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第二讲集合的基本运算


第二讲 1.1.3 集合的基本运算 教学目的: (1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么” , “为什么” , “怎样做” ; 【知识点】 1. 并集 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集(Union) 记作:A∪B 读作: “A 并 B” 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} Venn 图表示:
A

?
A∪B

B

2.

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素 只看成一个元素) 。 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们 所关心的,我们称其为集合 A 与 B 的交集。 交集 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection) 。 记作:A∩B 读作: “A 交 B” 即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集
B A A(B) A B A B A B

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,不能说两个集合没有交集

3.

补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全 集(Universe) ,通常记作 U。 补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x∈A} 补集的 Venn 图表示

U A CUA
4. 说明:补集的概念必须要有全集的限制 求集合的并、 交、 补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且” 与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A (CUA)∪A=U, (CUA)∩A= ? 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x∈(A∩B) ,则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B) ,则 x∈A,或 x∈B
B 5 9 x

5.

A

A? B

-1 3 ¤例题精讲: 【例 1】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A B, ? U ( A B) .

解:在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示:
A B ? {x | 3 ? x ? 5} ,

CU ( A

B )? { x | ? x ?或 1,

x ? , 9}

【例 2】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3? , C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A ( B C ) ; (2) A ?A ( B C ) . 解: A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5,6? . (1)又 B C ? ?3? ,∴ A ( B C ) ? ?3? ; (2)又 B C ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,
得 CA ( B C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? . ∴ A CA ( B C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? .

【例 3】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? m} ,且 A B ? A ,求实数 m 的取值范围.

解:由 A B ? A ,可得 A ? B .

在数轴上表示集合 A 与集合 B,如右图所示: 4 m x -2 4 m x 由图形可知, m ? 4 . 点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系,得到各端点之间的关系,特别要 注意是否含端点的问题. * 【例 4 】已知全集 U ? { x | x ? 10, , A ? {2, 4,5,8} , B ? {1,3,5,8} ,求 CU ( A B) , CU ( A B) , 且 x? N } (CU A) (CU B) , (CU A) (CU B) ,并比较它们的关系. 解:由 A B ? {1, 2,3, 4,5,8} ,则 CU ( A B) ? {6,7,9} . 由 A B ? {5,8} ,则 CU ( A B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} 由 CU A ? {1,3,6,7,9} , CU B ? {2, 4,6,7,9} , 则 (CU A) (CU B) ? {6,7,9} ,
(CU A) (CU B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} .

B

A

由计算结果可以知道, (CU A) (CU B) ? CU ( A B) , (CU A) (CU B) ? CU ( A B) . 点评:可用 Venn 图研究 (CU A) (CU B) ? CU ( A B) 与 (CU A) (CU B) ? CU ( A B) ,在理解的基础记住此 结论,有助于今后迅速解决一些集合问题.
【自主尝试】 1.设全集 U ? ?x |1 ? x ? 10, 且x ? N? ,集合 A ? ?3,5,6,8? , B ? ?4,5,7,8? ,求 A ? B , A ? B , CU ( A ? B) .

2.设全集 U ? ?x | ?2 ? x ? 5? , 集合A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x |1 ? x ? 3? ,求 A ? B , A ? B , CU ( A ? B) .

2 2 3.设全集 U ? ? x | ?2 ? x ? 6且x ? Z ? , A ? x | x ? 4 x ? 5 ? 0 , B ? x | x ? 1 ,求 A ? B , A ? B , CU ( A ? B) .

?

?

?

?

【典型例题】 1. 已 知 全 集

U ? ?x | x是不大于30的素数?

,A,B



U











,







A ? (CU B) ? ?5,13,23?, B ? (CU A) ? ?11,19,29? , (CU A) ? (CU B) ? ?3,7? ,求集合 A,B.

2 2 2.设集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | 2 x ? ax ? 2 ? 0 ,若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值集合.

?

?

?

?

3. 已知 A ? ?x | ?2 ? x ? 4?, B ? ?x | x ? a? ① 若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围; ② 若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围; ③ 若 A ? B ? ?且A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

2 4.已知全集 U ? 2,3, a ? 2a ? 3 , 若 A ? ?b, 2? , CU A ? ?5? ,求实数 a和b 的值.

