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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-3


基础巩固强化 一、选择题 1.(文)下列各函数中,( A.y=x2-2x C.y=cos2x [答案] C [解析] A、B 不是偶函数,D 的定义域{x∈R|x≠± 1}不是 R,故 选 C. (理)(2012· 洛阳示范高中联考)下列函数中,既是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( A.y=x3 C.y=-x2+1 [答案] B [解析] y=x3 是奇函数,y=-x2+1 与 y=2-|x|在(0,+∞)上为 减函数,故选 B. 2.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数, 且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) [答案] B [解析] ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,由 f(x)<f(2) B.(-2,2) D.(2,+∞) ) ) B.y=|x|+1 D.y=2-|x| )是 R 上的偶函数( B.y=2x 1 D.y= |x|-1 )

得 f(|x|)<f(2),∴|x|<2,∴-2<x<2. 3.(文)若奇函数 f(x)(x∈R)满足 f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3),则
?3? f?2?等于( ? ?

) B.1 1 C.2 1 D.-2

A.0 [答案] C

?3? ? 3? 3 [解析] 在 f(x+3)=f(x)+f(3)中取 x=-2得,f?2?=f?-2?+f(3), ? ? ? ?

∵f(x)是奇函数,且 f(3)=1,
?3? 1 ∴f?2?=2. ? ?

[点评] 解答此类题目,一般先看给出的值和待求值之间可以通 过条件式怎样赋值才能产生联系, 赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的 运用. (理)(2013· 湖南)已知 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数, 且 f(-1)+g(1) =2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A.4 [答案] B [解析] 本题考查的是函数的奇偶性及方程组的解法. ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1)
? ? ?f?-1?+g?1?=2, ?-f?1?+g?1?=2, ? 由 得? 所以 g(1)=3.故选 ? ? ?f?1?+g?-1?=4, ?f?1?+g?1?=4,

) D.1

B.3

C.2

B. π 4.(文)(2013· 宁夏育才中学模拟)已知函数 f(x)=sin(2x-4),若存 在 α∈(0,π)使得 f(x+α)=f(x+3α)恒成立,则 α 等于( )

π A.6 π C.4 [答案] D

π B.3 π D.2

[解析] 由 f(x+α)=f(x+3α)得 f(x)=f(x+2α), π ∴f(x)周期为 2α,又 α∈(0,π),所以 α=2. (理)(2014· 华师附中检测)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x)在[1,3]上是 ( ) A.增函数 C.先增后减的函数 [答案] D [解析] 由 f(x+1)=-f(x)得,f(x+2)=f(x), ∴f(x)的周期为 2. ∵f(x)在[-1,0]上为减函数,f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,1]上为增函数,∴f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单 调递增,故选 D. 5.(2013· 宁夏育才中学模拟)若奇函数 f(x)在 R 上是增函数,且 a +b>0,则有( ) B.f(a)+f(b)<0 D.f(a)-f(b)<0 B.减函数 D.先减后增的函数

A.f(a)-f(b)>0 C.f(a)+f(b)>0 [答案] C

[解析] 由 a+b>0 得 a>-b, 因为 f(x)在 R 上是奇函数且为增函 数,所以 f(a)>f(-b),即 f(a)>-f(b),故选 C. 6.(2013· 琼海市嘉积中学质检)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2

的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)在区间[0,6] 上零点的个数有( A.6 个 C.8 个 [答案] B [解析] 当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则有 f(0)=f(1)=0,又 f(x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,所以函数 y=f(x)在区间[0,6]上 有 f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=f(3)=f(5)=0,所以有 7 个. 二、填空题 7.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域 f ?x ? 都是[-π, π], 且它们在 x∈[0, π]上的图象如图所示, 则不等式 <0 g ?x ? 的解集是________. ) B.7 个 D.9 个

? π ? ?π ? [答案] ?-3,0?∪?3,π? ? ? ? ?

[解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原 点对称,先补全 f(x)、g(x)的图象, ∵
?f?x?<0, ?f?x?>0, ? ? f ?x ? <0,∴? 或? 观察两函数的图象,其中一 g ?x ? ? ? ?g?x?>0. ?g?x?<0.

