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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第9章 第56讲 圆锥曲线的综合应用课件 理


x2 y 2 1.若直线y ? kx ? 1与焦点在x轴上的椭圆 ? ?1 5 t 恒有公共点,则t的取值范围是  ?1,5 ?   .

? 左准线重合,则抛物线的焦点坐标为  1, 0 ?   .

2.已知抛物线y 2 ? 2px的准线与双曲线x 2 ? y 2 ? 2的

解析:双曲线x 2 ? y 2 ?

2的实半轴、虚半轴、 半焦距分别为a,b,c, 则a ? b ? 2,c ? 2. 2 故其左准线x ? ? ? ?1, 2 p 故 ? ? ?1,p ? 2.故焦点坐标为 ?1, 0 ?. 2

x y 3.设椭圆C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 相应于焦点 a b F ? 2,0 ?的准线方程为x ? 4,则椭圆C的方程 是 
x2 y 2 ? 2 ?1 2 8 4

2

2

  .

?c ? 2 ? 2 ?a 2 ? 8 ?a 解析:由题意得: ? 4 ,所以 ? 2 , ? ?b ? 4 ?c 2 2 2 ?a ? b ? c ? 2 2 x y 所以椭圆C的方程为 2 ? 2 ? 1 8 4

4.已知圆C:x 2 ? y 2 ? 6x ? 4y ? 8 ? 0.以圆C与坐标轴 的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适 合上述条件的双曲线的标准方程为  x - y =1 4 12  
解析:圆C:x ? y ? 6x ? 4y ? 8 ? 0,
2 2

2

2

令y ? 0 ? x ? 6x ? 8 ? 0,得圆C与坐标轴的
2

交点分别为 ? 2, 0 ?,4, 0 ?, ? 则a ? 2,c ? 4,b 2 ? 12,所以双曲线的标准 x2 y 2 方程为 - =1 4 12

x2 y 2 2 5.设椭圆 2 ? 2 ? 1(m>n>0)的右焦点与抛物线y m n 1 ? 8x的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为 2 2 2 x y ? 2 ?1   2 . 16 12
解析:抛物线y 2 ? 8x的焦点为? 2, 0 ?,所以椭圆焦点 2 1 在x轴上且半焦距为2,所以 ? ? m ? 4,所以 m 2 x2 y2 2 2 2 n ? 4 ? 2 ? 12,所以椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1. 16 12

最值与范围
【例1】 在直线l:x-y+9=0上任取一点P,过点P x2 y 2 且以椭圆 + =1的焦点为焦点作椭圆. 12 3 ?1? P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?

? 2 ? 求长轴最短时的椭圆方程.

x2 y2 【解析】1? 椭圆 + =1的两个焦点为F1 (-3, 0), ? 12 3 F2 ? 3, 0 ?.易求得焦点F1关于直线x-y+9=0对称的 点F1 ?为(-9, 6), 则过点F1 ?,F2的直线方程为x+2y-3=0. ?x ? y ? 9 ? 0 联立 ? , 解得P (-5, 4). ?x ? 2 y ? 3 ? 0 易证,过点P (-5, 4)的椭圆长轴最短. (为什么?自己证明)

? 2 ?因为2a= PF1 + PF2 =6

5,所以a=3 5,b 2=36.

x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1 45 36

本例通过平面几何知识,利用椭圆的定义 和对称性找到长轴最短时的P点,从而解决问

题.还可以有如下解法:设所求椭圆的方程为 ?x ? y ? 9 ? 0 2 2 x y ? 2 + 2 =1.联立 ? x , 消去y得关于x y2 2 a a ?9 =1 ? 2+ 2 a ?9 ?a 的一元二次方程.令?=0,可求得a 2的值,进而求
得点P的坐标.

【变式练习1】 x2 y 2 我们把由半椭圆 2 ? 2 =1( x ? 0)与 a b y 2 x2 半椭圆 2 ? 2 =1( x ? 0)合成的曲线 b c 称为"果圆",其中a 2=b 2+c 2,a ? 0, b ? c ? 0.F0、F1、F2是相应椭圆的焦点,A1、A2 和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点.   的方程; b ? 2 ? 若 A1 A2 ? B1B2 ,求 的取值范围; a

?1? 若三角形F0 F1F2是边长为1的等边三角形,求 "果圆"

【解析】1?因为F0 ? c, 0 ?,F1 (0,b 2 ? c 2 ),F2 (0,- b 2 ? c 2 ), ? 所以 F0 F1 = (b 2 ? c 2 ) ? c 2=b=1, 1 F2 =2 b 2 ? c 2=1, F 3 7 2 2 2 于是c = ,a =b +c = . 4 4 4 2 2 4 2 2 故所求“果圆”的方程为 x +y =1( x ? 0),y + x =1( x ? 0). 7 3
2

? 2 ?由题意,得a+c>2b,即
2 2 2 2 2

a 2 ? b 2 ? 2b-a.
2 2

b 4 由? 2b ? >b +c =a ,即a -b >(2b-a ) ,得 ? a 5 b2 1 b 2 4 2 2 2 2 又b >c =a -b ,所以 2 ? ,所以 ? ( , ) a 2 a 2 5

圆锥曲线的离心率
【例2】 x2 y2 设点P是双曲线 2 - 2 =1(a ? 0,b ? 0)右支上 a b 的任意一点,F1,F2分别是其左、右焦点,离心 率为e,若PF1=e· 2,求此双曲线的离心率e的 PF 取值范围.

