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数字逻辑0-补


计算机中的信息表示
数值型数据和非数值型数据。

组成原理

教学目的:了解计算机中信息的表示方法,包括 本章知识要点:
1) 进位计数制及其相互转换
2)机器数的概念,原码、补码、真值之间的转换

1.1 数值型数据的表示方法

组成原理

? 一

个数值型数据的完整表示涉及到三个方面
的问题: 1) 进位计数制 2) 符号数字化 3) 小数点位置的处理 1.1.1 进位记数制 计算机内部(考虑硬件)均采用二进制数编码。但 在编程中经常涉及的进位记数制还有八进制、十 六进制(表示地址码)和十进制(表示数据)。

1.1 数值型数据的表示方法
1.1.1 进位计数制 每位数码的构成方法以及进位规则称数制。 进位记数制三要数:数码、位权、基数 十进制 每位:0 - 9十个数码 进位规则 :逢十进一 例如: (143.75 )10 = 1×10? +4×10? +3×10°+7×10-1 + 5×10- 任意十进制数 D=∑Ki× 10i

组成原理

2

1.1 数值型数据的表示方法
任意(N)进制数 D=∑Ki× Ni 其中:N —— 基数, Ki —— 第I位的系数(N种数码), Ni —— 第I位的权 1.计算机中常用的进位制 1)二进制 每位:0和1两个数码 进位规则:逢二进一 例如:(101.11)2 =1 × 2? +0×2? +1×20+1×2-1 + 1×2-2 = (5.75)10 任何二进制数 D=∑Ki× 2i

组成原理

1.1 数值型数据的表示方法

组成原理

3)十六进制 每位:0 - 9、A(10)- F(15)表示 进位规则:逢十六进一 例如: (2A.7F)16=2 ×161+10×160+7×16-1+15×16-2 =(42.4960937)10 4)八进制 每位:0 – 7 表示 进位规则:逢八进一 例如: (23.71)8=2 ×81+3×80+7×8-1+1×8-2 =(19.890625)10

1.1 数值型数据的表示方法 ?各种进制的加减运算:

组成原理

? 类似十进制数的运算:逢基数进一,借一当 基数 ? 例:110+10、1101-11

?不同进制的标示:
? ? ? ? 二进制: 八进制: 十进制: 十六进制: (n)2 (n)8 (n)10 (n)16 nB nQ nD nH

1.1 数值型数据的表示方法
2.各种进位记数制之间的转换 1) 十进制数→二进制数的转换 a) 整数部分:采用除基取余法 例: (123)10 例: (0.625)10 (247)10 (10.125)10 b) 小数部分:采用乘基取整法

组成原理

2) 二进制数→十进制数的转换
采用按权相加法(展开多项式)

例: (11011001)2

(1010.01)10

1.1 数值型数据的表示方法
3) 八进制→二进制 每位八进制数可用三位二进制数表示。

组成原理

例: (247)8

(11001)2 (10011.1001)2

4) 十六进制→二进制

每位十六进制数可用四位二进制数表示。
例: (3A8)16 (1100101)2

1.1 数值型数据的表示方法

组成原理

1.1.2 带符号数的机器码表示(符号数字化) 1.两个基本概念 1)机器数:在计算机内部使用的,连同数符一起数码化了 的数,称为机器数。 2)真值:机器数所代表的数的实际值,称为真值。

2.各种机器码 1)原码:最高位为符号位,0为正,1为负; 数据位即该数的绝对值。 a) 定点小数形式:X=X0?X1X2……Xn 则:[X]原=
? X ? 0? | X | ? ?1 ? X ? 1? | X | 0 ? X ?1 ?1 ? X ? 0

(其中X即真值)

1.1 数值型数据的表示方法
举例说明:X=+0.1011
X=-0.1011

组成原理

[X]原=0.1011
[X]原=1.1011

b) 定点整数形式: X=X0X1X2……Xn
n ?X 0?X?2 ? [X]原= ? n ?2 ? X ? 2 n ? | X | ?

-2 ? X ? 0
n

例:X=-10110; 则[X]原=110110 结论:原码为符号位加数的绝对值,0正1负 ③ 原码特点: 优点:数的真值和它的原码之间对应关系简单,相互 转换容易。 缺点:用原码实现加减运算很不方便。

(2) 举例
例 1.1 已知 [x]原 = 1.0011

组成原理

求 x= – 0.0011

解: 由定义得
x = 1 [x]原 = 1 1.0011 = 0.0011 例 1.2 已知 [x]原 = 1 1100 解: 由定义得 x = 24 [x]原 = 10000 11100 = 1100 求 x= – 1100

组成原理

例 1.3 已知 [x]原 = 0.1101 求 x 解: 根据 定义 ∵ [x]原 = 0.1101 ∴ x = + 0.1101 例 1.4 求 x = 0 的原码 解: 设 x = +0.0000 x = 0.0000 同理,对于整数 [+0.0000]原 = 0.0000 [ 0.0000]原 = 1.0000 [+ 0]原 = 0,0000 [ 0]原 = 1,0000

