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2015届高考数学大一轮复习 课时训练19 三角函数图像与性质 理 苏教版


课时跟踪检测(十九) 三角函数图像与性质
第Ⅰ组:全员必做题 1.函数 y= cos x- 3 的定义域为________. 2

π 2.(2013· 洛阳统考)如果函数 y=3sin(2x+φ)的图像关于直线 x= 对称,则|φ|的最小值 6 为________. π π? 3.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ?-3,

4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ________ 1 1? 2 cos2? ?2x-2?-x 4.(2014· 镇江期末)函数 f(x)= 的对称中心坐标为________. x-1 5.(2013· 浙江高考改编)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇 π 函数”是“φ= ”的________条件. 2 π? ? π? 6.函数 y=2sin? ?2x+3?-1,x∈?0,3?的值域为________,并且取最大值时 x 的值为 ________. 7.设 f(x)= 1-2sin x. (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值.

2π? 8.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?0<φ< 3 ?的最小正周期为 π. (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图像过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ?

第Ⅱ组:重点选做题 1.(2014· 福州质检)已知函数 f(x)=sin x+cos x,x∈R. π? (1)求 f? ?12?的值;

(2)试写出一个函数 g(x),使得 g(x)f(x)=cos 2x,并求 g(x)的单调区间.

π? ? π? 2.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? (2)设 g(x)=f? ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间.

答 第Ⅰ组:全员必做题 1.解析:∵cos x- 3 3 ≥0,得 cos x≥ , 2 2



π π ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 6 6 π π? 答案:? ?2kπ-6,2kπ+6?,k∈Z π ? 1,则π+φ=kπ+π(k∈Z),即 φ=kπ+π(k∈Z),因此 2.解析:依题意得,sin? ?3+φ?=± 3 2 6 π |φ|的最小值是 . 6 π 答案: 6 π π 3.解析:∵ω>0,- ≤x≤ , 3 4 ωπ ωπ ∴- ≤ωx≤ . 3 4 ωπ π 3 由已知条件知- ≤- ,∴ω≥ . 3 2 2 3 答案: 2 x 1? 2 cos2? ?2-2?-x cos?x-1?+1-x cos?x-1?-?x-1? 4.解析:因为 f(x)= = = (x≠1),所以 x-1 x-1 x-1 cos x f(x+1)+1= ,所得函数 f(x)的对称中心为(1,-1). x

答案:(1,-1) 5.解析:若 f(x)是奇函数, π 则 φ= +kπ(k∈Z); 2 π 当 φ= 时,f(x)为奇函数. 2 答案:必要不充分 π π π 6.解析:∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤π, 3 3 3 π? ∴0≤sin? ?2x+3?≤1, π? ∴-1≤2sin? ?2x+3?-1≤1,即值域为[-1,1]; π? π 且当 sin? ?2x+3?=1,即 x=12时,y 取最大值. 答案:[-1,1] π 12

7.解:(1)由 1-2sin x≥0,根据正弦函数图像知:定义域为
? ? ? 5 13π ?x 2kπ+ π≤x≤2kπ+ ?. , k ∈ Z 6 6 ? ? ?

(2)∵-1≤sin x≤1, ∴-1≤1-2sin x≤3, ∵1-2sin x≥0,∴0≤1-2sin x≤3, ∴f(x)的值域为[0, 3], 3π 当 x=2kπ+ ,k∈Z 时,f(x)取得最大值. 2 8.解:∵由 f(x)的最小正周期为 π, 2π 则 T= =π,∴ω=2. ω ∴f(x)=sin(2x+φ). (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). ∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ), 展开整理得 sin 2xcos φ=0, 由已知上式对?x∈R 都成立, 2π π ∴cos φ=0,∵0<φ< ,∴φ= . 3 2 π 3 (2)f(x)的图像过点? , ?时, ?6 2 ?

π 3 ? sin? ?2×6+φ?= 2 , π ? 3 即 sin? ?3+φ?= 2 . 2π π π 又∵0<φ< ,∴ < +φ<π. 3 3 3 π 2π π ∴ +φ= ,φ= . 3 3 3 π? ∴f(x)=sin? ?2x+3?. π π π 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 5π π? ∴f(x)的递增区间为? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. 第Ⅱ组:重点选做题 π? 1.解:(1)因为 f(x)= 2sin? ?x+4?, π? ? π π? 所以 f? ?12?= 2sin?12+4? π 6 = 2sin = . 3 2 (2)g(x)=cos x-sin x. 理由如下: 因为 g(x)f(x)=(cos x-sin x)(sin x+cos x)=cos2x-sin2x=cos 2x, 所以 g(x)=cos x-sin x 符合要求. π? 又 g(x)=cos x-sin x= 2cos? ?x+4?, π 由 2kπ+π<x+ <2kπ+2π, 4 3π 7π 得 2kπ+ <x<2kπ+ ,k∈Z. 4 4 所以 g(x)的单调递增区间为

?2kπ+3π,2kπ+7π?,k∈Z. 4 4? ?
π 由 2kπ<x+ <2kπ+π, 4 π 3π 得 2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z. 4 4 所以 g(x)的单调递减区间为

?2kπ-π,2kπ+3π?,k∈Z. 4 4? ?
π? 2.解:(1)∵x∈? ?0,2?, π π 7π? , . ∴2x+ ∈? 6 ?6 6 ? π? ? 1 ? ∴sin? ?2x+6?∈?-2,1?, π? ∴-2asin? ?2x+6?∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得, π 2x+ ?-1, f(x)=-4sin? 6 ? ? π? g(x)=f? ?x+2? 7π? =-4sin? ?2x+ 6 ?-1 π? =4sin? ?2x+6?-1, 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π 2x+ ?-1>1, ∴4sin? 6? ? π 1 2x+ ?> , ∴sin? 6? 2 ? π π 5π π π π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z,其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调 6 6 6 6 6 2 π 递增,即 kπ<x≤kπ+ , 6 k∈Z, ∴g(x)的单调增区间为

?kπ,kπ+π?,k∈Z. 6? ?
π π 5π π π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 2 6 6 6 3 ∴g(x)的单调减区间为

?kπ+π,kπ+π?,k∈Z. 6 3? ?


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