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高中数学选修2-2复习提纲


高中数学选修 2-2 复习提纲
导数复习专题 一、知识要点与考点 (1)导数的概念及几何意义(切线斜率) ; (2)导数的求法:一是熟练常见函数的导数;二是熟练求导法则:和、差、积、商、复合函数求导。 (3)导数的应用:一是函数单调性;二是函数的极值与最值(值域) ;三是比较大小与证明不等式; 四是函数的零点个数(或参数范围)或方程的解问题。 (4)八个基本求导公式
(C ) ? =

; ( x n )? = ; (ln x )? =

;(n∈Q) (sin x ) ? = , (loga x)? =
[Cf ( x )]? =

, (cos x)? =

; (e x )? =



(a x )? =

(5)导数的四则运算 (u ? v )? =

(uv )? =

, ( u )? = v

(v ? 0)

(6)复合函数的导数 ? x 设 u ? ? (x ) 在点 x 处可导, y ? f (u ) 在点 u ? ? (x ) 处可导,则复合函数 f [? ( x)] 在点 x 处可导, 且 y ? ? y u ? u ? . x 二、考点分析与方法介绍 考点一 导数的概念及几何意义 目标:理解导数的概念和导数的几何意义,会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程. 求曲线在一点处的切线方程思路:一会求导;二敢设切点;三要列尽方程;四解好方程组;五得解。

3? ,则 f ? (-2)= 4 2 例 2.设函数 f(x)的导数为 f ?( x) ,且 f(x)=x +2x f ? (1),则 f ? (2)=
例 1.已知曲线 y= f(x)在 x=-2 处的切线的倾斜角为
3 2

, [ f (?2)]? = .



例 3. (1)曲线 C:y=ax +bx +cx+d 在(0,1)点处的切线为 l1:y=x+1,在(3,4)点处的切线为 l2:y=-2x+10,求曲线 C 的方程. 3 (2)求曲线 S:y=2x-x 的过点 A(1,1)的切线方程.

考点二 单调性中的应用 知识要点: 函数的单调性:设函数在某区间内可导,则 f ?( x) >0 ? f(x)在该区间上单调递增; f ?( x) <0 ? f(x)在该区间上单调递减. 反之,若 f(x)在某区间上单调递增,则在该区间上有 f ?( x) ≥0 恒成立(但不恒等于 0) ; 若 f(x)在某区间上单调递减,则在该区间上有 f ?( x) ≤0 恒成立(但不恒等于 0) . 题型与方法: (1)单调区间:一般分为含参数和不含参数问题,含参数的求导后又分导函数能分解与不能
1

分解两类,能分解讨论两根大小;不能分解,讨论判别式。不含参数的直接求解。一般思路:一、求函数 定义域;二、求导数;三、列方程、并解之;四、定区间号;五、得解。 (2)证明函数单调性。 例 4.设函数 f (x) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数。求函数 f (x) 的单调区间。 x ?1

例 5.已知 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 , 3

(1)若 f ( x ) 的单调递减区间是 (?3,1) , 求 a 的取值范围 (2)若 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围

例 6. 已知函数 f ?x ? ? x3 ? 3ax2 ? bx ,其中 a, b 为实数.若 f ?x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 b ? 9a , 求 a 的取值范围.

2

小 结 : 1. 重 要 结 论 : 设 函 数 f ( x ) 在 ( a, b) 内 可 导 . 若 函 数 f ( x ) 在 ( a, b) 内 单 调 递 增 ( 减 ) 则 有 ,

f ' ( x) ? 0( f ' ( x) ? 0) .且 f ' ( x) 不恒为 0
2.求解参数范围的方法: 方法 1:运用分离参数法,如参数可分离,则分离参数→构造函数 g ( x) (可将有意义的端点改 为闭)→求 g ( x) 的最值→得参数的范围。 方法 2:如参数不方便分离,而 f ' ( x) 是二次函数,用根的分布: ①若 f ' ( x) ? 0 的两根容易求,则求根,考虑根的位置 ②若 f ' ( x) ? 0 不确定有根或两根不容易求,一定要考虑△和 f ' (a) f ' (b) 有时还要考虑对称轴 考点三 极值、最值与值域 函数的极值: (1)概念:函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且若对 x0 附近的所有点都有 f(x)<f(x0) (或 f(x)>f(x0)) ,则称 f(x0)为函数的一个极大(小)值,称 x0 为极大(小)值点. (2)求函数极值的一般步骤: ①求导数 f ?( x) ;②求方程 f ?( x) =0 的根;③检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) =0 的根的左右的符号,如果 是左正右负(左负右正) ,则 f(x)在这个根处取得极大(小)值. 函数的最值:①求函数 f(x)在区间[a,b]上的极值;②将极值与区间端点函数值 f(a), f(b)比较,其中 最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值. 例 7. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x= 时,y=f(x)有 极值. (1)求函数 f(x 的解析式; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
3 2

2 3

?

