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空间角专题练习答案


专题一空间角(1)----异面直线所成的角练习答案
1、解: (1)? C1C / / D1D

GH∥AC 且 GH=

1 AC.? 2

∴EF∥GH 且 EF=GH.? ∴四边形 EFGH 是平行四?边形?.?
D1 C1

??B1CC1 为异面直线 B1C和DD1 所成

角,
在 RT ? B1C1C 中 , B1C1 ? BC ? 4, C1C ? 3 ,
A1

(2)由 AC=BD=a 知 EF=FG=

a .? 2

由 AC 与 BD 成 60°角,∴∠EFG=60°或 120°.?
B1

4 ? tan ?B1CC1 ? 3

D C A

∴EG =

3a a 或 .? 2 2

?异面直线 B C和DD 所成角的正切值为 4 .
1 1

3

B

(2)? BC ? B1C1 ,??AC1B1 为异面直线 BC和A1C1 所成角, 1 在 RT ? B1C1C 中, A1 B1 ? AB ? 5, B1C1 ? BC ? 4 ,

3、解析:(1)∵BC∥AD,? ∴∠A1AD 或其补角即为 A1A 与 BC 所成的角.? 在立方体中易知∠A1AD=90°.? ∴A1A 与 BC 所成的角为 90°.? (2)∵BB1∥AA1,? ∴∠BB1C 或其补角即为 A1A 与 B1C 所成的角.? 在立方体中易知∠BB1C=45°.? ∴A1A 与 BC 所成的角为 45°.? (3)连结 BC1 交 B1C 于 F,则 BC1∥AD1.? ∴∠BFC 或其补角即为 AD1 与 B1C 所成的角, 在立方体中易知∠BFC=90°.? ∴A1A 与 BC 所成的角为 90°?.? (4)方一:取 DD1 的中点 M,连接 BD,BD 与 AC 的交点为 O,连接 OM ∴∠MOA 或其补角即为 BD1 与 AC 所成的角, 易得 BD1 与 AC 所成角为 90°.? 方二:三垂线定理 ∵ DD1 ? 面ABCD , AC ? BD
A A1 D1 B1 C1

? tan ?A1C1B1 ?

5 , 4
1 1

?异面直线 BC和A C 所成角的正切值为 5
(3)? AD1 ? BC1 ,设 B1C和BC1 相交于 O,

4

??C1OB1 为异面直线 B1C和AD1 所成角(或其补角)

5 在 ? B1OC1 中, B1C1 ? 4,B1O ? ? C1O 2 7 利用余弦定理, cos ?B1OC1 ? ? 25 7 异面直线 B1C和AD1 所成角的余弦值为 25
2、解析:(1)∵E、F、G、H 是边 AB、BC、CD、DA 的中点,?

M

D O B C

∴ AC ? BD 1 ∴BD1 与 AC 所成角为 90°.? 方三:延长 DA 到 N,使 DA=AN,连结 BN、D1N,则 BN∥AC.?∴∠D1BN 或其补角即为 BD1 与 AC 所成的角.? ∵棱长为 a,∴BN=AC=2a,D1N=5a,D1B=3a.? 由勾股定理可得∠D1BN=90°.? ∴BD1 与 AC 所成角为 90°.?

∴EF∥AC 且 EF =

1 AC,? 2

1

(5)连结 B1D1、AB1,则 BD∥B1D1.?
D1 C1 B1

∴∠AD1B1 或其补角即为 AD1 与 BD 所成角.? 在立方体中易知△AB1D1 为等边三角形.? ∴∠AD1B1=60°. ∴AD1 与 BD 所成角为 60°.?

A1

7 5 ? 4 4 =3 7 , ∴cos∠EOA= 14 7 2? ?1 2 1?
即 AC 与 PB 所成角的余弦值为 12.解:(Ⅰ)证明:连结 OC

D C A B

1 (6)延长 AD 到 G,使 DG= AD ,连结 D1G、GE,则 D1G∥B1F.? 2
∴∠ED1G 或其补角即为 D1E 与 B1F 所成角.?

