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高中数学必修5知识点总结归纳


高中数学必修 5 知识点 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径,

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b

c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
则有 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a
2

? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

, cos ? ?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac
2

, cos C

?

a 2 ? b2 ? c 2 2ab




6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ②若 a
2

? b2 ? c2 ,则 C ? 90


? b2 ? c2 ,则 C ? 90

;③若 a

2

? b2 ? c2 ,则 C ? 90

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列

?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.

16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这 个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若

b?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、通项公式的变形:① n

a ? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?


an ? a1 n ?1



④n

?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

21、 若

, 则 am ? an ? a p ? aq ; 若 ?an ? ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q( m 、n 、 p 、q ? ?* ) ,则 2an ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* )

是等差数列,且 2n

? ap ? aq .

22、等差数列的前 n 项和的公式:① n

S ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

23 、 等 差 数 列 的 前

n 项 和 的 性 质 : ① 若 项 数 为 2n ? n ? ? * ? , 则


S2n ? n ? an ? an?1 ? , 且

S偶 ? S奇 ? nd,
②若项数为

S奇 a ? n S偶 an?1

2n ? 1? n ? ? * ? , 则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an , 且 S奇 ? S偶 ? a n



S奇 n (其中 ? S偶 n ? 1

. S奇 ? n a n , S偶 ? ? n ? 1? an ) 24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这 个常数称为等比数列的公比. 25、 在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使 a ,G ,b 成等比数列, 则 G 称为 a 与 b 的等比中项. 若G 则称 G 为 a 与 b 的等比中项. 26、若等比数列
2

? ab ,

?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 .
an ? amqn?m ; ② a1 ? an q?? n?1? ; ③ q n ?1
? an a1
;④

27 、 通 项 公 式 的 变 形 : ①

q n?m ?
28、若

an am



,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* )

是等比数列,且 2n

? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an

2

? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: S n ? ? a ?1 ? q n ? . a1 ? an q 1 ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q

30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n

? n ? ? ? ,则 S
*

S偶


?q.



Sn?m ? Sn ? qn ? Sm .
? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列.

③ Sn , S2n 31、 a ? b

? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b. ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ;

32、不等式的性质: ① a

④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ⑥a ⑧a

?a?c ?b?d ;

? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ;

? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ?

? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0

x1,2 ?

? a ? 0? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0
一元二次不 等式的解集

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.

37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 这样的有序数对

y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所有

? x, y ? 构成的集合.
? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? .

38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ①若 ? ②若 ?

? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方.

39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ①若 ?

? 0.

? 0 ,则 ?x?? y? C? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表示直

线 ?x ? ?y ? C ②若 ?

? 0 下方的区域.

? 0 ,则 ?x?? y? C? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表示直

线 ?x ? ?y ? C

? 0 上方的区域.
y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. y 的解析式. y 的一次解析式.

40、线性约束条件:由 x ,

目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , 线性目标函数:目标函数为 x ,

线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解

? x, y ? .

可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、b 是两个正数,则 42、均值不等式定理:

a?b 称为正数 a 、b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2
2

43、常用的基本不等式:① a

? b2 ? 2ab ? a, b ? R? ;② ab ?
2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ?? ? ? a ? 0, b ? 0? ;④ ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?

2


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