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黑龙江省2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题(2)


高一数学(理)下学期期末考试题
(时间:120分钟 总分:150分) 一、选择题(包括1--12小题,每小题5分,共60分) 1.若 l,, m n 是互不相同的空间直线, ?, ? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 ( ) A.若 ? / / ? , l ? ? , n ? ? ,则 l / / n C.若 l ? n, m ? n ,则 l / / m B.

若 ? ? ?, l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l / / ? ,则 ? ? ? )

2.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 A ? 600 , a ? 4 3 , b ? 4 2 , 则 B ? ( A . 45 0 或135 0 B. 135 0 C. 45 0 D. 以上答案都不对

3.在空间直角坐标系 o ? xyz 中, P (1, 2, 3) ,在点 P 关于 xoz 面对称的点的坐标为( A. ( ?1, 2, 3) 4.不等式 | x |? B. (1, ?2, 3)
1 的解集是 ( x



C. (1, 2, ?3) )

D. ( ?1, ?2, 3)

A. (??, ?1) U (1, ??)

B. (??, 0) U (1, ??)

C. (?1, 0) U (1, ??)

D. (??, ?1) U (0,1)

?x ? y ? 7 ? 0 ? 5.设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?



A.10

B.8

C.3

D.2
2 3 3

6.已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为

, 则该锥体的俯视图可以是( )

1

7.四面体ABCD中,公共顶点A的三条棱两两相互垂直,且其长分别为1, 6,3,若它的四个 顶点在同一球面上,则此球的表面积为(  ) A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 16? )

8.已知等比数列数列 ?an ?满足 a1 ? 3 , a1 ? a3 ? a5 ? 21 ,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( A.21 B.42 C.63 D.84

9.如图所示,棱长皆相等的四面体 S ? ABC 中, D 为 SC 的中 则 BD 与 SA 所成角的余弦值是( ) A. 10. 比数列 {a n } 的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列,且
3 3

点,

B.

2 3

C.

3 6

D.

2 6

设 S n 是等

a2 ? a5 ? 2am ,则 m 等于 ( )
A. 6 B. 7 C.
8

D . 10
1 1 1 , , ,则此人将 13 11 5

11.某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是 A.不能作出满足要求的三角形 C.作出一个直角三角形





B. 作出一个钝角三角形 D. 作出一个锐角三角形

12.圆锥 SO 的底面半径为 3 ,母线长 2, A, B 是底面圆周上两动点,过 S , A, B 作圆锥的截面 ,当 ?SAB 的面积最大时,截面 SAB 与底面圆 O 所成的(不大于 ) A.

?
2

的)二面角等于(

?
6

B.

?
2

C.

?
3

D.

?
4

二、填空题(包括13--16小题,每小题5分,共20分) 13.正方形 ABCD 的边长为2,利用斜二测画法得到的平面直观图 A ' B ' C ' D ' 的面积为______ __. 2

14.设 x, y ? R ,且 x ? 0 , y ? 0 ,则

( x2 ?

1 1 )( 2 ? 4 y 2 ) 2 y x 的最小值为____________________.

15.如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是30°,线段 AB ? ? . B ? l ,

?
? B

?A
?

AB 与 l 所成的角为60°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是
. 16.如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体,下面结论中正确的是 ________________________(把你认为正确的结论序号都填上) ① BD / / 平面 CB1 D1 ;② AC1 ? 平面 CB1 D1 ; ③ AC1 与底面 ABCD 所成的角的正切值是 2 ; ④二面角 C ? B1 D1 ? C1 的正切值是 2 ; ⑤过点 A1 与异面直线 AD 和 CB1 成 70? 角的直线有2条. 三、解答题(包括17—22小题,共70分) 17.(10分)关于 x 的不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解为 ( ?
1 1 , ) . 2 3

(1)求 a , b 的值;

(2)求关于 x 的不等式

ax ? b ? 0 的解集. x?2

18.(本题12分)如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点. (1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)设 Q 为 PA 的中点, G 为 ?AOC 的重心, 求证:面 OQG / / 平面 PBC .

3

19.(本题12分)已知 ?ABC 中, A, B, C 对边分别为 a, b, c , AD 是 BC 边上的中线, C ? 60? . (1)若 a ? 6 且 b ? 2 ,求 AD 的长;(2)若 AD ? 2 ,求 S ?ABC 的最大值.

20.(本题12分)如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形,

BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD , E 为 PC 的中点, PA ? AD ? AB ? 1
(1)证明: EB // 平面PAD ; (2)证明: BE ? 平面PDC ; (3)求三棱锥 B ? PCD 的体积 V .

4

? S ? 21.(本题12分)设数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,点 ? n, n ? ?n ? N * ?在直线 3 x ? y ? 1 ? 0 上, ? n ?

设 cn ?

4 , Tn 是数列 ?cn ?的前 n 项和。 an an ?1

(1)求数列 ?an ?的通项公式;
K 对所有的 n ? N * 都成立的最小正整数 K ; 9

(2)求使得 Tn ?