∴ [+ 0]原 ≠ [ 0]原

原码性质
1. 0可分+0和-0,有两个编码: +0 为 00…0 -0为 10…0 2.符号和数值无关 3.比较直观,但在电路设计时,需要对最 高位和其他位分别处理。

组成原理

1.1 数值型数据的表示方法
2)补码

组成原理

a)定点小数的补码

X=X0.X1X2……Xn

0 ? X ?1 ?X [X]补= ? (mod 2) -1 ? X ? 0 ?2 ? X ? 2- | X |
通式:[X]补=2· 符号位+X 例:若X=0.1101 ,则[X]补=0.1101 若X=-0.1011,按补码的定义, 则[X]补=2+X =10.0000- 0.1011 =1.0101

1.1 数值型数据的表示方法
例 x = + 0.1110
[x]补 = 0.1110 x = 0.1100000

组成原理

[x]补 = 2 + ( 0.1100000 ) = 10.0000000 0.1100000 1.0100000

用 小数点 将符号位 和数值部分隔开

1.1 数值型数据的表示方法

组成原理

b) 定点整数的补码 0,x 2n > x ≥ 0 [x]补 = 2n+1 + x 0 > x ≥ 2n(mod 2n+1)
x 为真值 n 为整数的位数



x = +1010

x = 1011000

[x]补 = 0 1010

[x]补 = 27+1 +( 1011000 ) = 100000000 1011000 1 0101000

1.1 数值型数据的表示方法
c)补码的性质

组成原理

① 在补码表示中,0有唯一的编码 X=+0.0000 [X]补=X=0.0000 Y=-0.0000 [Y]补=2+Y=10.0000 -0.0000=10.0000 =0.0000(对2取模)模)

1.1 数值型数据的表示方法

组成原理

② 补码适合于加减运算(即符号位和数值位 可同等处理),其运算规则如下: [X+Y]补=[X]补+[Y]补 [X-Y]补=[X]补+[-Y]补 注:运算结果只要不溢出,即为正确的结果。 ③由真值求补码(快捷方式) +101100、+11010、-101100、-11010 求补规则:正数的补码符号位为0,数值部分就是真 值;负数的补码符号位为1,数值部分可由真值的数 值部分按位取反,末位加一得到。(定长,补足位 数)

组成原理

?④由补码求真值
? 规则:若补码的符号位为0,则真值为正, 真值的数值部分等于补码的数值部分;若补 码的符号位为1,则真值为负,真值的数值 部分由补码的数值部分求补得到。(证明) ? 例:x补 = 00110100 x补 = 10110100 ? x = +0110100 x = -1001100

?⑤由x补求 (- x)补
? 规则:对x的补码(连同符号位)求补得到。 ? 例: x补 = 00110100 Y补 = 10110100

组成原理

?3) 真值与机器数之间的相互转换
? 真值与机器数的相互转换 ? 真值 机器数(原、反、补码) ? 正数 符号位为0,数值不变 ? (原码)不变 ? 负数 符号位为1,数值 (补码)求补 ? (反码)求反

?机器数之间的相互转换(符号位不变)
? 符号位 ? 为0 ? 为1 数值部分 不变 转换

组成原理

原码数值部分 取补 末位减1 补码数值部分 末位加1 反码数值部分 取反

?例:x原 = 11011000 求:反、补码 ?X反 = 00111010 求:原、补码 ?X补= 11011000 求:反、原码

1.2 数的定点表示和浮点表示 小数点按约定方式标出 一、定点表示
Sf S1S2 … Sn
数 数值部分 符 小数点位置

组成原理



Sf S1S2 … Sn
数 符

数值部分
小数点位置

定点机 原码

小数定点机 –(1 – 2-n) ~ +(1 – 2-n)

整数定点机 –(2n – 1) ~ +( 2n – 1)

补码 反码

– 1 ~ +(1 – 2-n) –(1 – 2-n) ~ +(1 – 2-n)

– 2n ~ +( 2n – 1) –(2n – 1) ~ +( 2n – 1)

二、浮点表示
N = S×rj
S 尾数 j 阶码 浮点数的一般形式 r 基数(基值)

组成原理

计算机中 r 取 2、4、8、16 等

当r=2

N = 11.0101 ? = 0.110101×210 规格化数 1 = 1.10101×2 = 1101.01×2-10 ? = 0.00110101×2100

二进制表示

计算机中 S 小数、可正可负 j 整数、可正可负

1. 浮点数的表示形式
j 阶码 S 尾数

组成原理

jf j1 j2
阶 符

… jm S f S 1 S 2
数 符 小数点位置



Sn

阶码的 数值部分

尾数的数值部分

Sf n

代表浮点数的符号 其位数反映浮点数的精度

m

其位数反映浮点数的表示范围

jf 和 m 共同表示小数点的实际位置 尾数和阶码可用补码和原码表示,原码表示的比较多

2. 浮点数的表示范围

组成原理

上溢 阶码 > 最大阶码 下溢 阶码 < 最小阶码 按 机器零 处理 上溢 上溢
负数区
最小负数 m –2( 2 –1)×( 1 – 2–n)

下溢

正数区
最大正数
( 2m–1)×( 2

0
最小正数
m

–2

15

×( 1 – 2 )

-10

2–( 2 –1)×2–n -15 -10 2 ×2 最大负数 m –2–( 2 –1)×2–n

1 – 2–n) 215 ×( 1 – 2 10)

–2-15 ×2-10

设 m=4 n =10

练习

6.2

组成原理

设机器数字长为 24 位,欲表示±3万的十进制数, 试问在保证数的最大精度的前提下,除阶符、数符各 取1 位外,阶码、尾数各取几位?

