 处的切线方程; (2)设 F ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? f ?( x)(a ? 0), 讨论函数 F ( x) 的单调性;
2

(3)设函数 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,是否同时存在实数 m 和 M (m ? M ) ,使得对每一个

?1 ? t ? [m, M ] , 直线 y ? t 与曲线 y ? H ( x)( x ? ? , e ?) 都有公共点?若存在, 求出最小的实数 m ?e ?
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和最大的实数 M ;若不存在,说明理由.

高三一轮检测理科数学卷 参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 3 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C 9 D 10 D 11 A 12 C

D

D

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分) 13、 3 2 二.解答题 17、解:(Ⅰ)由图可得 A ? 1, ? 当x? 14、

3 4

15、 y ? ? 2 x

16、 y ? sin(

1 ? x? ) 2 6

?
6

T 2

2? ? ? ? ? ,所以 T ? ? .? ? 2 . 3 6 2

时, f ( x) ? 1 ,可得 sin( 2 ?

?

?| ? |?

?
2

,?? ?

?
6

6

??) ? 1 , ). ) ? cos 2 x ? sin 2 x cos

.? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
6

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x

?
?0 ? x ?
当 2x ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 6

?
2

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
6

??

?
6

5? . 6
1 . 2

,即 x ? 0 时, g (x) 有最小值为 ?

18、解: (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5, 大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1, A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4, A6},{A5,A6},共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1, A3},{A2,A3},共 3 种. 3 1 所以 P(B)= = . 15 5 19、解: (1)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知, AD⊥平面 CDD1C1, 所以点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1, 1 1 又 S?MCC1 = CC1×CD= ×2×1=1, 2 2
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1 1 所以 VA??MCC1 = AD· S?MCC1 = . 3 3 (2)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90°展开,与侧面 ADD1A1 共面(如图),

当 A1,M,C 共线时,A1M+MC 取得最小值. 由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 中点. 连接 C1M,在△C1MC 中,MC1= 2,MC= 2,CC1=2. 2 2 2 所以 CC1=MC1+MC ,得∠CMC1=90°,即 CM⊥MC1. 又由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,B1C1⊥平面 CDD1C1,所以 B1C1⊥CM. 又 B1C1∩C1M=C1,所以 CM⊥平面 B1C1M,得 CM⊥B1M; 同理可证,B1M⊥AM, 又 AM∩MC=M,所以 B1M⊥平面 MAC.

1 , an ? 0 2 1 1 ? a1 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2
20、. 解: (1)由题意知 2an ? S n ? 两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 整理得: ∴数列 ?an ? 是以

an ?2 an ?1

1 为首项,2 为公比的等比数列。 2 1 an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n?1 ? 2 n ?2 2
?bn

2 (2) an ? 2

? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,

Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? ① 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 2 2 2 2 2 n?1

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1 1 ( ? n ?1 ) 1 2 16 ? 8n 2 ? 4 ?8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n 4n ? 4 ? ( ? n ?1 ) ? n ?1 ? n 41 2 2 2
? Tn ? 8n . 2n

21、解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|= 2p. 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2p. 1 1 因为△ABD 的面积为 4 2,所以 |BD|·d=4 2,即 ·2p· 2p=4 2, 2 2 解得 p=-2(舍去),p=2. 所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°. 由抛物线定义知 1 |AD|=|FA|= |AB|, 2 所以∠ABD=30°,m 的斜率为 当 m 的斜率为 3 3 或- . 3 3

3 3 2 3 2 2 时,由已知可设 n:y= x+b,代入 x =2py 得 x - px-2pb=0. 3 3 3 4 2 p 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ = p +8pb=0.解得 b=- . 3 6 p |b1| 因为 m 的截距 b1= , =3, 2 |b| 所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 22、解: (I) f '( x) = ln x +1( x >0) ,

f 则函数 (x) 在点 M (e, f (e)) 处切线的斜率为 f '(e) =2, f (e) ? e , 2 ∴所求切线方程为 y-e=(x-e) ,即 y=2 x-e .
(II) F ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x ? 1( x ? 0),
2

F '( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ( x ? 0, a ? 0) , ? = x x x

1 1 或 , 2 a 1 1 1 1 ①当 0< a <2,即 ? 时,令 F '( x) >0,解得 0< x < 或 x > ; 2 a a 2
令 F '( x) =0,则 x =

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1 1 < x < ;源:] 2 a 1 1 1 1 ∴ F ( x) 在(0, )( ,+ ? )上单调递增,在( , )单调递减. , 2 a 2 a 1 1 ②当 a =2,即 ? 时, F '( x) ≥0 恒成立,∴ F ( x) 在(0,+ ? )上单调递增. a 2 1 1 1 1 ③当 a >2,即 ? 时,令 F '( x) >0,解得 0< x < 或 x > ; a 2 a 2 1 1 令 F '( x) <0,解得 < x < ; a 2 1 1 1 1 , ? F ( x) 在(0, )( ,+ ? )上单调递增,在( , )单调递减. a 2 a 2
令 F '( x) <0,解得 (III) H ( x) ? ? x ? 2 ? x ln x, H '( x) ? ln x. ,令 H '( x) =0,则 x =1, 当 x 在区间 ( , e) 内变化时, H '( x), H ( x) 的变化情况如下表:

1 e

x
H '( x)
H ( x)
又? 2-

1 e

1 ( ,1) e


1
0 极小值 1

(1, e)
+ 递增

e

2?

2 e

递减

2

2 ?1 ? <2 ,∴函数 H ? x ? =-x +2+x ln x(x ? ? ,e ? ) 的值域为[1,2]. e ?e ?

据此可得,若 ?

?m ? 1, 1 ,则对每一个 t ? [m, M ] ,直线 y ? t 与曲线 y ? H ( x)( x ? [ , e]) e ?M ? 2
1 e

都有公共点; 并且对每一个 t ? (??, m) ? ( M , ??) , 直线 y ? t 与曲线 y ? H ( x)( x ? [ , e]) 都 没有公共点. 综 上 , 存 在 实 数 m ? 1 和 M ? 2 , 使 得 对 每 一 个 t ? [m, M ] , 直 线 y ? t 与 曲 线

1 y ? H ( x)( x ? [ , e]) 都有公共点. e

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