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江苏省盐城市滨海县八滩中学2015届高三上学期期中考试模拟数学试卷


2014-2015 学年江苏省盐城市滨海县八滩中学高三(上)期中数 学模拟试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.集合 A={1,2},B={2,3},则 A∪B= . 2.命题 p:? x∈R,x +1>0 的否定是
2



3.函数 y=

的定义域是

r />


4.函数 f(x)=cosx(sinx+cosx) (x∈R)的最小正周期是

. .

5. 若f (x) 是 R 上周期为 5 的奇函数, 且满足 f (1) =1, f (2) =2, 则f (3) ﹣f (4) =

6.函数

的单调递减区间为



7.设命题 p:α=

;命题 q:sinα= ,那么 p 是 q 的

条件(选填“充分不

必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) . 8.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S11=35+S6,则 S17 的值为 .

9.设向量 与 的夹角为θ,



,则 sinθ=



10.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=2, = .



,若

,则

11.设函数 f(x)的导函数 f′(x)=x ﹣3x+2,则 f(x)的极值点是

3



12.已知函数 f(x)=

,若函数 g(x)=f(x)+k 有三个零点,则 k 的

取值范围是



13.设等差数列{an}的首项及公差均是正整数,前 n 项和为 Sn,且 a1>1,a4>6,S3≤12 则 a2014= . 14.已知 x,y,z∈R,且 x+y+z=1,x +y +z =3,则 xyz 的最大值是
2 2 2



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.已知 , , .

(1)若 ∥ ,求 tanα的值; (2)若 ? = ,求 的值.

16.已知集合 A={y|y=﹣2 ,x∈[2,3]},B={x|x +3x﹣a ﹣3a>0}. (1)当 a=4 时,求 A∩B; (2)若 A? B,求实数 a 的取值范围. 17.已知 (I)求 f(x)在[0,π]上的最小值; (II)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边, 求边 a 的长. 18.如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距离分别为 9m,3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF,MN:NE=16:9.线 段 MN 必须过点 P,端点 M,N 分别在边 AD,AB 上,设 AN=x(m) ,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 为 S(m ) . (1)用 x 的代数式表示 AM; (2)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域; (3)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?
2

x

2

2



,且 f(B)=1,

19.已知数列{an}的通项公式为 an=2+ (1)求数列{an}的最大项; (2)设 bn=

(n∈N ) .

*

,试确定实常数 p,使得{bn}为等比数列;
*

(3)设 m,n,p∈N ,m<n<p,问:数列{an}中是否存在三项 am,an,ap,使数列 am,an, ap 是等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,说明理由. 20.已知函数 f(x)=x +x ﹣ax(a∈R) . (1)当 a=0 时,求与直线 x﹣y﹣10=0 平行,且与曲线 y=f(x)相切的直线的方程; (2)求函数 g(x)= ﹣alnx(x>1)的单调递增区间;
3 2

(3)如果存在 a∈[3,9],使函数 h(x)=f(x)+f′(x) (x∈[﹣3,b])在 x=﹣3 处取 得最大值,试求 b 的最大值.

2014-2015 学年江苏省盐城市滨海县八滩中学高三(上) 期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.集合 A={1,2},B={2,3},则 A∪B= {1,2,3} . 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由集合 A 与 B,求出两集合的并集即可. 解答: 解:∵A={1,2},B={2,3}, ∴A∪B={1,2,3}. 故答案为:{1,2,3} 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2.命题 p:? x∈R,x +1>0 的否定是 ? x∈R,x +1≤0 . 考点: 命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 本题中的命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,由规则写出否定命题即可 解答: 解:∵命题“? x∈R,x +1>0” 2 2 ∴命题“? x∈R,x +1>0”的否定是“? x∈R,x +1≤0” 2 故答案为:? x∈R,x +1≤0. 点评: 本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法,其规则 是全称命题的否定是特称命题,书写时注意量词的变化.
2 2 2

3.函数 y=

的定义域是 {x|x>2 且 x≠3} .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分式的分母不等于 0,对数的真数大于 0 联立不等式组求解 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 ,解得:x>2 且 x≠3.

∴函数 y=

的定义域是{x|x>2 且 x≠3}.