π π 个在 x 轴上方, 一个在 x 轴下方的, 即满足要求, ∴-3<x<0 或3<x<π.

a-ex 8.若函数 f(x)= (a 为常数)在定义域上为奇函数,则实数 a 1+aex 的值为________. [答案] 1 或-1 a-e-x aex-1 [解析] f(-x)= = 1+ae-x ex+a ?a-ex??a+ex?+?1+aex??aex-1? f(x)+f(-x)= ?1+aex??ex+a? a2-e2x+a2e2x-1 = =0 恒成立, ?1+aex??ex+a? 所以 a=1 或-1. 9.(2013· 银川质检)已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x) +f(2),且当 x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题: ①f(2)=0; ②x=-4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]上单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=- 8. 以上命题中所有正确命题的序号为________. [答案] ①②④ [解析] 令 x=-2, 得 f(2)=f(-2)+f(2), 即 f(-2)=0.又函数 f(x)

是偶函数,故 f(2)=0,①正确;根据 f(2)=0 可得 f(x+4)=f(x),所以 函数 f(x)的周期是 4,由于偶函数的图象关于 y 轴对称,故 x=-4 也 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴, ②正确; 根据函数的周期性可知, 函数 f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确;由于函数 f(x)的图象关于直 线 x=-4 对称, 故如果方程 f(x)=m 在区间[-6, -2]上的两极为 x1, x2,则 ②④. 三、解答题 10.(2012· 扬州模拟)已知函数 f(x)对任意 x、y∈R,都有 f(x+y) =f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. [解析] (1)证明:令 x=y=0,知 f(0)=0;再令 y=-x,则 f(0) =f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)解:对任意 x1、x2∈[-3,3],设 x1<x2,则 x2-x1>0,∴f(x2- x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)为减函数.而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6. ∴f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6. 能力拓展提升 一、选择题 x1+x2 2 =-4,即 x1+x2=-8,④正确.故正确命题的序号为①

11.(2012· 山西四校联考)已知函数

??a-2?x,x≥2, f (x ) = ? 1 x ??2? -1,x<2,



f?x1?-f?x2? 足对任意的实数 x1≠x2 都有 <0 成立,则实数 a 的取值范围 x1-x2

为(

) A.(-∞,2) C.(-∞,2] [答案] B [ 解 析 ] 函 数 f(x) 是 R 上 的 减 函 数 , 于 是 有 13 由此解得 a≤ 8 ,即实数 a 的取值范围是(- 13 B.(-∞, 8 ] 13 D.[ 8 ,2)

?a-2<0, ? 12 ? a - 2 ? × 2 ≤ ? ? 2? -1,
13 ∞, 8 ],选 B.

12.(文)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数, 且 g(x)=f(x-1),若 g(1)=2,则 f(2014)的值为( A.2 C.-2 [答案] C [解析] 由已知:g(-x)=f(-x-1), 又 g(x)、f(x)分别为 R 上的奇、偶函数, ∴-g(x)=f(x+1),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2),∴ f(x)=f(x+4),即 f(x)的周期 T=4, ∴f(2014)=f(2)=g(-1)=-g(1)=-2,故选 C. (理)已知函数 f(x)满足:f(1)=2,f(x+1)= 于( ) A.2 [答案] C B.-3 1 C.-2 1 D.3 1+f?x? ,则 f(2015)等 1-f?x? B.0 D.± 2 )

1 1 [解析] 由条件知,f(2)=-3,f(3)=-2,f(4)=3,f(5)=f(1)=2, 故 f(x+4)=f(x)(x∈N*). ∴f(x)的周期为 4, 1 故 f(2015)=f(3)=-2. [点评] 严格推证如下: f(x+2)= 1+f?x+1? 1 =- , f ? x? 1-f?x+1? 1 =f(x). -f?x+2?

∴f(x+4)=f[(x+2)+2]= 即 f(x)周期为 4.

故 f(4k+x)=f(x),(x∈N*,k∈N*), 13.(文)(2012· 江西盟校二联)函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x ∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) [答案] C [解析] f(x)的图象如图所示. B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1) )

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0,得,x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf(x)>0 得,x 无解; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0 得,x∈(1,3).

