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!导数的几何意义


3.1.3导数的几何意义

一、复习
1、导数的定义
函数y=f ? x ? 在x=x 0处的导数,记作:f ? ? x 0 ? 或y?
x=x 0

其中:

f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ? + ? ? x x ?y f 0 ?x-f 0?
?x = ?x

表示“平均变化率”

其几何意义是 表示曲线上两点连线(就是曲线 的割线)的斜率。

我们知道, 导数 f

'

? x0 ? 表示函数 f ? x ?

在 x ? x0 处的瞬时变化率 , 反映了函

数 f ? x ? 在 x ? x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' ? x0 ?的几何意义是什么呢 ?

y

观 察 如图 1 .1 ? 2 ,当点 Pn ? xn , f ? xn ??

y ? f ?x ?

y

y ? f ?x ?

P1

P2

T P
O

T

?n ? 1, 2, 3, 4 ?
沿着曲线 P ? x0 , f ? x0 ?? f ? x ?趋近于点

x

O

x

?1?
y
y ? f ?x ?

?2?
y
y ? f ?x ?

时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
O

P3

T
P4 P

T

x

O

x

?3?

?4 ?

图1.1 ? 2

y

y ? f (x)

相交

o

P

x
再来一次

此处切线定义与以前学 过的切线定义有什么不 ? 同
y
y=f(x)

Pn

割 线

T 切线

P

o

当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.

切线
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线: 直线与曲线有唯一公共点时,直线叫曲线过该点的 切线?如果能,请说明理由;如果不能,请举出反 l 例。
直线与圆有惟一公共点时, 直线叫做圆的切线。 P y

不能
o x

所以,不能用直线与曲线的公共点的个 数来定义曲线的切线。

y

圆的切线定义并不适
l1
A

用于一般的曲线。

通过逼近的方法,将
割线趋于的确定位置的
l2

直线定义为切线(交点
x

B

可能不惟一)适用于各 种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。

C

割线与切线的斜率有何关系呢?
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? = ?x ?x

即:当△x→0时,割线 PQ的斜率的极限,就是曲线 在点P处的切线的斜率,

P(x0,y0)
△x

M

o

x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 所以:k=lim ? lim ? f ??x0 ? ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

导数的几何意义的应用
例1:

求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 解:y? |x ?1 ? lim ? lim ?2 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

?切线方程:y ? 2 ? 2( x ? 1)

即:x ? y ? 0 2

1 3 8 y ? x 上一点P ( 2, ) 练习:如图,已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 3 解: y ? x , (1) 1 1 3 3 3 ( x ? ?x) ? x ?y 3 ? y? ? lim ? lim 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
1 3x 2 ?x ? 3x(?x)2 ? (?x)3 ? lim { ? } ?x ?0 3 ?x

y 4 3

y?

1 3 x 3

P
2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 x

1 ? lim { ? [3x 2 ? 3x?x ? (?x)2 ]} ? x 2 . ?x ?0 3

? | x ? 2 ? 2 2 ? 4. ?y

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

导数的几何意义的应用
f (1) ? f (1 ? x ) lim ? ?1 , 练:设f(x)为可导函数,且满足条件 x ?0 2x 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.

f (1) ? f (1 ? x ) 解: f ( x )是可导函数且 ? lim ? ?1, x ?0 2x 1 f (1) ? f (1 ? x) ? lim ? ?1, 2 x?0 1 ? (1 ? x)

f (1 ? x) ? f (1) ? lim ? ?2, x ?0 (1 ? x) ? 1

? f ?(1) ? ?2.

故所求的斜率为-2.

继续观察图像的运动过程,还有什么发现?
y=f(x) y Q1 Q2 Q3 P o Q4
观察图像,可以发现,在点P附近, PQ 2比PQ 1更贴紧曲线f ?x ?, PQ 3比PQ 2 更贴紧曲线f ?x ?, PQ 4比PQ 3 更贴紧曲线f ?x ?,

T??? 过点P的切线PT 最贴紧点P

曲线f ?x ?就可以用过点P的切线PT

附近的曲线f ?x ?。因此,在点P附近, 近似代替。这是微积分中的重要思

x

想方法--以直代曲!