故答案为:{x|x>2 且 x≠3}. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,是基础的计算题.

4.函数 f(x)=cosx(sinx+cosx) (x∈R)的最小正周期是 π . 考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求 法. 专题: 计算题. 分析: 把函数解析式利用单项式乘以多项式的法则计算,然后分别利用二倍角的正弦及余 弦函数公式化简, 再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正 弦函数,找出ω的值,代入周期公式 T= 解答: 解:f(x)=cosx(sinx+cosx) =cosxsinx+cos x = sin2x+ (cos2x+1) = sin(2x+ )+ , =π.
2

即可求出函数的最小正周期.

∵ω=2,∴T=

故答案为:π 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,涉及的知识有:二倍角的正弦、余弦函数 公式,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,其中利用三角函数的恒等变 形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键. 5.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)﹣f(4)= ﹣1 . 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题: 计算题. 分析: 利用函数奇偶性以及周期性,将 3 或 4 的函数值问题转化为 1 或 2 的函数值问题求 解即可. 解答: 解:∵若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x+5)=f(x) , ∴f(3)=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2, f(4)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1, ∴f(3)﹣f(4)=﹣2﹣(﹣1)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查函数奇偶性的应用,奇(偶)函数的定义:一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x)=﹣f(x) ) (或 f(﹣x)=f(x) ) ,那么函数 f(x) 是奇(偶)函数.

6.函数

的单调递减区间为 (0,1] .

考点: 利用导数研究函数的单调性.

专题: 计算题. 分析:根据题意, 先求函数 的定义域, 进而求得其导数, 即 y′=x﹣ = ,

令其导数小于等于 0,可得 解答: 解:对于函数

≤0,结合函数的定义域,解可得答案. ,易得其定义域为{x|x>0},

y′=x﹣ =





≤0,

又由 x>0,则 解可得 0<x≤1, 即函数

≤0?x ﹣1≤0,且 x>0;

2

的单调递减区间为(0,1],

故答案为(0,1] 点评: 本题考查利用导数求函数的单调区间,注意首先应求函数的定义域.

7.设命题 p:α=

;命题 q:sinα= ,那么 p 是 q 的 充分不必要 条件(选填“充分

不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若α= 若α= ,则 sinα=sin = 成立,即充分性成立, 不成立,即必要性不成立,

,满足 sinα= ,但α=

故 p 是 q 的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要条件 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件判断,比较基础. 8.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S11=35+S6,则 S17 的值为 119 . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题.

分析: 由 S11=35+S6 可得 S11﹣S6=35 即 a7+a8+a9+a10+a11=35,由等差数列的性质可得,5a9=35 从而可得 a9=7 代入等差数列的和公式 解答: 解:∵S11=35+S6∴S11﹣S6=35 即 a7+a8+a9+a10+a11=35 由等差数列的性质可得,5a9=35∴a9=7 ∴ 故答案为 119 点评: 本题主要考查了等差数列的性质(若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq)的应用,还考查了 等差数列的前 n 项和公式 的应用. = 可求

9.设向量 与 的夹角为θ,



,则 sinθ=



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,易得 的坐标,进而由向量模的计算可得 、 的模,再根据向量的数量 积的计算,可得 cosθ,最后由同角三角函数基本关系式,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,由 可得, = [( +3 )﹣ ]=(1,1) , 则| |= cosθ= 则 sinθ= ,| |= = , , = . , ,

点评: 本题考查向量的数量积的运算与运用,要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来 求出向量的模和夹角.

10.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=2, .



,若

,则

=

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 以 BC 的中点 O 为原点,建立如图所示直角坐标系,可得 B(﹣1,0) ,C(1,0) .设 A(0,m) ,从而算出向量 解出 m=2.由此算出 的坐标关于 m 的式子,由 的坐标,从而可得 的值. 建立关于 m 的方程,

解答: 解:以 BC 的中点 O 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,如图所示. 则 B(﹣1,0) ,C(1,0) , 设 A(0,m) ,由题意得 D( , ∴ ∵ ∴ ×1+ =( , ) , , ×(﹣m)=﹣ ,解之得 m=2(负值舍去) , ) , =(﹣ , ) , =(﹣1,﹣2) ) ,E( , ) ,

=(1,﹣m) ,

由此可得 E( ∴

=﹣ ×(﹣1)+ ×(﹣2)=﹣ .

