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济南市2014年1月高三教学质量调研考试数学(理科)试题及答案(word)


济南市 2014 年 1 月高三教学质量调研考试

数学(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,考试时间 120 分钟,满分 150 分,考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定 的位置上. 2.

第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答 案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、 选择题 (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若 a ? bi ? A.1

25 (a、b 都是实数,i 为虚数单位),则 a+b= 3 ? 4i
B. -1 C.7 D.-7

2.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1} , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 1} ,则 M ? N ? A. {(0,1)} B. {1,?2} C. {1} D. [?1,??)

3.设 P ? e 0.2 , Q ? ln 0.2 , R ? sin A. P ? R ? Q B. R ? Q ? P

15 ? ,则 7
C. R ? P ? Q
3

D. Q ? R ? P

4.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a3 ? 6 , s3 ? A.1 B. ?

? 4 xdx,则公比 q 的值为
0

1 2

C.l 或 ?

1 2

D.-1 或 ?

1 2

5.将函数 y ? sin x ? cos x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则 m 的最小值是 A.

?
4

B.

? 6

C.

3? 4

D.

5? 6

6. “m=3”是“直线 l1: 2(m ? 1) x ? (m ? 3) y ? 7 ? 5m ? 0 与直线 l2: (m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

高三数学(理科)第 1 页 共 9 页

?x ? y ? 0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 1 ?
A.2 8.函数 y ? 2
x

B.3

C.4

D.5

? x 2 ( x ? R) 的图象大致为

9.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ;

③若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ;④若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? . 其中正确命题的序号是 A.①④ B.②③ C.②④ D.①③

10.设 M 是 ?ABC 边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,若 AN ? ? AB ? ? AC ,则 λ+μ 的值为 A.

1 2

B.
2

1 3

C.

1 4

D.1

x2 y2 11.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的一个交 a b
点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 A.2 B. 1 ? 3 C. 2 ?

2


D. 1 ? 2

12.设 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,当 x≠0 时, f ( x) ? 个数为 A.l B.2 C.0

1 f ( x) ? 0 ,则关于 x 的函数 g ( x) ? f ( x) ? 的零点 x x

D.0 或 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 注意事项: 1.将第Ⅱ卷答案用 0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上. 2.答卷将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题(本题共 4 小题,共 16 分) 13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 是________.

高三数学(理科)第 2 页 共 9 页

14.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三 角形,则这个几何体的体积是________. 15. 已知定点 Q(2,?1) ,F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,动点 P 为抛物线上任 意一点,当 | PQ | ? | PF | 取最小值时 P 的坐标为________. 16 . 已 知 m ? 0 , n ? 0 , 若 直 线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与 圆

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切,则 m ? n 的取值范围是________.
三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 已 知 m ? (2 s i n x, s i n x?c o x s ) , n ? ( 3 cos x, sin x ? cos x) , 函 数

f ( x) ? m ? n.

(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a, b, c ,若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , ?ABC 的面积为

A 2

3 ,求 a 的值. 2

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

4x ? m 是奇函数. 2x

(1)求 m 的值:(2)设 g ( x) ? 2 x?1 ? a .若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点.求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 l2 分)已知 {an } 为等比数列,其中 a1=1,且 a2,a3+a5,a4 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式:(2)设 bn ? (2n ? 1) ? an ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn.

高三数学(理科)第 3 页 共 9 页

20. (本小题满分 12 分)在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,AD=1,AA1=AB=2.点 E 是线段 AB 上的动点,点 M 为 D1C 的中点. (1)当 E 点是 AB 中点时,求证:直线 ME‖平面 ADD1 A1; (2)若二面角 A- D1E-C的余弦值为

4 5 .求线段 AE 的长. 15

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x,a ? 1 . 2

(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 g ( x) ? (2 ? a) x ? ln x , f ( x) ? g ( x) 在区间 [e,??) 恒成立,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C: 2 ? (1)求椭圆 C 的方程:

x2 a

2 y2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ( 2, 1) ,离心率为 2 . 2 b

(2)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,点 P(4,3),记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,当 k1·k2 最 大时,求直线 l 的方程.

高三数学(理科)第 4 页 共 9 页

济南市 2014 年 1 月高三教学质量调研考试

数学(理科)试题答案
一、选择题(共 60 分) BCDCA ADABA 二、填空题(共 16 分) 13. 1007 14. DC 15. ( , ?1)

1 2

1 4

16. m ? n ? 2 ? 2 2

三、解答题(共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)∵ f ( x) ? m ? n = (2sin x,sin x ? cos x) ? ( 3 cos x,sin x ? cos x) = 2 3 sin x cos x ? sin x ? cos x
2 2

------------------------------------3 分

? 2sin(2 x ? ) 6
故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)∵ f ( ) ? 2sin( A ?