3 7 . 14

5 10 3 a ,? EG= a ,D1E= a 在△ED1G 中,D1G= 2 2 2
D E 2 ? D1G 2 ? GE 2 10 ? ? cos∠ED1G= 1 .? 2 D1 E ? D1G 15
∴D1E 与 B1F 所成角的余弦值为 4、答案:①2②3③4④1

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD. 在△AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= 3 ,而 AC=2, ∴AO +CO =AC , ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC. ∵BD∩OC=O. ∴AD⊥平面 BCD. (Ⅱ)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC. ∴直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角.在△OME 中, EM=
2 2 2

10 .? 15

专题一空间角(1)----异面直线所成的角专项练习答案
1、C 2、D 3、D、 4、A 5、D 6、B 7、60° 8、

2 1 1 AB= ,OE= DC=1, 2 2 2

7 29 145

9、60°

∵OM 是直角△AOC 斜边 AC 上的中线, ∴OM=

10、(1)证明:用反证法.设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线. (2)解:取 CD 的中点 G,连结 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成 的锐角或直角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角.在 Rt△EGF 中,求得∠ FEG=45°,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45°. 11、解:设 AC∩BD=O,连结 OE,则 OE∥PB, ∴∠EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角. 在△AOE 中,AO=1,OE=
P

1 AC=1, 2
2 , 4 2 . 4

∴cos∠OEM=

∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为

7 5 1 1 PB= ,AE= PD= , 2 2 2 2

E

D

C

2
O A B

专题二----空间角(2)直线和平面所成的角答案?
1、 (1) 45 ; (2)
0

在本例中,可直接作 AH 进而证明 AH

? BC 于 H ,

3 ; 3

? 平面? ,从而确认 H 是 A 在 ? 内的射影. ? 平面? 于 H ,进而证明 H 在 BC 上.
0

2、解:设正方体的棱长为 2,过 F 作 FG⊥AC 于 G, ∵AA1⊥平面 ABCD,∴AA1⊥FG,∴FG⊥平面 AA1C1C, 连结 EG,则∠FEG 为 EF 与平面 AA1C1C 所成的角。 连结 BD 交 AC 于 O,由 F 是 AB 的中点得 FG=BO/2 = 2 / 2 ,∵E、F 分别为 AA1、AB 的中点,∴EA=FA=1,∴EF= 2 ,在 RtΔEFG 中,

也可过 A 作 AH

可求得 OA 和平面α所成角的大小为 45 . 12 . 解 : 1 ) 连 接 OC , 由 已 知 得 (

AO ? 平面BCD
∴ ?AOC 即为 AC 与平面 BCD 所成的角。 在 Rt?AOC 中,易得 OC ? 又∵ AC ? 1

A

FG 2 1 ? sin ?FEG ? ? ? 2 ? ,? ?FEG ? 30 ? EF 2 2
3、D

3 , 2

B O C

D

4 、 解 : 由 斜 线 和 平 面 所 成 的 角 的 定 义 知 , ∠ ABO 为 AB 和 α 所 成 的 角 ,

? cos ?ABO ?

cos ?ABC cos 60 ? 1 2 2 ? ? ? ? ,? ?ABO ? 45 ? ? cos ?CBO cos 45 2 2 2

OC 3 ? ∴ cos ?AOC ? AC 2
∴ ?AOC ? 30
0

专题二----空间角(2)直线和平面所成的角专项练习答案
1、D 2、A 3、C 4、C 5、B 6、C

A
0

3 7、30° 8、 3

1 9、 4
A1 C1 B1

即 AC 与平面 BCD 所成角的大小为 30 。 (2)取 BC 的中点 H,连接 OH,AH ∵ O 为 BD 的中点 ∴OH//CD ∵CD⊥BC∴OH⊥BC ∵ AO ? 平面BCD ∴AH⊥BC ∴ ?AHO 为二面角 A ? BC ? D 的平面角

10.解:如上图,连结 BC1, ∵A1C1⊥面 BC1,斜线 A1B 在面 BC1 内的射影为 BC1,A1B⊥B1C, ∴BC1⊥B1C,四边形 B1BCC1 是正方形. 设 BC=CC1=2,则 AC=2BC=4. 作 CE⊥AB 于点 E,则 CE⊥面 A1ABB1,连结 EB1,∠EB1C 为 B1C 与 侧面 A1ABB1 所成的角. ∵CE=

B O H C

D

4 5 ,B1C=2 2 , 5

A E

C

在 Rt?AHO 中,易得 OH ?

1 2 1 CD ? , OA ? 2 2 2

10 ∴sin∠EB1C= . 5
11. 解析:此题关键是确定

A

B

∴ tan ?AHO ?