故答案为:﹣

点评: 本题给出等腰三角形的底面长,在已知两个向量的数量积的情况下求另外向量的数 量积.着重考查了等腰三角形的性质、向量的数量积公式和向量的坐标运算等知识,属于中 档题.

11.设函数 f(x)的导函数 f′(x)=x ﹣3x+2,则 f(x)的极值点是 ﹣2 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 直接利用导函数为 0,求出方程的解,判断是否是极值点即可. 解答: 解:函数 f(x)的导函数 f′(x)=x ﹣3x+2, 3 令 x ﹣3x+2=0, 2 即(x+2) (x ﹣2x+1)=0, 解得 x=﹣2 或 x=1,
3

3



当 x<﹣2 时,f′(x)=x ﹣3x+2<0,1>x>﹣2 时,f′(x)=x ﹣3x+2>0,x=﹣2 是函 数的极值点. 当 x>1 时,f′(x)=x ﹣3x+2>0,x=1 不是函数的极值点. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查函数的极值点的求法与判断,是易错题,求解方程的根后,必须验证方程 的根是否是函数的极值点.
3

3

3

12.已知函数 f(x)=

,若函数 g(x)=f(x)+k 有三个零点,则 k 的

取值范围是 (

,0) .

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用数形结合的思想,若函数 g(x)=f(x)+k 有三个零点,也就是 f(x)=g(x) ﹣k,即 y=﹣k 与 f(x)有三个交点,只要求出 f(x)的最小值即可. 解答: 解:如图所示,∵f(x)= (x≥0)

∴ 令 f′(x)=0, 则 x=1, 当 0≤x<1 时,f′(x)>0,函数 f(x)为单调递增函数, 当 x>1 时,f′(x)<0,函数 f(x)为单调递减函数, ∴当 x=1 时,函数 f(x)有最大值,最大值为 f(1)= , ∴﹣k= 即 k= , ,0)

∴k 的取值范围是(

点评: 本题考查了函数零点的问题,利用数形结合的思想,转化为求函数的最值问题,属 于中档题. 13.设等差数列{an}的首项及公差均是正整数,前 n 项和为 Sn,且 a1>1,a4>6,S3≤12 则 a2014= 4028 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式,由 a1>1,a4>6,S3≤12,得到 an=2n, 由此能够求出 a2014. 解答: 解:由题意可得设 an=a1+(n﹣1)d,则 Sn=na1+ d,

由 a1>1,a4>6,S3≤12,得 a1+3d>6,3a1+3d≤12, 解得 6﹣3d<a1≤12﹣d, 因为首项及公差均是正整数,所以 a1=2,d=2 所以 an=2n,a2014=4028. 故答案为:4028. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,由首项及公差均是正整数得 出等差数列的通项是解决问题的关键,属基础题.
2 2 2

14.已知 x,y,z∈R,且 x+y+z=1,x +y +z =3,则 xyz 的最大值是



考点: 平均值不等式在函数极值中的应用. 专题: 综合题. 分析: 由条件可得 xy+yz+xz=﹣1,利用 x+y+z=1,可得 xyz=z ﹣z ﹣z,利用导数的方法, 可求 xyz 的最大值. 解答: 解:∵x+y+z=1①,x +y +z =3② 2 ∴① ﹣②可得:xy+yz+xz=﹣1 ∴xy+z(x+y)=﹣1 ∵x+y+z=1, ∴x+y=1﹣z
2 2 2 3 2

∴xy=﹣1﹣z(x+y)=﹣1﹣z(1﹣z)=z ﹣z﹣1 ∵x +y =3﹣z ≥2xy=2(z ﹣z﹣1)? 3z ﹣2z﹣5≤0? ﹣1≤z≤ 令 f(z)=xyz=z ﹣z ﹣z,则 f′(z)=3z ﹣2z﹣1=(z﹣1) (3z+1) 令 f′(z)>0,可得 z>1 或 z< ,
3 2 2 2 2 2 2 2

2

∴f(z)在区间[﹣1,﹣ ]单调递增,在[﹣ ,1]单调递减,在[1, ]单调递增, 当 z=﹣ 时,xyz 的值为 ∴xyz 的最大值为 故答案为: . . ,当 z= 时,xyz 的值为 ,

点评: 本题考查最值问题,考查导数知识的运用,解题的关键是正确转化,从而利用导数 进行求解. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.已知 , , .