?

?

【课堂练习】 1.已知全集 U ? ?0,1,2,4,6,8,10?, A ? ?2,4,6?, B ? ?1? ,则 (CU A) ? B ? ( A )

?0,1,8,10?



?1,2,4,6?



?0,8,10?



?
)

2 2.集合 A ? ?1, 4, x? , B ? x ,1 且A ? B ? B ,则满足条件的实数 x 的值为 (

?

?



1或0

B 1,0,或2

C 0,2或-2

D 1或2 ( )

3.若 A ? ?0,1,2? , B ? ?1,2,3?, C ? ?2,3,4?则(A ? B)?(B ? C)= A

?1, 2,3?



?2,3?



?2,3,4?



?1, 2, 4?
( )

4.设集合 A ? ?x | ?9 ? x ? 1 ?, B ? ?x | ?3 ? x ? 2?则A ? B ? A ?x | ?3 ? x ? 1? B ?x |1 ? x ? 2? C ?x | ?9 ? x ? 2?

D ?x | x ? 1 ?

【达标检测】 一、选择题 1.设集合 M ? ?x | x ? 2n, n ? Z? , N ? ?x | x ? 2n ?1, n ? N? 则 M ? N 是 A ? B M C Z D ( )

?0?
( )

2.下列关系中完全正确的是 A

a ? ?a, b?

B D

?a, b? ??a, c? ? a ?b, a? ??a, c? ? ?0?
( )

C ?b, a? ? ?a, b?

3.已知集合 M ? ??1,1, ?2,2?, N ? ? y | y ? x, x ? M ? ,则 M ? N 是 A M B

?1, 4?



?1?



?
)

4.若集合A,B,C满足 A ? B ? A, B ? C ? C ,则A与C之间的关系一定是( A A C B C A C

A?C



C?A

5.设全集 U ? x | x ? 4, x ? Z , S ? ??2,1,3? ,若 Cu P ? S ,则这样的集合P共有( ) A 5个 B 6个 C 7个 D8个

?

?

二、填空题 6.满足条件 ?1, 2,3? ? A ? ?1, 2,3, 4,5? 的所有集合A的个数是__________. 7.若集合 A ? ?x | x ? 2? , B ? ?x | x ? a? ,满足 A ? B ? ?2? 则实数 a =_______. 8.集合 A ? ?0,2,4,6?, CU A ? ??1, ?3,1,3?, CU B ? ?? 1,0,2 ? ,则集合B=_____. 9.已知 U ? ?1,2,3,4,5?, A ? ? 1,3,5? ,则 CUU ? ________________. 10. 对 于 集 合 A , B , 定 义 A ? B ? ? |x

x ? 且 A B? ? , A ⊙ B = ( A ? B) ? ( B ? A) , 设 集 合

M ? ?1 , 2 , 3 ? , N 4 ? , ? 5 , 6 ,
三、解答题

,则M⊙N=__________ , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 . ?4

2 11.已知全集 U ? ?x ? N |1 ? x ? 6? ,集合 A ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 , B ? ?3, 4,5,6?

?

?

(1)求 A ? B, A ? B , (2)写出集合 (CU A) ? B 的所有子集.

12.已知全集U=R,集合 A ? ?x | x ? a? , B ? ?x |1 ? x ? 2? ,且 A ? (CU B) ? R ,求实数 a 的取值范围

2 2 13.设集合 A ? x | 3 x ? px ? 5 ? 0 , B ? x | 3 x ? 10 x ? q ? 0 ,且 A ? B ? ?? ? 求 A ? B .

?

?

?

?

? 1? ? 3?

1.1.3 集合的基本运算(加强训练)
【典型例题】
2 1.已知集合 A ? x | x ? 15 x ? 50 ? 0 , B ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,若 A ? B ? ? ,求 a 的值.

?

?

2.已知集合 A ? ?x | 2a ? x ? a ? 3? , B ? x | x ? ?1或x ? 5 ,若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围.

?

?