∴x∈(-1,0)∪(1,3),故选 C. (理)(2013· 芜湖一模)函数 y=f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],其图 x2 2 象上任一点 P(x,y)满足 4 +y =1,若函数 y=f(x)的值域是(-1,1), 则 f(x)一定是( A.奇函数 C.单调函数 [答案] A [解析] 设 P(x,y)在函数图象上,则由条件知 P′(-x,-y)也 在函数图象上,所以 f(-x)=-f(x),函数一定是奇函数,但不能确定 函数是不是单调函数,是不是幂函数,故选 A. 二、填空题 14. (2012· 福州质检)已知集合 M 是满足下列条件的函数 f(x)的全 体:(1)f(x)既不是奇函数也不是偶函数; (2)函数 f(x)有零点.那么在函数①f(x)=|x|-1,②f(x)=2x-1, x-2,x>0, ? ? ③ f(x) = ?0,x=0, ? ?x+2,x<0, ) B.偶函数 D.幂函数

④ f(x) = x2 - x - 1 + lnx 中,属于 M 的有

________.(写出所有符合条件的函数序号) [答案] ②④ [解析] 对于①,∵f(-x)=|-x|-1=|x|-1,∴f(x)=|x|-1 是偶 函数,∴①不符合条件;易知 f(x)=2x-1 既不是奇函数也不是偶函 数,且有一个零点 x=0,∴②符合条件;对于③,令 x>0,则-x<0, ∴f(x)=x-2,f(-x)=-x+2=-(x-2),即 f(x)=-f(-x),

x-2,x>0, ? ? 又 f(0)=0, ∴f(x)=?0,x=0, ? ?x+2,x<0,

是奇函数, ∴③不符合条件;

对于④,函数 f(x)=x2-x-1+lnx 的定义域为(0,+∞),故它既不是
2 1 2x -x+1 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 , ∵ f ′(x) = 2x - 1 + x = = x

1 7 2?x-4?2+8 >0,∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,又 f(1)=1-1-1 x +0=-1<0,f(e)=e2-e-1+1=e(e-1)>0,∴函数 f(x)在(1,e)上存 在零点,∴④符合条件.故应填②④. 15.(2013· 吉林质检)已知函数 f(x)满足下面关系: π π (1)f(x+2)=f(x-2); (2)当 x∈(0,π]时,f(x)=-cosx. 给出下列命题: ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)是奇函数; ③函数 f(x)的图象关于 y 轴对称; ④方程 f(x)=lg|x|解的个数是 8. 其中正确命题的序号是________(把正确命题的序号都填上). [答案] ①④ π π [解析] 由 f(x+2)=f(x-2),可得 f(x+π)=f(x),即可得函数 f(x) 是以 π 为周期的周期函数,即命题①正确;又由 f(0)=f(π)=-cosπ π 2π =1≠0 可知, 函数 f(x)不是奇函数, 即命题②不正确; 由 f(-3)=f( 3 ) 2π 1 π 1 =-cos 3 =2≠f(3)=-2,可得函数 f(x)不是偶函数,其函数图象不

关于 y 轴对称,即命题③不正确;函数 f(x)与函数 y=lg|x|在同一坐标 系下的图象如图所示,由图示可得,方程 f(x)=lg|x|有 8 个解,即命 题④正确.综上可得正确的命题的序号是①④.

三、解答题 16.(文)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非 零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x+T)=Tf(x)成立. (1)函数 f(x)=x 是否属于集合 M?说明理由; (2)设 f(x)∈M, 且 T=2, 已知当 1<x<2 时, f(x)=x+lnx, 当-3<x< -2 时,求 f(x)的解析式. [解析] (1)假设函数 f(x)=x 属于集合 M,则存在非零常数 T,对 任意 x∈R,有 f(x+T)=Tf(x)成立,即 x+T=Tx 成立.令 x=0,得 T =0,与题目矛盾.故 f(x)?M. (2)f(x)∈M,且 T=2,则对任意 x∈R,有 f(x+2)=2f(x). 设-3<x<-2,则 1<x+4<2. 1 1 又 f(x)=2f(x+2)=4f(x+4), 且当 1<x<2 时,f(x)=x+lnx, 1 故当-3<x<-2 时,f(x)=4[x+4+ln(x+4)]. 1-mx (理)已知函数 f(x)=loga (a>0 且 a≠1)是奇函数. x-1

(1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明; (3)当 a>1,x∈(1, 3)时,f(x)的值域是(1,+∞),求 a 的值. [解析] (1)∵f(x)是奇函数,x=1 不在 f(x)的定义域内,∴x=-1 也不在函数定义域内, 令 1-m· (-1)=0 得 m=-1. (也可以由 f(-x)=-f(x)恒成立求 m) x+1 (2)由(1)得 f(x)=loga (a>0 且 a≠1), x-1 任取 x1、x2∈(1,+∞),且 x1<x2, x+1 x1+1 x2+1 令 t(x)= ,则 t(x1)= ,t(x2)= , x-1 x1-1 x2-1 ∴t(x1)-t(x2)= x1+1 x2+1 2?x2-x1? - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1?