(1)若 ∥ ,求 tanα的值; (2)若 ? = ,求 的值.

考点: 平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: (1)利用 2 个向量共线的条件求出 tanα的值; (2)利用题中条件,求出 2α的正弦和余弦值,代入两角和的正弦公式进行求值. 解答: 解: (1)因为 ∥ ,所以 2sinα=cosα. (3 分) 则 . (5 分) = , , (7 分) . (9 分) , ,

(2)因为 ? 所以 即 因为 所以



. (11 分) = (14 分)

点评: 本题考查 2 个向量的共线条件、2 个向量的数量积、及两角和的正弦公式的应用. 16.已知集合 A={y|y=﹣2 ,x∈[2,3]},B={x|x +3x﹣a ﹣3a>0}. (1)当 a=4 时,求 A∩B; (2)若 A? B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (1)先利用函数的值域化简 A,利用一元二次不等式的解化简 B,最后利用交集的 定义求出 A∩B 即可; (2)题中条件: “A? B”说明集合 A 是集合 B 的子集,即不等式: (x﹣a) (x+a+3)>0 的 解集是 B 的子集,对 a 进行分类讨论,结合端点的不等关系列出不等式求解即可. 解答: 解: (1)A=[﹣8,﹣4](2 分) 当 a=4 时,B={x|x +3x﹣28>0}={x|x<﹣7 或 x>4}, (4 分) ∴A∩B=[﹣8,﹣7) (5 分) (2)B={x|(x﹣a) (x+a+3)>0} ①当 ②当 时, ,∴ 恒成立; (8 分)
2 x 2 2

时,B={x|x<a 或 x>﹣a﹣3}

∵A? B,∴a>﹣4 或﹣a﹣3<﹣8 解得 a>﹣4 或 a>5(舍去) 所以﹣4<a<﹣ (11 分) ③当 时,B={x|x<﹣a﹣3 或 x>a}

∵A? B,∴﹣a﹣3>﹣4 或 a<﹣8(舍去) 解得 (13 分)

综上,当 A? B,实数 a 的取值范围是(﹣4,1) . (14 分) 点评: 本小题主要考查函数的值域、函数的定义域、不等式的解法、集合的包含关系判断 及应用、交集及其运算等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思 想.属于基础题.

17.已知 (I)求 f(x)在[0,π]上的最小值;



(II)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边, 求边 a 的长.

,且 f(B)=1,

考点: 正弦定理;三角函数的化简求值;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)将 f(x)的解析式的第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简,去括号整 理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数,根据 x 的范围,得出这个角的范围,利用正弦函数的图象与性质得出 f(x)的值域,即可确定出 f (x)的最小值; (II)由 f(B)=1,将 x=B 代入函数 f(x)的解析式,根据正弦函数的图象与性质得到关 于 x 的方程,根据 B 为三角形的内角,可得出 B 的度数,进而确定出 sinB 的值,由 cosA 的值,以及 A 为三角形的内家,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,再由 b 的 值,利用正弦定理即可求出 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)= = ∵ sinx+ cosx=sin(x+ ≤x+ ≤ , ( sinx+ ) , cosx)﹣cosx

∴x=π时,f(x)min=﹣ ; (II)∵f(B)=1, ∴x+ ∴B= =2kπ+ , = , ,k∈Z,又 B 为三角形的内角,

∵cosA= ,∴sinA= 又 b=5 ,

由正弦定理得

=

,得 a=

=

=8.

