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福建省厦门市2013-2014学年高二数学下学期期末质检试题


厦门市 2013~2014 学年(下)高二质量检测 数学(理科)试卷
试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分,满分 150 分 考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题: 本题共 10 个小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的. 在 答题卷上相应题目的答题区域内作答. 1.若 p

? 5 ? 3 , q ? 6 ? 2 ,则 p, q 的大小关系为( A. p ? q B. p ? q C. p ? q )B D.无法确定

2. 某同学做了如下推理, : “因为 f ?( x0 ) ? 0 , 所以 x ? x0 是 f ( x) 的极值点, 而函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数为 0, 所以 x ? 0 是 f ( x) ? x3 的极值点” ( )A B.这个推理是错误的,因为小前提错误 D.这个推理是正确的 )

A.这个推理是错误的,因为大前提错误 C.这个推理是错误的,因为推理形式错误

3. 已知随机变量 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,X 的取值落在区间 (0,3) 内的概率和落在区间 (5,8) 内的概率相等, 则 ? 等于 ( C A.0 B.3 C.4 D.5

4.抛物线 E : y ? x 2 ? 1 ,四边形 OBCD 为矩形,点 B(1,0) ,点 C 在抛物线 E 上,如图所示,阴影部分的面积等于 ( )C A.

2 3
y

B.1

C.

4 3

D.

3 2

D

C

O

B

x

5.设 f ( x) ? a cos 4 x( x ? R) ,若曲线 y ? f ( x) 在点 (

A. ? 8 B.8 6. 某校研究性学习小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系, 用简单随机抽样从高二年级中抽取 20 名学 生某次的期末考试作为样本,得到下面 2 ? 2 列联表: 数学成绩优秀 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 5 1 6 数学成绩不优秀 2 12 14 合计 7 13 20
1

, f ( )) 处的切线的斜率等于 ? 8 ,则实数 a 等于( 8 8 C. ? 2 D.2

?

?

)D

求得 K ? 8.802,由临界值表插得 P( K 2 ? 7.879) ? 0.005, P( K 2 ? 10.828 ) ? 0.001.以下说法正确的是(
2



C A.在犯错误的概率不超过 0.5% 的前提下,认为“数学成绩优秀与物理成绩优秀之间无关” B.在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为“数学成绩优秀与物理成绩优秀之间无关” C.有 99 .5% 把握认为“数学成绩优秀与物理成绩优秀之间有关” D.有 99 .9% 把握认为“数学成绩优秀与物理成绩优秀之间有关” 7.一城市某区域的街道如图所示,某人从 A 地前往 B 地,要求只能沿街道向下或者向右走,满足条件的不同走法共 有( )

A

B
A.8 种 B.10 种 C.12 种 D.32 种 )

2 8.已知函数 f ( x) ? x ? m ln x ? 在 [1,4] 上单调递增,则实数 m 的取值范围是( x 7 7 A. ? ? m ? 1 B. m ? 1 C. m ? ? 或 m ? 1 D. m ? 1 2 2

9.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门,首次到达此门,系统会随机为你打开一个通道,若 是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门,再次到达智 能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止,走出迷宫所需的时间不可能是( ) A.1 小时 B.4 小时 C.5 小时 D.6 小时 10.方程 e x ? x3 ? 2 x 2 ? (e ?1) x (其中 e 为自然对数的底数)的不同实根的个数为( A.0 B.1 )

C.2 D.3 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 11.函数 y ? x3 ? 6 x 2 ? 1 的单调递减区间为 12.某学生邀请 9 位同学中的 5 位参加一项活动,其中甲、乙、丙三位同学要么都邀请,要么都不邀请,共有 不同的邀请方法 13.化简: ( x ? 1)4 ? 4( x ? 1)3 ? 6( x ? 1) 2 ? 4( x ? 1) ? 14.一个袋中装有 3 个红球和 4 个白球,一次摸出 2 个球,在已知它们颜色相同的条件下,该颜色是白色的概率为 15.已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,其导函数为 f ?( x ) ,若 种

?