(3)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的 值; 若不存在,请说明理由.

22.(本题12分)如图,已知正三棱柱 ABC —
A1 B1C1 的底面边长是 2 , D 是侧棱 CC1 的中点,

直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45 .
?

(1)求此正三棱柱的侧棱长; 5

A
B1

A1

B

(2)求二面角 A ? BD ? C 的平面角的正切值; (3)求点 C 到平面 ABD 的距离.

6

高一数学期中考试答案 一、选择题(5分×12=60分) 题 号 答 案 二、填空题(5分×4=20分) 13、-2n+4 14、6 15、
N1 N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

C

B

A

B

C

A

C

B

D

A

B

16、 b1b2 ? bn ? b1b2 ? b17 ? n

三、解答题(70分) 17、(10分) 18、(12分)(1)增区间: (? 2, 2) ,减区间: (??, ? 2) ? ( 2, ??) (2) f ( x ) max ? f ( 2 ) ? (2 2 ? 2)e 2 ; f ( x ) min ? f (?1) ? ?
3 e

19、(12分)

7

20、(12分)(1)直线的直角坐标方程为: x ? 3 y ? 2 ? 0 ; 曲线的直角坐标方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ; (2)距离最大值为1.5,最小值为0

? S ? 21、(12分)22、设数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,点 ? n, n ? ?n ? N * ?在直线 3 x ? y ? 1 ? 0 上。 ? n ?

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)记 bn ? an ? 2n ?1 ,求数列 ?bn ?的前 n 8 项和 Tn 。

(3)设 cn ?

4 m , M n 是数列 ?cn ?的前 n 项和,求使得 M n ? 对所有的 n ? N * 都成立 an an ?1 9

的最小正整数 m 。
Sn ? 3n ? 1 ,即 S n ? 3n 2 ? n ,故 ?an ?是等差数列,且 a1 ? 2, d ? 6 解:(1)由题意得, n

an ? 2 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 4 ? 2 ?3n ? 2 ?
(2) bn ? an ? 2n ?1 ? 2 ?3n ? 2 ?? 2n ?1 ? ?3n ? 2 ?? 2n

Tn ? 1? 21 ? 4 ? 22 ? ? ? ?3n ? 2 ?? 2n ? 0 2Tn ? 0 ? 1? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? ?3n ? 2 ?? 2n ?1
??Tn ? 1? 21 ? 3 ?22 ? ? ? 2n ?? ?3n ? 2 ?? 2n ?1 ? 3 ?21 ? 22 ? ? ? 2n ?? ?3n ? 2 ?? 2n ?1 ? 4

?Tn ? ?5 ? 3n ?? 2n ?1 ? 10 ,从而 Tn ? ?3n ? 5 ?? 2n ?1 ? 10
(3) cn ?

4 4 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an an ?1 4 ?3n ? 2 ??3n ? 1? ?3n ? 2 ??3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? M n ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 3 ?? 1 4 ? ? 4 7 ? ? 3n ? 2 3n ? 1 ? ? 3 ? 3n ? 1 ?
又 Mn ?
1 ? m ? 恒成立,则 m ? 10 M n ? 3 ?1 ? ? 恒成立,所以 m ? 3 9 ? 3n ? 1 ?

22. 17.【解析】:(1)设正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的侧棱长为 x .取 BC 中点 E ,连 AE .
Q ?ABC 是正三角形,? AE ? BC .
A H B
?

A1

又底面 ABC ? 侧面 BB1C1C ,且交线为 BC .

? AE ? 侧面 BB1C1C .

连 ED ,则直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 ?ADE ? 45 .
tan 45? ? AE ? ED 3 1? x2 4 ,解得 x ? 2 2 .

E

G F C

I

B1

D

C1

在 Rt?AED 中,

? 此正三棱柱的侧棱长为 2 2 . ……………………………………4分
注:也可用向量法求侧棱长. 9

(2)[传统法]:过 E 作 EF ? BD 于 F ,连 AF ,
Q AE ? 侧面 BB1C1C , ? AF ? BD .

??AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角.
在 Rt?BEF 中, EF ? BE sin ?EBF ,又
BE ? 1,sin ?EBF ? CD 2 3 ? ? BD 3 22 ? ( 2) 2

, ?

EF ?

3 3 .

又 AE ? 3,

? 在 Rt?AEF 中,

tan ?AFE ?

AE ?3 EF .

故二面角 A ? BD ? C 的平面角的正切为3.

……………………………………9分

[向量法]:(见后) (3)解法1:由(2)可知, BD ? 平面 AEF ,? 平面 AEF ? 平面 ABD ,且交线为 AF ,? 过

E 作 EG ? AF 于 G ,则 EG ? 平面 ABD .
AE ? EF ? AF 3? 3 3 3 2 ) 3 30 10

EG ?

?

在 Rt?AEF 中,

( 3) 2 ? (


2 30 10 .

Q E 为 BC 中点,? 点 C 到平面 ABD 的距离为

2 EG ?

……………………………………14分

10


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