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宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学理试题 Word版含答案


绝密★启用前

2013 年银川一中第二次模拟考试理 科 数 学
一、选择题: 1. 已知集合 A={x|x +3x+2≤0},B={y|y=2x-1,x∈R},则 A∩CRB=( A. ? 2.若复数 A.3 B.{-1} C.[-2,-1] D.[-2,-1) )
2

)

1 ? bi 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i
B. 1 C.

1 3

D. ?

1 2
,则随机变量 X 落在区间(1,2)内的

3. 已知某随机变量 X 的概率密度函数为 P(x)= ? 概率为( A.e +e
2

?0, x ? 0
?x ?e , x ? 0

) B.

e ?1 e2

C.e -e

2

D.

e ?1 e2
2

4.某校在模块考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩ξ~N(90,a )(a>0,试卷满分 150 分),统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的 次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为( A.600 B.400 C.300 D.200 ) )

3 ,则此 5

5. 已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题

6. 若函数 f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0, a≠1)在 R 上既是奇函数, 且 又是减函数, g(x)=loga(x+k) 则 的图象是( )

A 7.已知 F 是双曲线

B

C

D

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且 a2 b2
)

垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若ΔABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为(

A.(1,+≦) 8.已知

B.(1,2)

C.(1,1+ 2 )

D.(2,1+ 2 ) )

2 sin 2 ? ? sin 2? ? ? ? k ,0 ? ? ? , 则 sin(? ? ) 的值( 1 ? tan ? 4 4

A.随着 k 的增大而增大 B.有时随着 k 的增大而增大,有时随着 k 的增大而减小 C.随着 k 的增大而减小 9.已知正数 x,y 满足 ? A.1 D.是一个与 k 无关的常数 )

?2 x ? y ? 0 1 ,则 z ? 4 ? x ? ( ) y 的最小值为( 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
13 2 4
C.

B.

1 16

D.

1 32

? a, a ? b ? 1, 10.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? : .设函数 ?b, a ? b ? 1.

f ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? 1? ,x ? R .若函数 y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,
则实数 c 的取值范围是( A. ? ?1,1? ? ? 2, ?? ? C. ? ??, ?2 ? ? ?1, 2? ) B. ? ?2, ?1? ? ?1, 2? D. ? ?2, ?1?

11.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若任意 的 x,y∈R,不等式 f(x -6x+21)+f(y -8y)<0 恒成立, 则当 x>3 时, +y 的取值范围是( x A.(3,7) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49)
2 2 2 2

)

12. 已 知 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 的 各 棱 长 均 为 1 , 棱 BB1 所 在 直 线 上 的 动 点 M 满 足

? 2 ? BM ? ? BB1 ,AM 与侧面 BB1C1C 所成的角为 ? ,若 ? ? ? , 2 ? ,则 ? 的取值范围 ? 2 ?
是( A. ? )

?? ? ? , ?12 6 ? ?

B. ?

?? ? ? , ?6 4? ?

C. ?

?? ? ? , ?4 3? ?

D. ?

? ? 5? ? , ? 3 12 ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知 k 为如图所示的程序框图输出的结果,二项式 ? x k ? 项,则正整数 n 的最小值为_________. 14.把一个半径为 53 2 cm 的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍,则这 个圆锥的高为__________. 15.P 为抛物线 y ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(4,5) ,则 PQ 与 PM
2

? ?

1? ? 的展开式中含有非零常数 x?

n

长度之和的最小值为



16.已知 AD 是ΔABC 的中线,若∠A=120°, AB ? AC ? ?2 ,则 | AD | 的最小值是______. 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)
2 2 已知各项均为正数的数列{an}满足 a n ?1 ? a n ?1 a n ? 2a n ? 0, n ? N * ,且 a3+2 是 a2、a4

的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? a n log 1 a n , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 S n ? n ? 2 n ?1 ? 50 成立的 n 的最小值.
2

18. (本小题满分 12 分) 如图,一个几何体是由圆柱 OO'和三棱锥 E-ABC 组合而成,点 A、B、C 在圆 O 的圆周 上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,EA⊥平面 ABC,AB⊥AC,AB=AC, AE=2 (Ⅰ)求证:AC⊥BD; (Ⅱ)求二面角 A-BD-C 的大小.

正(主)视图

侧(左)视图

19. (本小题满分 12 分) 某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试的数学成绩和物理成绩, 计算出了他们三次成绩的平均名次如下表:
学生序号 数学平均名次 物理平均名次 学生序号 数学平均名次 物理平均名次

1
1.3 2.3

2
12.3 9.7

3
25.7 31.0

4
36.7 22.3

5
50.3 40.0

6
67.7 58.0

7
49.0 39.0

8
52.0 60.7

9
40.0 63.3

10
34.3 42.7

11
78.3 49.7

12
50.0 46.7

13
65.7 83.3

14
66.3 59.7

15
68.0 50.0

16
95.0 101.3

17
90.7 76.7

18
87.7 86.0

19
103.7 99.7

20
86.7 99.0

学校规定:平均名次小于或等于 40.0 者为优秀,大于 40.0 者为不优秀. (Ⅰ)对名次优秀赋分 2,对名次不优秀赋分 1.从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生,若用

? 表示这 2 名学生两科名次赋分的和,求 ? 的分布列和数学期望;
(Ⅱ)根据这次抽查数据,列出 2×2 列联表,能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下 认为物理成绩与数学成绩有关?