3

0

[ f ( x) ? xf ?( x)]dx ? 27 ,则 ? f ?( x)dx ?
0

3

16.在 2014 年巴西世界杯足球赛中,某小组共有 A, B, C , D 四支球队,在单循环赛中(每两支球队只比赛一场) ,每 场比赛获胜队得 3 分,平局各得一分,负者得 0 分. 现对比赛得分有如下几种预测: A队 预测① 预测② 预测③ 3 5 9 B队 3 4 9 C队 3 4 0 D队 3 4 0
2

预测④

7

3

1

5

其中不可能发生的预测有 (写出序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答 题区域内作答. 17. (本小题满分 12 分) 已知 z 是复数,复数 ? ? z 2 ? (3 ? i) z ? 2m ? 7i(m ? R) . (Ⅰ)当 m ? ?3, z ? i 时,求 ? 的值; (Ⅱ)若 z ? 1 ? mi ,证明:复数 ? 在复平面内对应的点不可能在第一象限. 解: (II)? z ? 1 ? mi ,∴ w ? ?m 2 ? 3m ? 4 ? (5m ? 6)i ? ?(m ? 4)(m ? 1) ? (5m ? 6)i .

6 时,复数的实部小于 0,虚部大于 0,即复数 w 所对应的点在第Ⅱ象限; 5 6 当 1 ? m ? 时,复数的实部小于 0,虚部小于 0,即复数 w 所对应的点在第Ⅲ象限; 5 当 ? 4 ? m ? 1 时,复数的实部大于 0,虚部小于 0,即复数 w 所对应的点在第Ⅳ象限; 当 m ? ?4 时,复数的实部小于 0,虚部小于 0,即复数 w 所对应的点在第Ⅲ象限; 6 当 m ? ,或 1 或-4 时, 复数 w 所对应的点在坐标轴上. 5
当m ? 综上: 复数 w 在复平面内对应的点不可能在第一象限.

18. (本小题满分 12 分) 定 义 : 由 n 个 有 顺 序 的 数 x1 , x2 , x3 ,?, xn 所 组 成 的 有 序 数 组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 称 为 n 维 向 量 , 记 作
2 2 2 ? x3 ? ? ? xn . a ? ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) ,它的模 | a |? x12 ? x2

已知 | a |? 1 ,分别解答下列问题: (Ⅰ)当 n ? 2 时,求证: x1 ? x2 ?

2;

(Ⅱ)当 n ? 3 时,比较 x1 ? x2 ? x3 与 3 的大小,并加以证明;据此写出一个一般性的结论(无需证明) . 解: (I)方法 1.向量法:设 b ? (1,1) ,则 x1 ? x2 ? a ? b ? a ? b ? 方 法 2 . 三 角 代 换 法 : 当

2;

n=2 时 , 由 | a | =1 得 x12 +x2 2 ? 1 设 x1 ? cos? , x2 ? sin ? , 则

x1 ? x 2 ? c o?s? s i ?n ? 2 s i ? n? ( )? 2; 4
2 2 方法 3.几何法:当 n=2 时,由 | a | =1 得 x12 +x2 2 ? 1,则点 ( x1 , x2 ) 落在圆 O: x ? y ? 1 上,当平行直线 x ? y ? t 与

?

圆 O 有公共点时,圆心 O 到直线距离 d ?

?t 2

? 1 ? ? 2 ? t ? 2 ,即 x1+x2 ? 2 .
3

19. (本小题满分 12 分) 已知第 24 届至第 28 届奥运会转播费收入的相关数据(取整处理)如下表所示: 届数 x 收入 y (单位: 亿美元) 24 4 25 6 26 9 27 13 28 15

? ? 2.9 x ? 66 . 由最小二乘法可求得线性回归方程 y
(Ⅰ)根据此回归方程预报第 29 届北京奥运会转播费收入;据查北京奥运会转播费实际收入为 17.2 亿美元,请解释 预报值与实际值之间产生差异的原因; (Ⅱ)利用该回归方程已求得第 24 届至第 28 届奥运会的转播费收入的预报值分别为 3.6,6.5,9.4,12.3,15.2 .问届数 能在多大程度上解释转播费收入的变化. 参考数据: 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.7 ? 0.2 ? 1.1 ;
2 2 2 2 2

5.42 ? 3.42 ? 0.42 ? 3.62 ? 5.62 ? 85.2 .