解: ∵

214 = 16384

215 = 32768

∴ 15 位二进制数可反映 ±3 万之间的十进制数 215 × 0.××× … ××× m = 4,5,6,…
15位

满足 最大精度 可取 m = 4,n = 18

3. 浮点数的规格化形式
规格化的浮点数(尾数的规格化):
r=2 尾数最高位为 1,(尾数原码表示时)

组成原理

① 尾数应为纯小数

② 尾数的值不为0时,其绝对值应大于等于十 进制的0.5而小于1,即1/2≤|X|<1。
浮点表示法的特点:

① 优点:在有限位数(即不增加字长)内,既 能保证有较大的取值范围,又能保证较高的精度。
② 缺点:实现浮点运算的硬件成本较高 。

组成原理

4. 浮点数的规格化

r=2

左规 右规

尾数左移 1 位,阶码减 1 尾数右移 1 位,阶码加 1

例如:设 m = 4,n = 10,r = 2
尾数规格化后的浮点数表示范围

组成原理

最大正数

2+1111 × 0.1111111111
10 个 1

= 215×( 1–2–10 )

最小正数

2-1111 × 0.1000000000
9个0

= 2–15×2–1 = 2–16

最大负数 最小负数

2-1111 ×(– 0.1000000000) = –2–15×2–1 = –2–16
9个0

2+1111 ×(– 0.1111111111)
10 个 1

= –215×( 1–2– 10 )

三、举例

组成原理

19 例 将 + 128 写成二进制定点数、浮点数及在定点 机和浮点机中的机器数形式。其中数值部分均取 10 位, 数符取 1 位,浮点数阶码取 5 位(含1位阶符)。 19 解: 设 x = + 128

二进制形式 定点表示

x = 0.0010011 x = 0.0010011 000 浮点规格化形式 x = 0.1001100000×2-10 [x]原 = [x]补 = [x]反 = 0.0010011000 定点机中
浮点机中 [x]原 = 1, 0010; 0. 1001100000 [x]补 = 1, 1110; 0. 1001100000 [x]反 = 1, 1101; 0. 1001100000

例 6.14 –58 表示成二进制定点数和浮点数, 例:将

组成原理

并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数的形式 (其他要求同上例)。 解: 设 x = –58 二进制形式 x = – 111010

定点表示
定点机中
[x]原 = 1, 0000111010 [x]补 = 1, 1111000110 [x]反 = 1, 1111000101

x = – 0000 111010
浮点机中
[x]原 = 0, 0110; 1. 1110100000 [x]补 = 0, 0110; 1. 0001100000 [x]反 = 0, 0110; 1. 0001011111

浮点规格化形式 x = – (0.1110100000) × 2110

例:写出对应下图所示的浮点数的补码 形式。 设 n = 10,m = 4, 阶符、数符各取 1位。
上溢 负数区
最小负数

组成原理

上溢 下溢 正数区
最大正数
( 2m–1)×(1 2

0
最大负数
–2m×2–n –2



( 2m–1)× 2

1

最小正数

–2m×2–n 2

– 2–n)

解:
最大正数

真值

补码 0,1111; 0.1111111111 1,0000; 0.0000000001 1,0000; 1.1111111111 0,1111; 1.0000000000

215×(1–2–10) – – 最小正数 2 16× 2 10 –16 –10 最大负数 –2 × 2 最小负数 –215×1

组成原理

例:已知一个浮点数的格式为:阶码6位,其中阶符 占1位,用补码表示;尾数10位,数符1位,用原码表 示;基数为2,尾数采用规格化表示,问该浮点数所 能表示的最大正数是多少?最小负数是多少? 阶码: 011111(正的最大值) 尾数的正的最大值:0.1111111111 尾数的负的最小值:1.1111111111 则:最大正数:0.1111111111× 2011111 浮点机中形式: 011111;01111111111 最小负数:1.1111111111× 2011111
浮点机中形式: 011111;11111111111

机器零
? 当浮点数 尾数为 0 时,不论其阶码为何值 按机器零处理 ? 当浮点数 阶码等于或小于它所表示的最小 数 时,不论尾数为何值,按机器零处理

组成原理

如 m=4

n = 10

当阶码和尾数都用补码表示时,机器零为 … 0 ×, × × × ×; 0. 0 0 (阶码 = 16) 1, 0 0 0 0 ; ×.×× … ×

无符号数
寄存器的位数 反映无符号数的表示范围

组成原理

8位 16 位

0 ~ 255

0 ~ 65535

组成原理

?作业: ?P290:6.4题 29/128 ?6.5题 ?6.9题 (移码除外) ?6.12 (2) ?6.14 ?

-87


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