∵x1>1,x2>1,x1<x2, ∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0. ∴t(x1)>t(x2),即 x1+1 x2+1 > , x1-1 x2-1

x1+1 x2+1 ∴当 a>1 时,loga >loga , x1-1 x2-1 即 f(x1)>f(x2); x1+1 x2+1 当 0<a<1 时,loga <loga , x1-1 x2-1 即 f(x1)<f(x2), ∴当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是减函数,当 0<a<1 时,f(x)在(1, +∞)上是增函数. (3)∵a>1,∴f(x)在(1, 3)上是减函数,

∴当 x∈(1, 3)时,f(x)>f( 3)=loga(2+ 3), 由条件知,loga(2+ 3)=1,∴a=2+ 3.

考纲要求 结合具体函数,了解函数奇偶性及周期性的含义. 补充说明 1.牢记:奇(偶)函数的定义域关于原点对称;奇函数若在 x=0 处有定义,则 f(0)=0;奇偶函数单调性,图象对称性. 2.把握四个考向:奇偶性判断;由奇偶性求参数值;求周期; 函数性质的综合应用. 3.突破三个难点 综合利用奇偶性、周期性求函数值;抽象函数性质讨论;函数不 等式求解. 备选习题 1.(2013· 济南模拟)设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- 1 ,且当 x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则 f(107.5)=( f ? x? A.10 C.-10 [答案] B [解析] 由 f(x+6)=f(x)知该函数为周期函数, 1 1 1 所以 f(107.5)=(6×18-2)=f(-2)=- 5 f?2? 1 B.10 1 D.-10 )

1 1 1 =- =- = . 5 -10 10 f?-2? 2.(2013· 东北三省四市联考)已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x +6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且 f(4)=4,则 f(2012)=( A.0 C.-8 [答案] B [解析] 由 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称可知, y=f(x)的图象 关于点(0,0)对称,即为奇函数.令 x=-3 可知,f(3)+f(-3)=2f(3), 进而 f(-3)=f(3), 又 f(-3)=-f(3),可知 f(3)=0,所以 f(6+x)+f(x)=0,可知 f(x) 是一个周期为 12 的周期函数,所以 f(2012)=f(168×12-4)=f(-4) =-f(4)=-4,故选 B. 3.(2013· 福州质检)已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若 对于任意给定的实数 x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 恒成立, 则不等式 f(1-x)<0 的解集为( A.(1,+∞) C.(-∞,0) [答案] C [解析] ∵函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x+1)=-f(x+1),即得函数 f(x)的对称中心为(1,0),又由 对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 恒成 立,可得函数为 R 上的减函数,由此可得不等式 f(x)<0 的解为 x>1, 则由 f(1-x)<0 可得 1-x>1,解得 x<0,即不等式 f(1-x)<0 的解集为 ) B.(0,+∞) D.(-∞,1) ) B.-4 D.-16

(-∞,0),故应选 C. 4.(2012· 河南商丘模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,它的 T 最小正周期为 T,则 f(-2)的值为( T A.-2 T C.2 [答案] B T T T T T T [解析] ∵f(-2)=-f(2), 且 f(-2)=f(-2+T)=f(2), ∴f(2)=0, T ∴f(- 2)=0. 5.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0] 上是增函数,设 a=f(log47),b=f(log1 3),c=f(0.20.6),则 a、b、c
2

) B.0 D.T

的大小关系是( A.c<b<a C.b<a<c [答案] C

) B.b<c<a D.a<b<c

[解析] 由题意知 f(x)=f(|x|). ∵log47=log2 7>1,|log1 3|=log23>log2 7,0<0.20.6<0.20=1,
2

∴|log1 3|>|log47|>|0.20.6|.
2

又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. ∴b<a<c.故选 C.


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