数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, ? 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .

例 2 如图1.1 ? 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函数 h ?t ? ? ?4.9 t ? 6.5 t ? 10 的 图象 . 根 据图象, 请描 述、比较曲线 ?t ?在t0 , h t1 , t2附近的变化情况 .
2

h

l0 l1

O

t0

t1

t2

t

l2

图1.1 ? 3

利用曲线在动点的切线 , 刻画曲线在动点附近

解 我们用曲线h? x ?在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲 线h?t ?在上述三个时刻附近的变化情况.

的变化情况 .

?1?当t ? t0时,曲线h?t ?在
t0处的切线 l0平行于x 轴. 所以, 在t ? t0附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降.

h

l0 l1

l ?2?当t ? t1时,曲线h?t ?在t1 图1.1 ? 3 处的切线l1的斜率h`?t1 ? ? 0.所以, 在t ? t1附近曲线下 降, 即函数h?t ?在t ? t1附近单调递减. ?3?当t ? t2时,曲线h?t ?在t2处的切线l2的斜率h`?t2 ? ? 0. 所以, 在t ? t2附近曲线下降, 即函数h?t ?在t ? t1附近也
O
2

t0

t1

t2

t

单调递减. 从图1.1 ? 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜 程度, 这说明曲线h?t ?在t1附近比在t2附近下降得缓慢.

根据图像,请描述、比较曲线h?t ?在t 3、t 4附近的变化情况。

函数在t 3、t 4 处的切线的 斜率均大于0,所以在两 点附近曲线上升,即函 数在两点附近单调递增。

h

o

t 3t 4

t

但是t 3处切线的倾斜程度大于t 4处切线的倾斜程度, 这说明曲线在t 3附近比在t 4附近上升的快速

结论:根据导数的几何意义, 当某点处导数大于零时,说明在这点的附近曲线 是上升的,即函数在这点附近是单调递增; 当某点处导数小于零时,说明在这点的附近曲线 是下降的,即函数在这点附近是单调递减; 当某点处导数等于零时,说明是函数的最值点。

例 3 如图 .1 ? 4, 它 1 表示人体血管中药 物浓度 c ? f ?t ? (单 位 : mg / ml ) 随时间 t ?单位 : min ?变化的 函数图象.根据图象, 估计 t ? 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 ?精确到0.1 ?.

c?mg / ml?
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 t

?min?

图1.1 ? 4

解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是 药物浓度 f ?t ?在此时刻的导数.从图象上看,它表示

曲线 f ?t ?在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 ? 4, 画出曲线上某点处的切线, 利用网格 估计这条切线的斜率, 可以得到此刻药物浓度瞬 时变化率的近似值. 作t ? 0.8处的切线, 它的斜率约为? 1.4, 所以
f ' ?0.8 ? ? ?1.4.

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证 一下, 这些值是否正确 .
药物浓度的瞬时变化率 f ' ?t ? 0.4 0 ? 0.7 ? 1.4 t 0.2 0.4 0.6 0.8

小结:
弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改

变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?(x ) 。
(3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?(x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x ) | x ? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

看一个例子:
例4.已知y ? x,求y?.
?x x ? ?x ? x

解:?y ? x ? ?x ? x ?
?y ? ?x 1 x ? ?x ? x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

1 3 8 y ? x 上一点P ( 2, ) 练习:如图,已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 3 解: y ? x , (1) 1 1 3 3 3 ( x ? ?x) ? x ?y 3 ? y? ? lim ? lim 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
1 3x 2 ?x ? 3x(?x)2 ? (?x)3 ? lim { ? } ?x ?0 3 ?x

y 4 3

y?

1 3 x 3

P
2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 x

1 ? lim { ? [3x 2 ? 3x?x ? (?x)2 ]} ? x 2 . ?x ?0 3

? | x ? 2 ? 2 2 ? 4. ?y

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.


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