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1.2.1排列教案


人教 A 版

选修 2-3

1.2.1 排列

1.2.1 排列
一.教学目标: 1.知识和能力目标:通过实例,理解排列、排列数的概念,能够利用计数原理推导排列数公 式,能够应用排列数公式。 2.过程和方法目标:通过学习,培养学生分析问题的能力和严谨的逻辑思维;培养学生从特 殊到一般的抽象概括能力。 3.情

感、态度和价值观目标:体会数学的严谨性和简洁美,激发学生学习数学的兴趣。 二.教学重点和难点: 1.重点:排列、排列数的概念,排列数公式。 2.难点:排列数公式的推导和应用。 三.教学过程: (一)创设情境,引入课题: 1.引例: (1.1 节例 9 变式)假设汽车车牌号码有 6 位组成,号码中每一位都是从大写英文字 母或阿拉伯数字中任意选择一个, 假设每一位都不能重复, 这种办法共能给多少辆车上牌? 答: 3 6 ? 3 5 ? 3 4 ? 3 3 ? 3 2 ? 3 1 ? ? 2.思考:简单机械地用分步乘法计数原理,使得解题过程有些重复繁琐,解答结果有时候也 难以表示。那么,我们能否对这一类计数问题找到一种简捷的方法呢? (二)师生互动,探究新知: 1.探究新知: (1)问题:为了寻找简便的方法,我们先来分析这类问题的两个简单例子。 问题 1:从甲、乙、丙 3 个同学中选出 2 名参加一项活动,其中 1 名同学参加上午的活动, 另外 1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? ①分析:问题 1 要完成“一件事情”是什么? ②步骤:Ⅰ.确定参加上午活动的同学,从 3 人中任选 1 人,有 3 种方法。 Ⅱ.确定参加下午活动的同学,从余下 2 人中任选 1 人,有 2 种方法。 ③分步乘法计数原理:3×2=6 即共 6 种方法。 ④树形图:

问题 2:从 1、2、3、4 这 4 个数字中,每次取出 3 个排成一个三位数,共可得到多少个不 同的三位数? ①分析:问题 2 要完成“一件事情”是什么? ②步骤:Ⅰ.确定百位上的数字,有 4 种方法。 Ⅱ.确定十位上的数字,有 3 种方法。 Ⅲ. 确定个位上的数字,有 2 种方法。 ③分步乘法计数原理:4×3×2=24 即共 24 种方法。 ④树形图: (下一页)
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(2)问题抽象:把上面的问题中被取对象叫做元素,问题 1 和问题 2 分别可以如何来叙述 呢? 问题 1:从 3 个不同的元素 a,b,c 中任取 2 个,然后按照一定的顺序排成一列,一共有多 少种不同的排列方法? 问题 2:从 4 个不同的元素 a,b,c,d 中任取 3 个,然后按照一定的顺序排成一列,一共 有多少种不同的排列方法? (3)思考:计数问题 1,2 的共同特点是什么?你能将他们推广到更一般的情形吗? 2.排列的概念: (1)排列的定义:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排 成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 (2)思考:你能归纳一下排列的特征吗? ①元素不能重复:n 个中不能重复,m 个中也不能重复。 ②“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是否是排列问题的关键。 ③两个排列相同, 当且仅当这两个排列中的元素完全相同, 而且元素的排列顺序也完全相同。 (3)练习:判断下列哪些问题是排列问题? ①从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘,得到的积有几种? ②从 2,3,5,7,11 中任取两个数相除,得到的商有几种? ③从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 个同学,每人一本,有多少种不同的送法? ④从 5 种不同的书中选 3 本送给 3 个同学,每人一本,有多少种不同的送法? 3.排列数的概念: (1)排列数的定义:从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列数。用符号 A nm 表示。 (2)思考:“排列”和“排列数”有什么区别? 区别:①排列:从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素,按照一定顺序排成一列,不是数。 ②排列数:从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数,是自然数。 (3)练习:用排列数表示下列问题。 2 ①问题 1: A 3 ? 3 ? 2 ? 6 ②问题 2: A 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 2 4 4 6 ③引例车牌问题: A 36 ? 3 6 ? 3 5 ? 3 4 ? 3 3 ? 3 2 ? 3 1 4.排列数公式: (1)探究:从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数 A n2 是多少?A n3 呢?A nm 呢?

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(2)排列数公式 1:
A n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1)( m , n ? N *, m ? n )
m

(3)思考:排列数公式的特点是什么? 第一个因数是 n,后面一个因数比它前面一个少 1,最后一个因数为 n-m+1,共 m 个。 (4)全排列:n 个元素全部取出的一个排列(m=n) 。
A n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 3 ? 2 ? 1
n

(5)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积,用 n!表示。 (6)练习:① 写 出 A n -?21的 公 式 。 n ② 已知 A nm ? 1 7 ? 1 6 ? 1 5 ? ? ? 5 ? 4 求 m 和 n 的值。
2 ③ 计 算 : (1) A 6

A ( 2) 6 4 A4 n! ? 成立吗? ( n -m ) !

6

一般地,An ?
m

An A n -m
n -m

n

(7)排列数公式 2:
An ?
m

An A n -m
n -m

n

n! ? ( n -m ) !

说明:规定 0!=1 (三)新知应用,例题解析: 例 1:求下列计数问题有几种不同的方法? ①从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘,得到的积有几种? ②从 2,3,5,7,11 中任取两个数相除,得到的商有几种? ③从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 个同学,每人一本,有多少种不同的送法? ④从 5 种不同的书中选 3 本送给 3 个同学,每人一本,有多少种不同的送法?

例 2:用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?

例 2 变式练习:用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的七位数? (四)反思整理,课堂小结: 1.排列的概念。 2.排列数的概念。 3.排列数公式。 (五)课外巩固,作业布置: 讲义一份。

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