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正切函数的图像与性质讲课教案正稿


4.10 正切函数的图像和性质
【教学目标】 一、知识目标:掌握正切函数的性质,认识并会画正切函数的的简图. 二、能力目标:让学生亲身经历数学研究的过程,学会应用类比推理 与数形结合的思想处理问题. 三、情感目标:通过学生自主探究小组合作交流的过程体检探索的乐 趣,增强团队意识,增强学习数学的兴趣. 【教学重点难点】 教学重点:正切函数的图象及其主要性质。 教学难点:画

正切函数的简图。 【教法与教具】 一、教法:教师启发讲授,学生积极探究 二、教具:多媒体课件、直尺 【教材分析】本节内容是高中数学第一册下第四章第十节的内容。它前承正 弦余弦函数的图象和性质,后启已知三角函数值求角的问题. 【授课类型】新授课 【课时安排】1 课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 就我们前面所学的内容中,完成下列表格 y=sinx y=cosx 三角函数 y=tanx 定义域 R R
x ? k? ?

?
2

,k ?Z

值域 周期性及周期 奇偶性 单调性

[-1,1] 2? 奇
[?

[-1,1] 2? 偶

R

?


?

2 2 k ? z , 单增

? 2k? ,

?

? 2k? ],

[ ?? ? 2k? ,2k? ], k ? z , 单增 [ 2k? ,2k? ? ? ], k ? z , 单减

(-

?

[

3? ? 2k? ], 2 2 k ? z , 单减 ? 2k? ,

?

2 2 k ? z , 单增

? k? ,

?

? k? )

(设计意图:①通过复习确定本节课的一个基调:类比学习;②通过此问题来 复习我们已经研究过的正余弦函数的性质;③通过比较让学生了解正切与 正余弦的区别,在画图像的时候注意区别)

三、讲授新课
问题 1:在以前学习函数时我们常用数形结合的方式来研究,今天研究正切函数

也不例外,也要让同学们用数形结合的方法, 所以请同学思考我们之前 用什么样的方式得到正余弦函数的图像的?我们的正切函数可以用类似 的方法来画吗? 利用单位圆内的正弦线,得到在一个周期,即[0,2 ? ]内的图象,再利用 周期性得到在定义域内的图象。正切函数可以用类似的方法来画,用单位 圆内的正切线。
问题 2:(1)那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

(设计意图:因为在作图时必须用正切线的知识,所以在此做一个相应 的准备工作,顺应学生的思维在知识链接处提问)

正切线是 AT. (2)在作正切函数的图象之前我们先做以下准备:

<1> 函数 y ? tan x 的定义域是什么?
{ x | x ? k? ? } ? k ? z ? 2

?

说明:其图象不是连续的,被直线 x ? <2> 化简: tan ? x ? ? ? ; tan(? x) . 解答: tan ? x ? ? ? ?

?
2

? k? , k ? Z (画虚线)隔开。

cos ? x ? ? ?

sin ? x ? ? ?

?

? sin x ? cos x

? ? ? ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ?
tan(? x) ? ? tan x

由周期函数的定义可知 y ? tan x 的周期是 T ? ? 。
? ? ?? 说明:由 1、2,我们可以先作出正切函数在在 ? ? , ? 的图象然后借助周 ? 2 2?

期性作出整个定义域的图象。

问题 3:请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。

方案:第一步:画出正切函数的在一个周期内的图象;

第二步:将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去;

第三步:学习画正切函数的简图并总结方法。 第四步:教师用投影仪展示作图结果,学生之间相互评价,指出优点和不足 之处,并鼓励学生阐述自己的观点。教师直接在投影仪上纠正学生 错误的图像; 第五步:根据图象总结性质。

? ? ? (1)定义域: ? x | x ? ? k? , k ? z ? , 2 ? ?
(2)值域:R
? ? ?? 观察:对 ? ? , ? 这个区间进行观察。 ? 2 2?

(3)周期性: T ? ? 归纳:一般地,形如 y ? A tan(? x ? ? ) ? C 的周期是 T ? (4)奇偶性:奇函数
王新敞
奎屯 新疆

2? . |? |

原因: tan?? x ? ? ? tan x

? ? ? ? (5)单调性:在每一个开区间 ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单 2 ? 2 ?
调递增 四、例题分析

?? ? 例 1.讨论函数 y ? tan? x ? ? 的性质 4? ?
解析:考察正切函数图像,该图像可通过正切函数图像向左平移

? 单位得到 4

? ? ? 解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? , k ? z ? 值域:R 4 ? ?
3? ?? ? 单调性:在 ? k? ? , k? ? ? 上是增函数 4 4? ?

奇偶性:非奇非偶函数

点评:本题考察了图像的平移变换,培养学生的作图能力与通过图像观察性 质的能力 五、课堂练习
P72,2,3

六、 小结: 这节课主要学习了正切函数的图象性质,以后我们一定要能够熟练画出其图象,
下面结合图象回答正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、是什么?

七、作业: P72, 4, 5,6 八、板书设计


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