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2013年江苏高考数学模拟试卷(七).


2013 年江苏高考数学模拟试卷(七)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 设集合 U=N,集合 M={x|x -3x≥0},则?UM=
2



2. 某单位有职工 500 人,其中青年职工 150 人,中年职工 250 人,老年职工

100 人,为了 了解该单位职工的健康情况, 用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 6 人,则样本容量为 3. 已知 i 为虚数单位, .
a ? 4i ? 2i ,则实数 a = 2?i



4. 在平面直角坐标系 xoy 中,角 ? 的始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y ? ? 3x 上,且
x ? 0 ,则

cos? =

. .

5. 已知函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为

6. 从集合 {1, 2,3, 4,5} 中随机选取一个数记为 a ,则使命题: “存在 x ? (?3, 3) 使关于 x 的不 等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 有解”为真命题的概率是 .

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? ? ? ? ? 7. 已知向量 a ? ( x, 1), b ? (2, y ? z) ,且 a ? b .若 x、y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则 z 的 ? x ? 2, ?

取值范围是 8. 已知双曲线



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程 y ? 3x ,它的一个焦点在抛物线 a 2 b2
.

y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为

1 1 9. 设函数 f ( x) ? 4sin(? x) ? x ,函数 f ( x) 在区间 [k ? , k ? ](k ? Z ) 上存在零点,则 k 最小 2 2

值是

.

10. 数列 ?an ? 的各项都是整数,满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起 依次成等比数列,则数列 ?an ? 前 10 项的和是 11. 若函数 f ( x) ? tan x ?
4? ? 在点 P( , 3 3 3?



4? ) 处的切线为 l ,直线 l 分别交 x 轴、 y 轴于 3

点 A、 B , O 为坐标原点,则 ?AOB 的面积为

.

12. 如果圆 ( x ? 2a)2 ? ( y ? a ? 3)2 ? 4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数

a

1

的取值范围是



13. 如右图放置的腰长为 2 的等腰三角形 ABC 薄片, ?ACB ?

?
2

,沿 x 轴滚动,设

顶点 A( x, y ) 的轨迹方程为 y ? f ( x) ,则 f ( x) 其相邻两个零点间的图像与 x 轴 围成的封闭图形的面积为 .

14. 定义区间 (c, d ], [c, d ), (c, d ), [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c .则满足不等式
1 1 ? ? 1, (a1 ? 0, a2 ? 0) 的 x 构成的区间长度之和为 a1 x ? 1 a2 x ? 1

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 如图, 四边形 ABCD 为正方形, 平面 ABCD ? 平面 ABE ,BE ? BC ,

F 为 CE 的中点,且 AE ? BE .
(1)求证: AE // 平面 BFD ; (2)求证: BF ? AC .
D C

F A B

E

16.(本小题满分 14 分)已知锐角 ?ABC 中的三个内角分别为 A、 B、 C . ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 5? (1)设 BC ? CA ? CA ? AB , ?A = ,求 ?ABC 中 ?B 的大小; 12 ? ? ? ? C 2 (2)设向量 s ? 2 sinC , ? 3 , t ? (cos 2C, 2cos2 ? 1) ,且 s ∥ t ,若 sin A ? ,求 2 3

?

?

sin( ? B )的值. 3

?

2

17.(本小题满分 14 分)如图,现有一个以 ?AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形 湖面 AOB .现欲在弧 AB 上取不同于 A、 B 的点 C , 用 渔网沿着弧 AC (弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上)、半 径 OC 和线段 CD (其 中 CD // OA ),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域— —养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若 OA ? 1 km, ?AOB ?

?
3

, ?AOC ? ? .

(1) 用 ? 表示 CD 的长度; (2) 求所需渔网长度(即图中弧 AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

3

18. (本小题满分 16 分)已知 a , b 为实数, a ? 2 ,函数 f ( x) ?| ln x ?
f (1) ? e ? 1, f (2) ? e ? ln 2 ? 1. 2

a | ?b ,若 x

(1)求实数 a , b ; (2)求函数 f ( x) 在 [1, e2 ] 上的取值范围; (3)若实数 c、d 满足 c ? d , cd ? 1 ,求 f (c) ? f (d ) 的最小值.

4

、 19.(本小题满分 16 分)已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 : 圆 C2 的内接菱形. (1) 若点 P ( ?
6 3 , ) ,试探求点 S (在第一象限的内)的坐标; 2 2

x2 2 y 2 ? ? 1 ,四边形 PQRS 为椭 3 3

(2) 若点 P 为椭圆上任意一点, 试探讨菱形 PQRS 与 圆 C1 的位置关系.

P

y

S
O x

Q

R

5

20.(本小题满分 16 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 恒为正值,其中 a1 ? 1, a2 ? a ? 1(a ? 1) , 且
(an?1 ? an )Sn ? an?1an .

(1)求证:数列 {Sn } 是等比数列; (2)若 a n 与 an ? 2 的等差中项为 A ,试比较 A 与 an ?1 的大小; (3)若 a ? 2 , m 是给定的正整数.先按如下方法构造项数为 2m 的数列 {bn } :当
n ? 1, 2,? ,m 时, bn ? b2m?n?1 ;当 n ? m ? 1,m ? 2, ? m 时, bn ? an an ?1 ,求数列的前 ,2

n 项的和 Tn .

6

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答. ...... A. (选修4-1:几何证明选讲)从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD .从 点 A 作弦 AE 平行于 CD ,连结 BE 交 CD 于 F .求证: BE 平分 CD .

B. (选修4-2:矩阵与变换)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸 长到 3 倍的伸压变换. 求逆矩阵 M ?1 以及椭圆 方程.

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的 4 9

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos(? ? ) .以极点 3 为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方
7

?

程是: ? ?

?

2 t ? 3, ,求直线 l 2 (t 为参数) ? ? y ? 2 t ? 3, ? ? 2 x?

与曲线 C 相交弦的弦长.

D. (选修4-5:不等式选讲)设 x、y 均为正实数,且

1 1 1 ? ? ,求 xy 的最小值. 2? x 2? y 3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C.已知小球从每个叉口落入 左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落
3 到 A、 B、 C ,则分别设为 1、2、 等奖.

(1) 已 知 获得 1, 2, 3 等 奖 的 折 扣率 分 别 为 50%, 70%, 90% . 记 随 机变 量 ? 为 获 得

k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E (? ) ;
(2)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量 ? 为获得 1 等奖或 2 等 奖的人次,求 P(? ? 2) .

8

23.已知集合 A ? {x | x2 ? a ?| a ? 1| x, a ? R} . (1)求 A ; (2)若以 a 为首项, a 为公比的等比数列前 n 项和记为 Sn ,对于任意的 n ? N? ,均有
Sn ? A ,求 a 的取值范围.

9


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