变式训练 1:若函数 f(x)=x -3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 a 的取值范围为 变式训练 2:若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 没有极值,则 a 的取值范围为 变式训练 3:函数 f(x)=x -ax -bx+a ,在 x=1 时有极值 10,则 a、b 的值为 考点四 不等式证明与大小比较
3
3 2 2 3 2

3

思路点拨:主要解决方法是先构造函数,然后利用导数法确定函数的单调性,进而达到解决问题的目的。 例 8. 已知 x ? (0, ? ) ,求证: sin x ? x ? tan x 。 2

变式训练 4:设函数 f (x) =x+ax +blnx,曲线 y= f (x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切线斜率为 2. (I)求 a,b 的值; (II)证明: f (x) ≤2x-2.

2

考点五

方程的解个数问题

思路点拨: (1)主要考查讨论方程解或函数零点个数,通过导数法确定单调区间和极值,然后画出草图, 最后利用数形结合思想使问题得到解决。 (2)三个等价关系:方程的解 ? 函数零点 ? 函数图象交点。
3 例 9. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ?1, a ? 0 ,若 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,且方程 f ( x) ? m 有三个不同的

解,求 m 的取值范围。

考点六

导数在实际生活中的应用
4

例 10. 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的 长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

例 11. 某造船公司年最高造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值为 R(x) ? 3700x ? 45x2 ? 10x3 (万元) ,成本 函数为 C(x) ? 460x ? 5000 (万元) 又在经济学中, 。 函数 f (x) 的边际函数 Mf (x) 定义为 Mf (x) ? f (x ? 1) ? f (x) 。 求: (1)利润函数 p(x) 及边际利润数 Mp(x) ; (2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)根据 MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305.利用二次函数的性质研究它的单调性,最后得出 单调递减在本题中的实际意义单调递减在本题中的实际意义即可.

三、考题精炼 一、填空题 1.函数 y=-2sin 2.已知曲线 y = 是
? 1 2

x 2 x (1-2cos )的导数为 2 4

. ;过点 P 的切线方程

1 3 8 x 上一点 P(2, ),则点 P 处的切线方程是 3 3 .

1 ? ? ? 3.若曲线 y ? x 在点 ? a , a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ? ?

5

4. 三次函数 f(x)=mx -x 在(-∞,+∞)上是减函数,则 m 的取值范围是 5.求函数 y=x +x-2 图象上的点到直线 y=x-4 的距离的最小值为 ,相应点的坐标 为 . 6.长为 1 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 2 (梯形的周长) S= ,则 S 的最小值是 . 梯形的面积 1 2 7. (2008·湖北高考题)若 f(x)=- x +bln(x+2)在(-1, +∞)上是减函数, b 的取值范围是 则 . 2 1 3 2 2 8.图 1 中,有一个是函数 f(x)= x +ax +(a -1)x+1(a∈R,a≠0)的导数 f′(x)的图象,则 f(-1)的 3 值为
4

3

图1 图2 9.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正 确的是 . 10.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 . 11.若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 . x 12.(2011 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f(x)=e (x>0)的图象上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最 大值是 . 二、解答题 3 2 13. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线 l 不过第四象限且斜率为 3,又坐 10 2 标原点到切线 l 的距离为 ,若 x= 时,y=f(x)有极值, 10 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是

6

2 3 2 14.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=- 与 x=1 时都取得极值, 3 (1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调区间; 2 (2)若对 x∈[-1,2],不等式 f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围.

15.某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处,已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的 高 AO 上一点 P 处建造一个变电站. 记 P 到三个村庄的距离 之和为 y. (1)设∠PBO=α ,把 y 表示成 α 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? B O C P A

16.定义在 R 上的函数 f(x)=ax +bx +cx+3 同时满足以下条件:①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+ ∞)上是增函数;②f′(x)是偶函数;③f(x)在 x=0 处的切线与直线 y=x+2 垂直. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)设 g(x)=lnx- ,若存在实数 x∈[1,e],使 g(x)<f′(x),求实数 m 的取值范围.

3

2

m x

二.定积分 1. 定义:

( 练习 1. ?
0

1

1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 x)dx ?

2. 定积分的意义: (平面图形面积的计算) 注意: 练习:1.由曲线 y ? x 与 x ? y 所围成的曲边形的面积为
2 2

7

曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为 曲线 y ? cos x ? 0 ≤ x ≤ A. 4 3. 练习: B. 2

? ?

3π 3π ? ? 与 x 轴以及直线 x ? 2 所围图形的面积为( 2 ?
C.



5 2

D. 3

微积分基本定理和基本性质:

F ( x) ? ? (t 2 ? 2t ? 8)dt ( x ? 0)
0

x

(1)求 F ( x) 的单调区间。

, (2)求函数 F ( x) 在 [1 3] 上的最值.

三.推理和证明

1.推理的分类 三段论推理:

? ? ?

