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对数函数知识点


对数函数知识点

1.对数函数的概念 形如 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的函数叫做对数函数. 说明: (1)一个函数为对数函数的条件是: ①系数为 1; ②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数; ③自变量为真数. 对数型函数的定义域: 特别应注意的是:真数大于零、底数大于零且不等于 1。 2 、 由 对 数 的 定 义 容 易 知 道 对 数 函 数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 是 指 数 函 数

y ? ax(a ? 0, a ? 1) 的反函数。
反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称。 ②若函数 y ? f (x) 上有一点 (a, b) ,则 (b, a) 必在其反函数图象上,反之若 (b, a) 在反函 数图象上,则 (a, b) 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质,由指数函数 y ? a x(a ? 0, a ? 1) 的定义域 x ? R ,值域 y ? 0 , 容易得到对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的定义域为 x ? 0 ,值域为 R ,利用上节学过的 对数概念,也可得出这一点。 3、 .对数函数的图象和性质 定义 底数

y ? loga x(a ? 0且a ? 1)
a ?1 0 ? a ?1

图象

定义域 值域 单调性 共点性 函数值 特征 对称性 增函数

(0,??)
R
减函数 图象过点(1,0),即 loga 1 ? 0

x ? (0,1) ? y ? (??,0); x ?[1,??)

x ? (0,1) ? y ? (0,??); x ?[1,??)

? y ?[0,??) ? y ? (??,0] 函数 y ? loga x 与 y ? log1 x 的图象关于 x 轴对称
a

4.对数函数与指数函数的比较 名称 一般形式 指数函数 对数函数

y ? ax(a ? 0, a ? 1)

y ? loga x(a ? 0, a ? 1)

定义域 值域

(??,??) (0,??)
当 a ? 1时

(0,??) (??,??)
当 a ? 1时

函数值变 化情况

?? 1( x ? 0) ? a x ?? 1( x ? 0) ?? 1( x ? 0) ?
当 0 ? a ? 1时

?? 0(x ? 1) ? loga x?? 0(x ? 1) ?? 0(0 ? x ? 1) ?
当 0 ? a ? 1时

?? 1( x ? 0) ? a ?? 1( x ? 0) ?? 1( x ? 0) ?
x

?? 0(x ? 1) ? loga x?? 0(x ? 1) ?? 0(0 ? x ? 1) ?
当 a ? 1 时, loga x 是增函数; 当 0 ? a ? 1 时, loga x 是减函 数

单调性 图象

当 a ? 1 时, a x 是增函数;当

0 ? a ? 1 时, a x 是减函数

y ? a x 的图象与 y ? loga x 的图象关于直线 y ? x 对称 1 1 y ? 2x, y ? ( ) x, y ? 10 x, y ? ( ) x 要 牢 记 的 反 函 2 10 y ? log2 x, y ? log1 x, y ? lg x, y ? log 1 x 的图象,并由此归纳出表中结论。
2 10



5、比较大小 比较对数的大小,一般遵循以下几条原则: ①如果两对数的底数相同,则由对数函数的单调性(底数 a ? 1 为增; 0 ? a ? 1 为减) 比较。 ②如果两对数的底数和真数均不相同,通常引入中间变量进行比较。 ( a1 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0, a2 ? 1 ). ③ 如 果 两 对 数 的 底 数 不 同 而 真 数 相 同 , 如 y ? loga1 x 与 y ? loga2 x 的 比 较 当 a1 ? a2 ? 1 时, 曲线 y1 比 y2 的图象 (在第一象限内) 上升得慢, 即当 x ? 1 时,y1 ? y2 ; 当 0 ? x ? 1 时, y1 ? y2 . 而在第一象限内,图象越靠近 x 轴对数函数的底数越大(同[考题 2]的含义) 当 0 ? a2 ? a1 ? 1 时,曲线 y1 比 y2 的图象(在第四象限内)下降得快,即当 x ? 1 时,

y1 ? y2 ;当 0 ? x ? 1 时, y1 ? y2 即在第四象限内,图象越靠近 x 轴的对数函数的底数越小。
6、求参数范围 凡是涉及对数的底含参数的问题,要注意对对数的底数的分析,需要分类讨论时,一定 要分类讨论。


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