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?

2 ? 1 ,直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在点 N ( x0 , f ( x0 )) 处的切线. x

(Ⅰ)若 x0 ? 1 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若 x0 ? 0 ,记直线 l 与 x 轴、 y 轴围成的三角形面积为 S ,求 S 的最大值.

2 , x2 所以直线 l 的斜率 k ? f '(1) ? 1 ? 2 ? 3 , 又 f (1) ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ,所以切点坐标为 N (1, 0) , 所以直线 l 的方程为: y ? 0 ? 3( x ? 1) ,即 y ? 3x ? 3 .
(Ⅰ) :依题意, f '( x ) ? 1 ? 题(Ⅱ) : 解法 1(导数法) : 直线 l 的方程为: y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ,

2 2 ? 1 , f '( x0 ) ? 1 ? 2 , x0 x0 2 2 代入直线 l 方程得: y ? ( x0 ? ? 1) ? (1 ? 2 )( x ? x0 ) , x0 x0 2 4 整理得 y ? (1 ? 2 ) x ? ?1, x0 x0 x ?4 令 x ? 0 ,得纵截距 y ? 0 , x0
又 f ( x0 ) ? x0 ?
4

令 y ? 0 ,得横截距 x ? 所以所求面积 S ? 记 g ( x) ?

x0 (4 ? x0 ) , 2 x0 ?2

1 x0 (4 ? x0 ) x0 ? 4 1 ( x0 ? 4) 2 ? ? ? ? 2 2 2 x0 ?2 x0 2 x0 ? 2

( x ? 4)2 ( x ? 0) , x2 ? 2 2( x ? 4)( x 2 ? 2) ? ( x ? 4)2 ? 2 x 4( x ? 4)(2 x ? 1) 则 g '( x) ? ? ( x 2 ? 2)2 ( x2 ? 2)2 当 x ? 0 时, g '( x), g ( x) 的变化情况如下: 1 1 x (??, ? ) ? 2 2 g '( x ) 0 ? g ( x) ↗ 极大值
所以 g ( x) max ? g ( ? ) ? 9 ,所以 S max ? 即所求三角形面积的最大值为

1 (? , 0) 2 ?


1 2

1 1 9 ? g (? ) ? , 2 2 2

9 . 2

21. (本小题满分 13 分) 某地区汽车限行规定如下: 车尾号 限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9 星期五

该地区某行政单位有车牌尾号为 6 的汽车 A 和尾号为 9 的汽车 B ,在非限行日, A 车日出车频率为 p , B 车日 出车频率为 q ,周六、周日和限行日停止用车.现将汽车日出车频率视为日出车概率,且 A, B 两车是否出车相 互独立. (Ⅰ)若 p ? 0.8 ,求汽车 A 在同一周内恰有两天连续出车的概率; (Ⅱ)若 p ? [0.4,0.8] ,且两车的日出车频率之和为 1.为实现节能减排与绿色出行,应如何调控两车的日出车频率, 使得一周内汽车 A, B 同日出车的平均天数最少. 解: (Ⅱ) 小题求平均天数的期望值时, 先求得 A,B 两车同日出车的概率 t ? pq ??0.16,0.25? , 进而再求得 E ?? ? ? 3 pq 取到最小值 0.48 .

5

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln(x ? 1) , g n ( x) ? x ?

x 2 x3 xn ? ? ? ? (?1) n ?1 , (n ? N * ) . 2 3 n

(Ⅰ)设 h( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ,求 h( x) 的最大值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,比较 f ( x) 与 g2 ( x) 的大小,并加以证明; (Ⅲ)比较 ln 2 与 g n (1) 的大小,并说明理由.

6


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