2 2 3.已知集合 A ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 , B ? x | 2 x ? ax ? 2 ? 0 若 A ? B ? A ,求 a 的取值集合.

?

?

?

?

4.有54名学生,其中会打篮球的有36人,会打排球的人数比会打篮球的多4人,另外这两种球都不会的人数是 都会的人数的四分之一还少1,问两种球都会打的有多少人.

【课堂练习】 1.设集合 M ? ?x ? Z | ?3 ? x ? 2?, N ? ?n ? Z | ?1 ? n ? 3? ,则 M ? N ? A ( )

?0,1?



??1,0,1?



?0,1, 2?



??1,0,1, 2?

2.设U为全集,集合 M ? U , N ? U 且N ? M 则 A

(

)

CU N ? CU M
? ?



M ? CU N



CU N ? CU M



CU M ? ?CU N ?
( )

3.已知集合 M ? ? x | A

x?3 ? ? 0? , N ? ? x | x ? ?3? ,则集合 ?x | x ? 1? 是 x ?1 ?


N ?M

N ?M



CU ( M ? N )



CU ( M ? N )

4.设 A ? 菱形 , B ? 矩形 ,则 A ? B ? ___________.
2 5.已知全集 U ? 2, 4, a ? a ? 1 , A ? ?a ? 1, 2? , CU A ? ?7? 则a ? _______.

?

?

?

?

?

?

【达标检测】 一、选择题 1.满足 ?1,3? ? A ? ?1,3,5? 的所有集合A的个数 A 3 B 4 C 5 ( D 6 )

2.已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 3? , B ? x | x ? ?1或x ? 4 ,则 A ? B ? A

?

?

(

)

?x | x ? 3或x ? 4?

B

?x|-1<x ? 3?

C

?x|3 ? x ? 4?

D

?x|-2 ? x ? ?1?
)

3.设集合 S ? x | x ? 2 ? 3 , T ? ? x | a ? x ? a ? 8? , S ? T ? R ,则 a 的取值范围是( A ?3 ? a ? ?1 B ?3 ? a ? ?1 C a ? ?3或a ? ?1 D a ? ?3或a ? ?1

?

?

4. 第 二 十 届 奥 运 会 于 2 0 0 8 年 8 月 8 日 在 北 京 举 行 , 若 集 合

A ? ?参加北京奥运会比赛的运动员 ?

B ? ?参加北京奥运会比赛的男运动员 ?
( D )

,

C ? ?参加北京奥运会比赛的女运动员 ? ,则下列关系正确的是


A? B



B?C



A? B ? C

B ?C ? A

5.对于非空集合M和N,定义M与N的差 M ? N ? ?x | x ? M 且x ? N? ,那么 M-(M-N)总等于 A N B M C ( )

M ?N



M ?N

二.填空题 6.设集合 A ? (x,y)|x+2y=7 , B ? ?( x, y ) | x ? y ? ?1? ,则 A ? B ? _______.
2 ? 7.设 U ? x|x是不大于10的正整数 , A ? x | x ? 20, x ? N ,则 CU A ? ____.

?

?

?

?

?

?

8.全集U=R,集合 X ? ?x | x ? 0? , T ? ? y | y ? 1 ? ,则 CU T与CU X 的包含关系是__. 9. 设全集 U ? x|x是三角形 , A ? ? x | x是锐角三角形? , B ? x | x是钝角三角形 , 则 C( )= ____ U A? B __________. 10.已知集合 M ? y|y=-2x+1,x ? R N ? ? y | y ? x ? 2, x ? R? ,则 M ? N =___. 三.解答题
2 2 2 2 11.已知 A ? x|x ? ax ? a ? 19 ? 0 , B ? x | x ? 5x ? 6 ? 0 , C ? x|x ? 2 x ? 8 ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

①.若 A ? B ? A ? B ,求 a 的值. ②.若 A ? C ? C ,求 a 的值.

12.设 U=R,M={ x | x ? 1 },N={ x | 0 ? x ? 5 },求 CU M ? CU N .

2 13.设集合 A ? ? x | ( x ? 2)( x ? m) ? 0, m ? R? , B ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 ,求 A ? B , A ? B .

?

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