练习:用演绎推理证明“ y ? sin x 是周期函数”时的大前提是----小前提是------

? 2.证明 ? ?
a
练习:已知 a , b 是正实数,求证: b

?

b a

? a? b

3.数学归纳法: 注意: 练习:1.用数学归纳法证明不等式“

1 1 1 13 ? ??? ? (n ? 2) ”时的过程中,由 n ? k 到 n ?1 n ? 2 2n 24

n ? k ? 1 时,不等式的左边(
(A)增加了一项

) (B)增加了两项

1 2(k ? 1)

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

(C)增加了两项

1 1 1 ? ,又减少了 ; k ?1 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 ,又减少了一项 ; k ?1 2(k ? 1)
8

(D)增加了一项

2. 已知数列 (1).计算

?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1? nan (n ?N* ) .

a1 , a2 , a3 , a4 ;(2).猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论

四.复数 1. 复数的概念: 练习:1.已知关于 x 的方程

x

2

? (k ? 2i ) x ? 2 ? ki ? 0

有实根,求这个实根以及实数 K 的值。

已知 x,y 为共轭复数,且

( x ? y)

2

? 3xyi ? 4 ? 6i ,求 x,y

2.

复数的几何意义:

z?
练习.1.复数

m ? 2i (m ? R ), 1 ? 2i 在复平面上对应的点不可能位于第

象限

2.如果复数 Z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,那么 z ? i ? 1 的最小值为 3. 复数的运算: 常用结论: 练习:

z ? 2z ? 9i

,求复数 z

题型归纳: 一、复数 1、已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x=

, y=



2、设 z ? log2 (m2 ? 3m ? 3) ? i log2 (m ? 3)(m ?R) ,若 z 对应的点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,求 m 的值
2 , 、、 3、关于 x 的不等式 mx ? nx ? p ? 0 (m n p ? R) 的解集为 (?1 2) ,则复数 m ? pi 所对应的点位于复

平面内的第________象限. 4、 m ? R ,复数 (2m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 3m ? 2)i 表示纯虚数的充要条件是( A. m ? ? )

1 或m ? 2 2

B. m ? 2

C. m ? ?

1 2

D. m ? 2 或 m ? 1

5、2.定义运算 A. 3 ? i 6、复数 z=

a c

b 1 ? ad ? bc ,则符合条件 d z
B. 1 ? 3i ) C.1
9

?1 ? 4 ? 2i 的复数 z 为( zi
D. 1 ? 3i



C. 3 ? i

5 ,则 z 是( 3 ? 4i
B.5

A.25

D.7

7、已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i ,且 O 是坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z .

二、推理与证明 (一)推理

1?
1、观察下列式子
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1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1? 2 ? 2 ? , 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 , ? ? ,
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则可归纳出________________________________ 2、对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以 得到命题:“___________________________”这个类比命题的真假性是________
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2 ? 2 ? ? ? 3、观察 sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos 50 ?

3 3 2 ? 2 ? ? ? , sin 15 ? cos 45 ? sin15 cos 45 ? ,请写出一个 4 4


与以上两式规律相同的等式:
*

4、把数列 ?2n ?1 (n ?N ) 依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括 ?

7) 1113) , 19 21) 号四个数, 第五个括号一个数, ?循环, 分别为:(3) ,(5, ,(9,, ,(1517,, ,(23) ,(25, , 27) (29, , , (35, , , ,?,则第 104 个括号内各数之和为( 31 33) 37 39 41)


A. 2036 B. 2048 C. 2060 D. 2072 5、观察按下列顺序排列的等式: 9 ? 0 ? 1 ? 1 , 9 ? 1 ? 2 ? 11 , 9 ? 2 ? 3 ? 21 , 9 ? 3 ? 4 ? 31 ,?,猜想 第 n(n?N* ) 个等式应为( A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C. 9n ? (n ? 1) ? 10n ? 1 ) B. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ? 1) ? (n ? 1) ? 10n ? 10

6、平面几何中,有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( A. )

3 a ,类比上述命题,棱长为 a 2

4 a 3

B.

6 a 3

C.

5 a 4

D.

6 a 4


(二) 、证明 1、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A. 假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 2、设 S (n) ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 (n ? N* ) ,当 n ? 2 时, S (2) ? ( n n ?1 n ? 2 n ? 3 n 1 1 1 A. B. ? 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 C. ? ? D. ? ? ? 2 3 4 2 3 4 5
10



3、某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命题也成立,
*

现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立
? 2

) (B)当 n ? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立
2

4、在 △ ABC 中,若 ?C ? 90 ,则 cos A ? cos B ? 1 .在立体几何中,给出四面体类似性质的猜想.

5、如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM ? BB1 交 AA1 于点 M ,PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理:

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE .
拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与 其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.

6、数列{an}的通项 an ? (?1) a1 = 1=1

n?1

? n 2 ,观察以下规律:

a1+a2 = 1-4=-3=-(1+2) a1+a2+a3 = 1-4+9=6=+(1+2+3) ?? 试写出求数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,并用数学归纳法证明

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