点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的图象与性质,正弦函数的定义 域与值域,同角三角函数间的基本关系,以及正弦定理,熟练掌握定理及公式是解本题的关 键. 18.如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距离分别为 9m,3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF,MN:NE=16:9.线 段 MN 必须过点 P,端点 M,N 分别在边 AD,AB 上,设 AN=x(m) ,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 为 S(m ) . (1)用 x 的代数式表示 AM; (2)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域; (3)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?
2

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)在△AMN 中利用比例关系即可表示 AM; (2)由(1) ,根据勾股定理用 x 表示 MN,再由 MN:NE=16:9,可以用 x 表示 NE,即能表 示面积 S,结合 x 为边长求定义域即可; (3)根据(2) ,求出函数的导函数,利用函数的导数求函数在给定区间上的最小值即可. 解答: 解: (1)依题意, (10≤x≤30) ; (2 分)

(2)

. (4 分)

∵MN:NE=16:9,∴



∴ 定义域为[10,30]. (8 分) (3) 分) 令 S′=0,得 x=0(舍) , 当 当 ∴当 答:当 AN 长为

. (6 分)

=

, (11

. (13 分)

时,S′<0,S 关于 x 为减函数; 时,S′>0,S 关于 x 为增函数; 时,S 取得最小值. (15 分) m 时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小. (16 分)

点评: 本题考查用数学知识解决实际应用题的能力,主要考查构建函数模型,函数的定义 域,以及用函数的导数研究函数最值,是中档题.

19.已知数列{an}的通项公式为 an=2+

(n∈N ) .

*

(1)求数列{an}的最大项; (2)设 bn= ,试确定实常数 p,使得{bn}为等比数列;
*

(3)设 m,n,p∈N ,m<n<p,问:数列{an}中是否存在三项 am,an,ap,使数列 am,an, ap 是等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,说明理由. 考点: 等比数列的性质;等差关系的确定. 专题: 综合题. 分析: (1)根据数列 an}的通项公式可知随着 n 的增大而减小,即为递减数列,故可知 a1 为数列中的最大项,进而可得答案. (2)把(1)中的 an 代入 bn,根据等比数列的性质可知 b n+1﹣bnbn+2=0,把 bn 代入,进而可 求得 p. (3)根据(1)中数列{an}的通项公式可分别求得 am,an,ap,使数列 am,an,ap 是等差数 列,则 2an=am+ap,把 am,an,ap 代入整理可得关于 m,n,p 的关系式,再根据 m<n<p 判定 等式是否成立. 解答: 解(1)由题意 an=2+ ,随着 n 的增大而减小,所以{an}中的最大项为 a1=4.
2

(2)bn=

=

=

,若{bn}为等比数

列, 则 b n+1﹣bnbn+2=0(n∈N*)所以[(2+p)3 +(2﹣p)] ﹣[{2+p)3 +(2﹣p)][(2+p)3 + * (2﹣p)]=0(n∈N ) , 2 n+1 n+2 n 2 n 化简得(4﹣p ) (2? 3 ﹣3 ﹣3 )=0 即﹣(4﹣p ) ? 3 ? 4=0,解得 p=±2. n 反之,当 p=2 时,bn=3 ,{bn}是等比数列;当 p=﹣2 时,bn=1,{bn}也是等比数列. 所以,当且仅当 p=±2 时{bn}为等比数列. (3)因为 , , ,
2 n+1 2 n n+2

若存在三项 am,an,ap,使数列 am,an,ap 是等差数列,则 2an=am+ap, 所以
n p﹣n

=
p﹣m p﹣m


n﹣m

化简得 3 (2×3 ﹣3 ﹣1)=1+3 ﹣2×3 * 因为 m,n,p∈N ,m<n<p, 所以 p﹣m≥p﹣n+1,p﹣m≥n﹣m+1,
p﹣m p﹣n+1 p﹣n p﹣m n﹣m+1

(*) ,

所以 3 ≥3 =3×3 ,3 ≥3 =3×3 , n p﹣n p﹣n n p﹣n (*)的左边≤3 (2×3 ﹣3×3 ﹣1)=3 (﹣3 ﹣1)<0, n﹣m n﹣m n﹣m 右边≥1+3×3 ﹣2×3 =1+3 >0,所以(*)式不可能成立, 故数列{an}中不存在三项 am,an,ap,使数列 am,an,ap 是等差数列.

n﹣m

点评: 本题主要考查了等比数列的性质,等比数列问题常涉及指数函数、不等式、极值等 问题,是高考常考的地方,故应重点掌握. 20.已知函数 f(x)=x +x ﹣ax(a∈R) . (1)当 a=0 时,求与直线 x﹣y﹣10=0 平行,且与曲线 y=f(x)相切的直线的方程; (2)求函数 g(x)= ﹣alnx(x>1)的单调递增区间;
3 2

