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观察、归纳、猜想


观察、归纳、猜想

一类 :从特殊到一般 通过对给定情
况的观察、 况的观察、分析 ,发现规律 (一)、数量的统计
? 例1、你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅,用 一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸, 再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗 的面条拉成了许多细的面条,如图所示:

第一次捏合

第二次

捏合

第三次捏合

这样捏合到第 7 次后可拉出128根细面条

例2. . 下列每个图是由若干盆花组成的形如三 角形的图案,每条边(抱括两个顶点)有n (n>1)盆花,每个图案花盆的总数是S. 按此规律推断,S与n的关系式是 .

… …
n=2 S=3 n=3 S=6
·····

n=4 S=9

答案: 与 的关系式为 的关系式为3( )。 答案:S与n的关系式为 (n-1)。

例 3. 下面由火柴棒拼出的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成, 通过观察可以发现:

……
(1)第四个图形中火柴棒的根数是 13 ; (2)第n个图形中火柴棒的根数是 3n+1 ;

(二)、归纳等式的变化规律 )、归纳等式的变化规律
例 1. 给出下列算式: 32-12=8=8×1 52-32=16=8×2 72-52=24=8×3 92-72=32=8×4 …… 观察上面一系列等式,你能发现什么规律? 试用含n(n≥1的整数)的等式来表示这个规 律 (2n+1)2- (2n-1)2=8n 。

例2. 研究下列算式,你会发现什么规律? 1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 …… 观察上面一系列等式,你能发现什么规律? 请试用含n(n≥1的整数)的等式将你找出的规律用公式表 示出来:
n(n+2)+1=(n+1)2。 ( )

例3.观察下列算式: ①12-02=1+0=1 ②22-12=2+1=3 ③ 32-22=3+2=5④42-32=4+3=7 …… (1)通过以上的算式,发现了什么规律?用 含n(n≥1的整数)的等式表示出来; (2)用简洁的文字语言表达上述规律。
-(n-1) 解:(1) n2-( )2=n+n-1=2n-1,其中 为 ,其中n为 大于等于1的自然数 的自然数。 大于等于 的自然数。 (2) 相邻两个自然数的平方差等于这两个数 之和. 之和.

例4

序号
1





方程的解 x1=3 x1=4 x1=5 x2=4 x2=6 x2=8

2 3

6 1 ? = 1 x x ? 2 8 1 ? = 1 x x ? 3



10 1 ? = 1 x x ? 4 …



观察上述表中方程的特点,写出这一列方程中第 个 观察上述表中方程的特点,写出这一列方程中第n个 方程和它的解。 方程和它的解。 2n + 4 1 x1=n+2 x2=2n+2 ? =1 答案: x x ? (n + 1)

(三)式的变形
例1. . 观察下列各式: 观察下列各式:

2 2 2+ = 2 3 3 4 4 4+ =4 15 15

3 3 3+ = 3 8 8

(1)按照上述规律猜想 )

5 5+ 24

应等于多少? 应等于多少?

(2)针对上述各式反应的规律,写出用n(n为大 )针对上述各式反应的规律,写出用 ( 为大 于等于2的整数 的整数) 于等于 的整数)表示的等式

答案: 答案:

5 5 5+ =5 24 24

n n n+ 2 =n 2 n ?1 n ?1

例2、观察下列等式 、

1 1 1 = ? 2×3 2 3

2 1 1 = ? 5× 7 5 7

3 1 1 = ? 2×5 2 5

4 1 1 = ? 3× 7 3 7

……
请你用含m 表示上面的变形规律? 请你用含 、k表示上面的变形规律?并利用此规律计算 表示上面的变形规律

1 1 1 1 + + + ...... + 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101
k 1 1 = ? 解: m( m + k ) m m + k

1 1 1 1 + + + ...... + 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101 1 2 2 2 2 = ( + + + ...... + ) 2 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? + ? + ? + ...... + ? ) 2 3 3 5 5 7 99 101 1 1 = (1 ? ) 2 101 50 = 101

例3、观察 2 = 9 = 4 + 5 则有 32 + 42 = 52 、观察3 52 = 25 = 12 + 13 则有 2 + 122 = 132 则有5 72 = 49 = 24 + 25 则有 2 + 242 = 252 则有7 ······ 请你用含n 的整数)的等式表示此规律 请你用含 (n≥1的整数 的等式表示此规律? 的整数 的等式表示此规律?