【解析】由双曲线的第一定义可知:PF1-PF2=2a, 2a 2ae 又PF1=e ? PF2,故PF2= ,PF1= ,PF1+PF2 e ?1 e ?1 ? F1F2 (当且仅当点F1,P,F2共线时取等号),即 2a? e ? 1? ? 2c,所以e 2-2e-1 ? 0,即1 ? e ? 1+ 2, e ?1 故所求双曲线的离心率e的取值范围是(1,1+ 2].

圆锥曲线中的离心率反映了圆锥曲
线的形状,也反映了圆锥曲线上的点到

焦点和到准线的距离的关系,在实际问
题中,常与第二定义联系在一起.

【变式练习2】 x y 已知椭圆 2 + 2 = a ? b ? 0),过左焦点F 作倾 1( a b 斜角为60?的直线交椭圆于A,B两点,若 AF = 2 2 FB ,则椭圆的离心率e为 _____3 _____
【解析】如图,设 BF =2,点B到左准线的距离 为d,则 AF =4,点A到左准线的距离d+3, 4 2 由圆锥曲线的统一定义得e= = , d ?3 d 2 则d=3,故e= 3
2 2

探究性问题
【例3】 (2011·南通一模卷) y x 6 已知椭圆C: 2 + 2 =1(a ? b ? 0)的离心率为 ,过右顶 a b 3 点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点,且B (-1,-3).
2 2

?1? 求椭圆C和直线l的方程; ? 2 ? 记椭圆C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面
区域(含边界)为D.若曲线x 2-2mx+y 2+4y+m 2-4=0与D 有公共点,试求实数m的最小值.

6 a 2 ? b2 6 【解析】1?由离心率e= ,得 = , ? 3 a 3 即a 2=3b 2 .① y 2 x2 又由点B(-1,-3)在椭圆C: 2 + 2 =1上, a b (?3) 2 (?1) 2 得 2 + 2 =1=1.②, a b 联立①②解得a 2=12,b 2=4. y2 x2 故椭圆C的方程为 + =1 12 4 由A ? 2, 0 ?,B(-1,-3),得直线l的方程为y=x-2.

2 ?曲线x 2-2mx+y 2+4y+m 2- ? 4=0,即( x-m) +( y+2) =8,
2 2

其圆心坐标为G (m,-2),半 径r=2 2.易知它是圆心在直线 y=-2上,半径为2 2的动圆 由于要求实数m的最小值, 故由图可知,只需考虑m ? 0的情形.

设 ? G与直线l相切于点T, 则由 |m? 2?2| 2 当m=-4时,过点G (-4,-2)与直线l垂直的直线 l ?的方程为x+y+6=0. ?x ? y ? 6 ? 0 解方程组 ? ,得T (-2,-4). ?x ? y ? 2 ? 0 因为区域D内的点的横坐标的最小值与最 大值分别为-1,,所以切点T ? D. 2 由图可知当 ? G过点B时,m取得最小值, 即(-1-m) 2+(-3+2) 2=8,得mmin=- 7-1. =2 2,得m= ? 4.

本题考查了直线、椭圆、圆的方程及
圆的切线等多个知识点,虽然是以椭圆为

背景,但重点考查的是直线与圆的知识,
题目立意新颖,有较好的区分度.

【变式练习3】 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、 半径为2 2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O. x2 y 2 椭圆 2 ? =1与圆C的一个交点到椭圆两焦点 a 9 的距离之和为10.

?1? 求圆C的方程; ? 2 ? 试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使点Q
到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长?若存在, 请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】1? 设圆心的坐标为(m,n)(m ? 0,n ? 0), ? 则圆C的方程为( x-m) 2+( y-n) 2=8. 已知圆C与直线y=x相切,那么圆心C到该直线的距离 |m?n| 等于圆C的半径,则 =2 2,即 | m-n | =4.① 2 又圆C与直线y=x切于原点 ? 0, 0 ?,故将原点 ? 0, 0 ?, 代入圆C的方程中,得m 2+n 2=8.② ?| m ? n |? 4 ?m ? ?2 联立方程①和②组成方程组 ? 2 ,解得 ? 2 ?n ? 2 ?m ? n ? 8 故圆C的方程为( x+2) 2+( y-2) 2=8.

x2 y 2 ? 2 ? 依题意知 a =5,所以a =25,则椭圆的方程为 ? =1, 25 9 其半焦距c==4,右焦点为 ? 4, 0 ?,那么 OF =4.
2

要探求是否存在异于原点的点Q,使得该点到椭圆右焦点F 的距离等于 OF ,我们可以转化为探求以右焦点F 为圆心, 半径为4的圆( x-4) 2+y 2=16与 ?1? 所求的圆的交点个数. 4 ? ?x ? 5 ?( x-4) 2+y 2=16 ? ? 通过联立两圆的方程,得 ? ,解得 ? 2 2 ?( x ? 2) +( y ? 2) =16 ? ? y ? 12 ? 5 ? 4 12 故存在异于原点的点Q ( , ),使得该点到椭圆右焦点F的距 5 5 离等于 OF .