(3)如果存在 a∈[3,9],使函数 h(x)=f(x)+f′(x) (x∈[﹣3,b])在 x=﹣3 处取 得最大值,试求 b 的最大值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据导数与函数切线斜率的关系,求得斜率,由点斜式写出切线方程; (2)利用导数判断函数的单调性求得函数的单调递增区间即可; (3)利用导数求函数的最值的方法,通过分类讨论得出 b 的最大值. 解答: 解: (1)设切点为 T(x0,x0 +x0 ) ,由 f′(x)=3x +2x 及题意 2 得 3 x0 +2 x0=1. …(2 分) 解得 x0=﹣1,或 x0= . 所以 T(﹣1,0)或 T( , ) . …(4 分)
3 2 2

所以切线方程为 x﹣y+1=0 或 27x﹣27y﹣5=0. (2)因为 g(x)=x +x﹣a﹣alnx(x>1) , 所以由 g′(x)=2x+1﹣ >0,得 2x +x﹣a>0.
2 2 2

…(6 分)

令φ(x)=2x +x﹣a(x>1) ,因为φ(x)在(1,+∞)递增,所以φ(x)>φ(1)=3﹣ a. 当 3﹣a≥0 即 a≤3 时,g(x)的增区间为(1,+∞) ; …(8 分) 当 3﹣a<0 即 a>3 时, 因为φ(1)=3﹣a<0,所以φ(x)的一个零点小于 1、另一个零点大于 1. 由φ(x)=0 得零点 x1= 从而φ(x)>0(x>1)的解集为( 即 g(x)的增区间为(
3 2

<1,x2= ,+∞) ,

>1,

,+∞) .

…(10 分)
2

(3)方法一:h(x)=x +4x +(2﹣a)x﹣a,h′(x)=3x +8x+(2﹣a) . 因为存在 a∈[3,9],令 h′(x)=0,得 x1= ,x2= .

当 x<x1 或 x>x2 时,h′(x)>0;当 x1<x<x2 时,h′(x)<0. 所以要使 h(x) (x∈[﹣3,b])在 x=﹣3 处取得最大值, 必有 解得 a≥5,即 a∈[5,9]. …(13 分)

所以存在 a∈[5,9]使 h(x) (x∈[﹣3,b])在 x=﹣3 处取得最大值的充要条件为 h(﹣3) ≥h(b) , 即存在 a∈[5,9]使(b+3)a﹣(b +4b +2b﹣3)≥0 成立. 3 2 2 因为 b+3>0,所以 9(b+3)﹣(b +4b +2b﹣3)≥0,即(b+3) ( b +b﹣10)≤0. 解得 ≤b≤
3 2 3 2

,所以 b 的最大值为

. …(16 分)

方法二:h(x)=x +4x +(2﹣a)x﹣a, 据题意知,h(x)≤h(﹣3)在区间[﹣3,b]上恒成立. 即(x +27)+4(x ﹣9)+(2﹣a) (x+3)≤0, (x+3) (x +x﹣1﹣a)≤0 若 x=﹣3 时,不等式①成立;
2 2 3 2 2

①.

若﹣3<x≤b 时,不等式①可化为 x +x﹣1﹣a≤0,即 x +x≤1+a ②.…(13 分) 2 令ψ(x)=x +x. 当﹣3<b≤2 时,ψ(x)在区间[﹣3,b]上的最大值为ψ(﹣3)=6, 不等式②恒成立等价于 6≤1+a,a≥5,符合题意; 当 b≥2 时,ψ(x)的最大值为ψ(b)=b +b,不等式②恒成立等价于 b +b≤1+a. 由题意知这个关于 a 的不等式在区间[3,9]上有解. 故 b +b≤(1+a)max,即 b +b≤10,b +b﹣10≤0,解得 2<b≤ 综上所述,b 的最大值为
2 2 2 2 2



,此时唯有 a=9 符合题意.…(16 分)

点评: 本题主要考查利用导数研究函数的切线方程、判断函数的单调性、求函数最值等知 识,考查分类讨论思想的运用能力,综合性强,属难题.


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