?

?
6

)

-----------------------------------6 分 ---------------8 分

A 2

?

? 2? ) ? 2 即 sin( A ? ) ? 1 所以 A ? 6 6 3



1 3 ,可得: c ? 2 bc sin A ? 2 2
2 2 2

-----------------------------10 分

所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ,得 a ? 18. (本小题满分 12 分)

7

-------------------------12 分

解: (1)由函数 f ( x ) 是奇函数可知: f (0) ? 1+m ? 0 , 解得 m ? ?1 . (2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点

-----------------------2 分 -----------------------4 分

4x ? 1 ? 2x?1 ? a 至少有一个实根 即方程 x 2
即方程 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 至少有一个实根
x x x 2

-

-----------------6 分

-------------------------8 分

令 t ? 2 ? 0 ,则方程 t ? at ? 1 ? 0 至少有一个正根 方法一:由于 a ? t ? ? 2 ∴a 的取值范围为 [2, ??) .
2

1 t

--------------------------12 分

?? ? 0 ? 方法二:令 h(t ) ? t ? at ? 1 ,由于 h(0) ? 1 ? 0 ,所以只须 ? a , ?0 ? ?2
高三数学(理科)第 5 页 共 9 页

解得 a ? 2 . ∴a 的取值范围为 [2, ??) . 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)设在等比数列 ?an ? 中,公比为 q , 因为 a2 , a3 ? a5 , a4 成等差数列. 所以

2(a3 ? a5 ) ? a2 ? a4

------------------------------2 分

2(q2 ? q4 ) ? q ? q3
解得

q?

1 2
n ?1

------------------------------4 分

?1? 所以 an ? ? ? ?2?

------------------------------6 分

(Ⅱ) bn ? (2n ? 1) ? ?

?1? ?2?

n ?1

.

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

1 ?1? Tn ? 1?1 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? 2 ?2?
2

2

?1? ? (2n ? 1) ? ? ? ?2?
3

n ?1


n

1 1 ?1? ?1? Tn ? 1? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 2 2 ?2? ?2?
①—②,得

?1? ? (2n ? 1) ? ? ? ② ------------------------------8 分 ? 2?
n ?1 n ? ?1? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ?2? ? ?

? 1 ? 1 ?2 1 Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? 2 ? ?

?1? ?? ? ?2?

n ? ? 1 ?n ?1 ? ?1? ? 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ?(2n ? 1) ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ?

? 3?

2n ? 3 2n 2n ? 3 2n ?1

------------------------------10 分 ------------------------------12 分

所以 Tn ? 6 ?

20. (本小题满分 12 分) (1)证明:取 DD1 的中点 N,连结 MN、AN、 ME , ------------------------------1 分 MN∥

1 1 CD ,AE∥ CD , 2 2

------------------------------3 分

? 四边形 MNAE 为平行四边形,可知 ME∥AN------------------------------4 分
高三数学(理科)第 6 页 共 9 页

AN ? 平面ADD1 A1 ME ? 平面ADD1 A1

? ME ∥平面 AD1 .

------------------------------6 分

(2)解:设 AE ? m ,如图建立空间直角坐标系---------------------------7 分

A(1,0,0), E(1, m,0), C(0, 2,0), D1 (0,0, 2) ,

z D1 A1 N M B1 C1

D

C y

A x

E

B

由 n1 ? AD1 ? (?1,0,2), AE ? (0, m,0), DC ? (0,2, ?2), EC ? (?1,2 ? m,0), 平面 AD1E 的法向量为 n1 ? ( x1, y1, z1 ) , 1

AD1 ? 0 及 n1 ? AE ? 0 得 n1 ? (2,0,1)

------------------------------9 分

平 面 D1 E C 的 法 向 量 为 n2 ? ( x, y, , z) 由 n2 ? ------------------------------11 分

D1C ? 0 及 n2 ? EC ? 0 得 n2 ? (2 ? m,1,1)

cos ? ?

n1 n2 n1 n2
3 2

?

5 ? 2m 5 (2 ? m) ? 1 ? 1
2

?

3 43 4 5 2 (舍) ,即 20m ? 116m ? 129 ? 0 ,解得 m ? 或m ? 2 10 15
------------------------------12 分

所以 AE ?

21. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . ------------------------------1 分

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x
'

------------------------------3 分

( x ? 1) 2 (i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f ( x) ? 故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加. ----------------4 分 x
(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? (0, a ? 1) 或 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 ;
'

故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加. (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,
高三数学(理科)第 7 页 共 9 页

-------------5 分


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