2 1.若椭圆x +ky =1? 0 ? k ? 1?的离心率为 ,则 2 2 2 它的长轴长是 ____________
2 2

  2.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐 近线与圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1都相切,则双曲线C的离心
2

率是

2 3 或2 3

  .

解析:由题可知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近 线方程为y ? x, 2 3 由已知可知 ? 1,解得e ? ; 3 a 2 ? b2 当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线方程为y ? x, 由已知可得 | 2a | a ?b
2 2

| 2b |

? 1,解得e ? 2.

x2 2 3.设F1和F2为双曲线 -y =1的两个焦点,点P 4 在双曲线上,且满足?F1 PF2=90?,则VF1 PF2的 面积是__________ 1
x2 【解析】由 -y 2=1,得a=2,c= 5, 4 所以 | PF1 - PF2 | =4, 则 PF1 -2 PF1 PF2 + PF2 =16.① 因为?F1PF2=90?,所以 PF1 + PF2 =(2 5) .②
2 2 2 2 2

1 联立①②解得 PF1 PF2 =2.所以S ? F1PF2= PF1 PF2 =1. 2

【解析】因为a=1,b= 3,所以c=2,所以e=2. 设点P到与焦点F ? 2,0 ? 相应的准线的距离为d,

y 4.已知点A ? 3, 0 ? 、F ? 2, 0 ?,在双曲线x - =1 3 1 上求一点P,使 PA + PF 的值最小. 2
2

2

| PF | 1 则 =2,所以 PF =d . d 2 1 所以 PA + PF = PA +d,这问题就转化为在双曲线 2 上求点P,使P到定点A的距离与到准线的距离和最小. 即直线PA垂直于准线时合题意,所以P ?1,0 ?.

x2 y 2 5.是否存在实数m,使得椭圆 - =1上有 4 3 不同的两点关于直线y=4x+m对称.
x2 y2 【解析】设椭圆 - =1上以 4 3 A( x1,y1 ),A?( x2,y2 )为端点的弦 关于直线y=4x+m对称,其中点 x2 y2 为M ( x0,y0 )且M 是椭圆 - 4 3 =1内的点,

从而有x1+x2=2x0,y1+y2=2y0 . ?3 x12+4y12=12 ① ? 2 2 由? 2 ,①-②得4( y12 ? y2 )=-3( x12 ? x2 ) 2 ?3 x1 +4y1 =12 ② ? y1 ? y2 3( x1 ? x2 ) 3 x0 所以k AA?= =- =- x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4 y0 1 3 x0 1 由k AA?=- ? - =- ? y0=3x0, 4 4 y0 4 由M ( x0,y0 )在直线y=4x+m上, 则x0=-m,y0=-3m ? M (-m,-3m), ?? m ?2 ??3m ?2 4 2 13 2 13 2 从而有 + ? 1 ? m ? ? m ? (- , ) 4 3 13 13 13

1.圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用, 数形结合的数学思想,与圆锥曲线相关的定值问

题、最值问题、应用问题和探索性问题.圆锥曲
线知识的纵向联系,圆锥曲线知识与三角、函数 等代数知识的横向联系,解综合性问题的分析思 路与方法.重要的是要善于掌握圆锥曲线知识的 纵向、横向的联系,努力提高解题能力.

2.与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常

用的两种方法:
(1)不等式(组)求解法:依据题意,结合图 形,列出所讨论的参数适合的不等式(组),通 过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)函数值域求解法:把所讨论的参数作

为一个函数,通过讨论函数的值域来求参数的
变化范围.

3.圆锥曲线中最值的求解方法有两种:

(1)几何法:若题目中的条件和结论能
明显体现几何特征的意义,则考虑利用图 形性质来解决; (2)代数法:若题目中的条件和结论能 体现某一明确的函数关系,则可首先建立

目标函数,再求这个函数的最值.求函数
最值常用的方法:配方法、判别式法、重 要不等式法及函数的单调性法.

4.定点定值问题,所考查的数学思想

主要是函数与方程思想、数形结合思想、等
价化归思想以及基本不等式的运用等,并且 基本上都是建立目标函数,通过目标函数的 各种性质来解决问题.关于定点定值问题, 一般来说,从两个方面来解决问题:(1)从特

殊入手,求出定点(定值),再证明这个点(值)
与变量无关;(2)直接推理计算,并在计算过 程中消去变量,从而得到定点(值)


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