解:(2n+1)2=(2n2+2n)+(2n2+2n+1) 则有( 则有(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2

例4、在△ABC 中,D为BC边的中点,E为AC边上的任 、 △ 意一点,AD交BE于点O.某学生在研究问题时,发现了 如下的事实: AE 1 1 AO 2 2 = = = = 当 时,有 (如图1) AC 2 1 + 1 AD 3 2 + 1 AO 2 2 AE 1 1 = = = = 当 时,有 (如图2) AD 4 2 + 2 AC 3 1 + 2 AO 2 2 1 AE 1 = = = = 当 时,有 (如图3) 下一页 AD 5 2 + 3 AC 4 1 + 3
A O A E A E O B 图3

O B D 图1

E C B 图2 D

C

D

C

AE 1 在图4中,依照上述研究结论,当 = 时, AC 1 + n
AO 请你猜想用n表示 AD 数).
的一般结论,(其中n是正整
A E

AO 2 解: = AD 2 + n

O

B

D 图4

C

上一页

例5. 观察下列各式,你会发现什么规律? 观察下列各式,你会发现什么规律? 1×3=3, 而 3=22-1 × , 3×5=15,而15=42-1 × , 5×7=35,而35=62-1 × , 7×9=63,而63=82-1 × , …… …… 13×15=195, 13×15=195,而195=142-1 …… …… 将你猜想到的规律用含n(n≥1的整数 的等式表示出来 的整数)的等式表示出来 将你猜想到的规律用含 的整数 )(2n+1)=(2n)2-1,其中 是大于 的 是大于1的 解:(2n-1)( :( )( ) ( ) ,其中n是大于 自然数. 自然数. 或者n( 表示奇数. 或者 (n+2)=(n+1)2-1,其中 表示奇数. ) ( ) ,其中n表示奇数

例6 观察下列等式: 观察下列等式: 13=12; 13+23=32; 13+23+33=62; 13+23+33+43=102;… 想一想等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有 什么关系? 什么关系? 猜一猜可以引出什么规律, 猜一猜可以引出什么规律,并把这种规律用等 式表示出来. 式表示出来. 为自然数) 解:13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2 (n为自然数 为自然数

(四)其它
1 2 3 4 试猜想第5 例1、 已知数据 、 、 、 、 、······试猜想第 试猜想第 3 5 7 9

个数与第n个数( 是正整数),分别是 是正整数), 个数与第 个数(n是正整数),分别是 个数



n 答案: 5 答案: ( ) 2 11 , n + 1

练习2、 练习 、观察下面一列数的规律 并填空: , , , , 并填空:0,3, 8,15, 24,······,则它的第 , ,则它的第2002个数 个数 是 。
答案:( 答案:

2002

)

2

?1

二类: 二类: 由一般联想到特殊
例1 、n条直线最多有几个交点? 解: ……

2条直线 条直线 1个交点 个交点

2条直线 条直线 1+2=3个交点 个交点

4条直线 条直线 1+2+3=6个交点 个交点

n条直线最多有1+2+3+4+···+(n-1)个交点

条射线, 例2、 从一个锐角的顶点向锐角的内部作 条射线,共 、 从一个锐角的顶点向锐角的内部作n条射线 形成多少个角? 形成多少个角? 解:

···

······
0条射线 条射线 1个角 个角 1条射线 条射线 1+2个角 个角 2条射线 条射线 1+2+3个角 个角

n条射线共组成 条射线共组成1+2+······+(n+1)个角 条射线共组成 ( )

练习 : 1、 n个点可以产生多少条线段? 2、比较20002001和20012000的大小?


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