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空间向量基本定理3


云亭中学

高海江

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复习 1、共线向量定理 、
对空间任意两个向量 a, b(a ≠ 0), b与a共线的

充要条件是存在实数 λ , 使 b = λ a.

2、共面向量定理 、
如果两个向量a、b不共线,则向

量p与向量 不共线,则向量 与向量 与向量a、 如果两个向量 不共线 b共面的充要条件是存在实数组(x,y),使得 共面的充要条件是存在实数组( 共面的充要条件是存在实数组 使得

p=xa+yb. .

复习 3、平面向量基本定理 、 如果e 如果 1、e2是同一平面内的两个不共线 向量, 向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1、λ2,使 ,有且只有一对实数λ
a =λ1e1+λ2e2

我们把不共线的两个向量e 我们把不共线的两个向量 1、e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底 基底. 平面内所有向量的一组基底 这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 这表明 不共线向量来线性表示 线性表示. 线性表示

问题 情境

在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢 在空间向量中 我们还可以作怎样的推广呢? 我们还可以作怎样的推广呢 即空间任一向量能用三个不共面的向量来 线性表示吗? 线性表示吗
平面向量基本定理: 平面向量基本定理 如果e 是同一平面内的两个不共线向量, 如果 1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那 么对于这一平面内的任一向量a, 么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对 实数λ1、λ2,使 a =λ1e1+λ2e2 实数 通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量 基本定理呢? 基本定理呢

建构数学: 建构数学
空间向量基本定理: 空间向量基本定理
如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面, 那么对空间任一 不共面, 向量 p,存在惟一 的有序实数组 ( x, y, z ),使

p = x e1 + y e 2 + z e 3

z O x

y

空间向量基本定理: 空间向量基本定理
不共面, 如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面, 那么对空间任一向量 p,存在唯一 的有序实数组 ( x, y, z ),使

p = x e1 + y e 2 + z e 3

证明:( )先证存在性 证明 (1)先证存在性

e e 是三个不共面的向量, 设 e1,2,3 是三个不共面的向量, 过空间一点 O作OA = e1,

OB = e2, = e3, = p, OC OP 过点P作直线 作直线PP’∥OC,交平面 于点P’; 过点 作直线 ∥ ,交平面OAB于点 ; 于点 在平面OAB内,过点 作直线 在平面 内 过点P’作直线 P P’A’∥OB,P’B’∥OA,分别 ∥ , ∥ , C O 交直线OA,OB于点 ,B’。 于点A’, 。 交直线 , 于点



(2)再证惟一性 )再证惟一性
A’

B A P’

B’

用反证法

建构数学
空间向量基本定理: 空间向量基本定理
不共面, 如果三个向量 e1 , e2 , e3不共面, 那么对空间任一向量 p,存在唯一 的有序实数组 ( x, y, z ),使 p = x e1 + y e 2 + z e 3

{e1 , e2 , e3} — 基底
()、1 , e2 , e3 不共面 1 e

e1 , e2 , e3 — 基向量
1 广 泛 法

强调: 强调:对于基底{e1 , e2 , e3 }
3 e ()、1 , e2 , e3中能否有 0?

(2)、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 我

(4) 基底指一个向量组,基向量是指基底中的某一个向量, 基底指一个向量组,基向量是指基底中的某一个向量, 经 二者是相关联的不同概念。 二者是相关联的不同概念。
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直 那么这个基底叫 正交基底. 正交基底 特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为 特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时 称为 单位正交基底, 单位正交基底,通常用 i , j , k

{

}

建构数学: 建构数学
推论:设 O 、 A 、 B 、 C 是不共面的四点, 则对空间任一点 P ,都存在唯一的有序实 ( x , y, z),使得 OP= x OA+ y OB+ z OC。
推论说明: 推论说明: 1 、可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位 这样, 置。这样,就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组 (x、y、z)之间的关系,从而为空间向量的坐标运算作 、 、 )之间的关系, 准备,也为用向量方法解决几何问题提供了可能。 准备,也为用向量方法解决几何问题提供了可能。 2、推论中若x+y+z=1,则必有 、A、B、C四点共面。 、推论中若 四点共面。 ,则必有P、 、 、 四点共面

数组

数学运用

是空间的一个基底, 例1、已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,从 a, b, c 中选哪个向量, 中选哪个向量,一定可 以与向量 p = a + b, q = a ? b 构成空间的另一个基底 ?
b共面,这与已知矛盾。 答:向量 c,因为如果 c与a + b a ? b共面,那么c与a,共面,这与已知矛盾。 , 共面,

{

}

练习
1、如果 a , b 与任何向量都不能构成 空间的一个基底, 空间的一个基底, 有什么关系? 则a与b 有什么关系? 共线
2、判断: O , A , B , C 为空间四点,且向量 为空间四点, 判断: 构成空间的一个基底 OA , OB , OC 不 , 那么点 O , A , B , C 有什么关系? 共面 有什么关系?

数学运用 例2、如下图,在正方体 、如下图 在正方体OADB-CA’D’B’中,点E 中点 在正方体 的交点,M是 的交点,试分 是AB与OD的交点 是OD’与CE的交点 试分 与 的交点 与 的交点 别用向量OA,OB,OC 表示向量 表示向量OD’和OM。 别用向量 和 。
B’ D’ C A’

M B E O A D

如图所示, 的六边都相等, 练习3、如图所示,四面体 ABCD的六边都相等, O1、O2 的中心, AC AD 是?BCD和?ACD的中心,以向量 AB, , 为一个 基底, 基底,求 O1O(用基底表示)。 2 用基底表示)。 解:由正三角形的性质知
BO1=2O1E,AO2=2O2E , ∴O1O2∥AB,且O1O2=1/3 AB。 , 。
O2 D O1 E A

{

}

1 ∴ O1O 2 = BA B 3 1 = ? AB + 0 ? AC + 0 ? AD 3

C

2、如图,在空间四边形OABC中,已知 是 、如图,在空间四边形 中 已知E是 BC的中点,G在AE上,且AG=2GE,试用向 的中点, 在 上 的中点 , 表示向量OG。 量OA、OB、OC表示向量 、 、 表示向量 。
1 ∵ 解: OE = (OB + OC ), 2 2 ∴ OG = OA + AG = OA + AE 3 2 = OA + (OE ? OA) 3 O 1 = (OA + OB + OC ) 3
C

E

G B

A

小结: 小结
1、本节课的重点内容是空间向量基本定理及推论. 、本节课的重点内容是空间向量基本定理及推论 2、注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理, 、注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理, 即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和; 即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和; 3、介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不 、介绍了空间向量基本定理的应用。 共面的三个向量作为基向量, 共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指 定的向量,是用向量法解立体几何问题的一项基 定的向量, 本功。 本功。

作业: 作业

1、课后作业: 、课后作业: 就就P76练习第 、2题 练习第1、 题 就就 练习第 2、课外作业: 、课外作业: 学习与评价》第三章第3课时 就《学习与评价》第三章第 课时

谢 谢 光 临 !
江阴市云亭中学

2006.11.28


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