附: K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P(K ≥k0) k0

2

0.50 0.455

理科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 20. (本小题满分 12 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) ,点 P 在以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 C 上,且 PF1 、 F1 F2 、 y l M PF2 构成等差数列. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅 有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1 M ? l , F 1 O F2 N x

F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ? x ? ?

(Ⅰ)求函数 g ? x ? 的单调区间;

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x

(Ⅱ)若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)若 ?x1 , x2 ? ?e, e 2 ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a( a ? 0 )成立,求实数 a 的取值范围. ? ? 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 如图,在 RtΔABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上,DE⊥EB. (Ⅰ)求证:AC 是ΔBDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD= 2 3 ,AE=6,求 EC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 0≤ ? < ? ). (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 g ( x) ?

? x ? t cos ? 4 cos ? , 直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数, 2 sin ? ? y ? 1 ? t sin ?

1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m

银川一中届高三第二次模拟数学(理科)试卷参考答答案
: 题号 答案 13.5 1 C 2 A 14. 20 3 D 15. 4 D 5 C 6 A 16. 1 7 B 8 A 9 C 10 B 11 C 12 B

二、填空题:

34 ? 1

三、解答题: 17.

18.

19.

x2 y 2 20.解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 . a b

F PF ? PF1 、 1 F 2 、 2 构成等差数列,
? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1 F2 ? 4 , a ? 2 .

2 2

?c ? 1



? b2 ? 3

?





C









x y ? ? 1 . …………………………………………………4 分 4 3
(2) 将 直 线 l 的 方 程 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 3 x ? 4 y ? 12 中 , 得
2 2

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 .
2 2

……………………5 分
2 2

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0 , 化简得: m 2 ? 4k 2 ? 3 . 设 d1 ? F1M ? …………………………7 分

?k ? m k 2 ?1

, d 2 ? F2 M ?

k ?m k 2 ?1



…………………………9 分

(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 d1 ? d 2 ? MN ? tan ? , y d1 ? d 2 l M , ? MN ?

k

2m d12 ? d 2 2 1 d1 ? d 2 S? (d1 ? d 2 ) ? ? 2 2 k 2k k ?1
F1

H

N O F2 x

?

2m m ?3 ?1 4
2

?

8 1 m? m

,……11 分

? m 2 ? 4k 2 ? 3 ,? 当 k ? 0 时, m ? 3 , m ?
当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d1 ? d 2 ? (
2 2

1 1 4 ? 3? ? 3 ,S ? 2 3 . m 3 3
…………………………13 分 ……………………………14 分

?k ? m

k 2 ?1 k 2 ?1 m 2 ? k 2 3k 2 ? 3 ?k ? m k ? m d1d 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 3. k ?1 k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

)2 ? (

k ?m

)2 ?

2(m 2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) , ? k 2 ?1 k 2 ?1

? MN ? F1 F2 2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ?
四边形 F1MNF2 的面积 S ?

2 k 2 ?1

. ………11 分

1 MN (d1 ? d 2 ) ? 2

1 k 2 ?1

(d1 ? d 2 ) ,

1 16k 2 ? 12 2 2 ( d 1 ? d 2 ? 2d 1 d 2 ) ? 2 k 2 ?1 (k ? 1) 2 1 …………………………………………13 分 ? 16 ? 4( 2 ? 2) 2 ? 12 . k ?1 当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 S max ? 2 3 . S2 ?
所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 . 21.解:由已知函数 g ( x), f ( x) 的定义域均为 (0,1) ? (1,??) ,且 f ( x) ?

x ? ax . …1 分 ln x

1 x ? ln x ? 1 , (Ⅰ)函数 g ?( x) ? 2 (ln x) (ln x) 2 当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 . 所以函数 g (x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) ,增区间是 (e,??) . ………………3 分 ln x ? x ?
1 (Ⅱ)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. (ln x) 所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? ? 1 ? 1 ?a ?? 1 ? 1 ? 1 ?a, ln x ln x ln x 2 4 (ln x) 故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . ln x 2 4 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . 所以 …………………………6 分 4 4 4 (Ⅲ)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于
2
2

? ?

?

?

“当 x ? [e,e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ” . 由(Ⅱ) ,当 x ? [e,e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4

问题等价于: “当 x ? [e,e 2 ] 时,有 f ( x)min ? 1 ” . ………………………8 分 4 , 10 当 a ? 1 时,由(Ⅱ) f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为减函数, 4 2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4 2 20 当 0< a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ? 1 ? 1 ? 1 ? a 在 [e,e 2 ] 上为增函数, 4 ln x 2 4 故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e 2 )] ,即 [?a, 1 ? a] . 4 由 f ?( x) 的单调性和值域知,

?

?

? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; x 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ? 0 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e 2 ) . ln x0 4 所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合题意. ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . …………………………13 分 2 4e


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