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自主招生立体几何教师版版


自主招生专题辅导之

立体几何
(2009 年清华)7.四面体 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC ?1? 求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形;

? 2 ? 设三个面与底面 BCD 所成的角分别为 ? , ? , ? ,求证: cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1

1

(2008 年浙大)1.有一个圆锥正放,它的高为 h,圆锥内水面高为 h1,
2h h1= 3 ,将圆锥倒置,求倒置的水面高度 h2。

解答:由题意,水的体积与圆锥的体积之比在圆锥倒置前后相等得:
2 ? ? 3 ? h ? 3 h ? ? h2 ?3 26 26 1? ? h? h ? ? ? ? ,所以 h2 ? 3 27 3 ? h ? ?h? ? ?
3

(2010 年清华五校) (Ⅰ)正四棱锥的体积 V ? 13.

2 , 求正四棱锥的表面积的最小值; 3

(Ⅱ)一般地,设正 n 棱锥的体积 V 为定值,试给出不依赖于 n 的一个充分必要条件,使得 正 n 棱锥的表面积取得最小值. 13.解: (Ⅰ)设正四棱锥的底面正方形的边长为 2a ,高为 h .则正四棱锥的体积

4 2 V ? a2h ? . 3 3
正四棱锥的表面积 S ? 4(a ? a a ? h ).
2 2 2
3 从而 S ?

2 S3 9V2

a ? 8 ( 2 (? ) 1 h

h 3 ?1 (2 ) ) . a

2

令 t ? ( ) , 设 f (t ) ? (1 ? 1 ? t ) , t ? 0
2 3

h a

1 t

则 f '(t ) ?

(1 ? 1 ? t )2 (t ? 2 ? 2 1 ? t ). 2t 2 1 ? t

令 f '(t ) ? 0, 解得 t ? 8. 当 0 ? t ? 8 时, f '(t ) ? 0, 当 t ? 8 时, f '(t ) ? 0.

f (t ) 当 t ? 8 时取得最小值 f (8) ? 8
正四棱锥的表面积的最小值为 4. (Ⅱ)一般地,设正 n 棱锥的底面正 n 边形的中心到各边的距离为 a ,高为 h ,则 n 正边形 的体积 正棱锥的表面积 由(Ⅰ)知,当时,正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为 可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的 4 倍。

(2008 年清华)
2.(1)一个四面体,证明:至少存在一个顶点,从其出发的三条棱组成一个三角形; (2)四面体一个顶点处的三个角分别是 所成的二面角;

? ?
2 3 ,

, arctan 2 ,求

? 的面和 arctan 2 的面 3

(2)

3

(2004 年同济大学)2. (本题满分 12 分)设四棱锥 P—ABCD 中,底 面 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 PA⊥面 ABCD. (1) 求证:直线 PC⊥直线 BD; (2) 过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 E,如果三棱锥 E —BCD 的体积取到最大值,求此时四棱锥 P—ABCD 的高.

P

E A B C D

(2011 年卓越 3)3.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为棱 AA1 的中点, F 是棱 A1B1 上的点,
且 A1 F : FB1 ? 1: 3 ,则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为( B A. )

15 3

B.

15 5

C.

5 3

D.

5 5

(2011 年卓越 6)
6.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长与侧棱长均不等于 2,且 E 为 CC1 的中点,则点 C1 到平面

AB1 E 的距离为( D )
A.

3

B.

2

C.

3 2

D.

2 2

(2012 年卓越 4)

解: (2012 年卓越 9)

答:

4

(2011 年华约 2)
(2) 在正四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别为 PA、PB 的中点,且侧面与底面所成二面角的 正切为 2 。则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为( )

1 1 1 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 3 6 8 12
[分析]本题有许多条件,可以用“求解法”,即假设题中的一部分要素为已知,利用 这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知(不妨设为 2) ,利用侧 面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法, 一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。

z P

M

D O

N

C y B

A x

解法一:如图,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为

2 。如图建立坐标系,则 A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,
???? ? 3 1 2 ???? 1 1 2 1 1 2 1 3 2 2 ),则 M ( , ? , ), N ( , , ) , DM ? ( , ? , ), AN ? (? , , ) 。设 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5

???? ???? ? DM ?AN 1 所成的角为 θ,则 cos ? ? ???? ???? ? 。 ? 6 DM AN
解法二:如图,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为

2 。平移 DM 与 AN 在一起。即 M 移到 N,D 移到 CD 的中点 Q。于是 QN = DM = AN。
而 PA = PB = AB = 2,所以 QN = AN =

3 ,而 AQ =

5 ,容易算出等腰 ΔAQN 的顶角

cos ?ANQ ?
略。

1 。 6

解法三:也可以平移 AN 与 DM 在一起。即 A 移到 M,N 移到 PN 的中点 Q。以下

(2011 年华约 6)(6) 已知异面直线 a,b 成 60° 角。A 为空间一点则过 A 与 a, b 都成 45° 角的平面 ( ) A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个
[分析]已知平面过 A,再知道它的方向,就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向,我 们考虑它的法线,并且假设 a,b 为相交直线也没关系。于是原题简化为:已知两条相交直 线 a,b 成 60° 角,求空间中过交点与 a,b 都成 45° 角的直线。答案是 4 个。

例 1: (2012 华约 9). PA, PB, PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角 均为 60 ,那么直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦是
A. 1 . 2
0

B.

2 . 2

C.

3 . 3

D.

6 . 3

例 2: (2010年五校联考) 平面 ? ∥平面 ? , 直线 m ?? , n ? ? , , A ? m, B ? n, AB 点 与平面 ? 的夹角为

? ? , AB ? n, AB 与 m 夹角为 ,求 m, n 的夹角(答案:45 度) 4 3

例 3 : 2008 西 北 工 大 ) 如 图 , 在 三 棱 柱 A-BCD 中 , (

?BCD ? 900 ,BC=CD=AB=1, AB ? ?BCD ,E 为 AC 中点,F 在线 AF ?? 段 AD 上, AD ? 为何值时, ?BEF ? ?ACB (2)在(1)的条件下,求二面角 E ? CF ? B 的大小。
练习: (2003 同济)正四面体 ABCD,如图建立直角坐标系, z A M B O C
6

O 为 A 在底面的投影,M、N 分别为 AB,AD 的中点,则 M 点
坐标是_________,CN 与 DM 所成角是 ? _________.

? 1 3 6? M?? ,? ? 4 12 , 6 ? ? ? ?

N D x y

6 cos ? ? 18


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