OA 2 2 ? ∴二面角 A ? BC ? D 的正切值为 。 OH 2 2

A 在 ? 内的射影.
O ? H B C

3

专题三-----空间角(3)二面角的平面角答案
1、解:设 PA=AB=a,作 AH⊥PC 于 H,连接 DH ∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥AB, PA⊥BC, PA⊥AD ∵ABCD 为正方形 ∴AB⊥BC, ∴BC⊥平面 PAB ∴BC⊥PB ∴△PBC 为直角三角形。 由已知可得 BC=CD=a,PB=PD= 2 a,PC= 3 a
△PBC≌△PDC
B P

∴∠APB=60°.∴∠ACB=120°,? 即二面角的大小为 120°.? 3、解:取 CD 上一点 E,设 CE=10 m,过点 E 作直线 AB 所在的水平面的 垂线 EG,垂足为 G,则线段 EG 的长就是所求的高度. 在河堤斜面内,作 EF⊥AB,垂足为 F,并连接 FG, 则 FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面 ABG 所成二面角的平面 角, ∠EFG=60°,由此,得 EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×
D

H A

1 3 5 3 ≈4.3(m). ? ? 2 2 2

C

∴由 AH⊥PC 得 DH⊥PC,AH=DH ∴∠BHD 即为二面角 B-PC-D 的平面角。 在△BHD 中,BD= 2 a
PB ? BC ? AH=DH= PC 2a ? a 6 ? 3 3a

答:沿直道行走到 10 m 时人升高约 4.3 m. 4、解:(射影法)如上图,∵SA⊥面 ABCD,∴SA⊥BC. 又 AB⊥BC,∴BC⊥面 SAB,而 AD∥BC, ∴AD⊥面 SAB. ∴△SDC 在面 SAB 上的射影是△SAB. 于是 cosθ=

S ?SAB . S ?SDC

∵SA=AB=BC=2AD, ∴SB= 2 AB,SC= 3 AB.

由余弦定理得 cos ?BHD ?

(

6 2 6 2 a) ? ( a ) ? ( 2a ) 2 1 3 3 ?? 2 6 6 2? a? a 3 3

SD=DC=

5 AB, 2 2 , 2

易求得△SDC 中 SC 边上的高为

∴ ?BHD ? 120 0 ∴二面角 B-PC-D 的大小为 120 。
0

∴S△SDC=

16 2 6 1 2 AB ,S△SAB= AB .∴cosθ= . 4 3 2
6 . 3

2、解析:∵PA⊥α,PB⊥β, ∴PA⊥l,PB⊥l.? ∴l⊥平面 ABP.? 设垂足为 C,连结 AC、BC,l⊥AC,l⊥BC.? 则∠ACB 即为二面角α-l-β的平面角.? ∵PA⊥α,PB⊥β,∴四边形 APBC 为圆内接四边形,PC 为外接圆的直径.? 在△ABP 中,由余弦定理,得? ?

故所求二面角的余弦值是

专题一空间角(3)二面角的平面角专项练习答案
1、C 2、B 3、C 4、B 5、D 7、45° 8、30° 9、90° 6、C

cos∠APB=

AP 2 ? BP 2 ? AB 2 1 ? ,? 2 AP ? BP 2

10.解:(1)如图,设 AC∩BD=O,连结 OE,
4

∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形 AOEM 是平行四边形. ∴AM∥OE. ∵OE ? 平面 BDE.AM 平面 BDE, ∵AM∥平面 BDE. (2)如图,∵BD⊥AC,BD⊥AF,且 AC 交 AF 于 A, ∴BD⊥平面 AE,又因为 AM ? 平面 AE, ∴BD⊥AM. ∵AD= 2 ,AF=1,OA=1 ∴四边形 AOMF 是正方形, ∴AM⊥OF,又 AM⊥BD,且 OF∩BD=O ∴AM⊥平面 BDF. (3)如图,设 AM∩OF=H,过 H 作 HG⊥DF 于 G,边结 AG,由三垂线定理得 AG⊥DF, ∴∠AGH 是二面角 A—DF—B 的平面角. AH=

12.解:(1)证明:∵△A1B1D 和△ABD 都为等腰直角三角形,? ∴∠A1DB1=∠ADB=45°.? ∴∠A1DA=90°,即 A1D⊥AD.? 又∵

CA ? AB ? ?? CA ? A1 A?

?

CA ? 平面A1 ABB1 ? ?? A1 D ? 平面A1 ABB1 ?

? CA⊥A1D,?
∴A1D⊥平面 ADC.? (2)解:连结 AC1 交 A1C 于 E 点,取 AD 中点 F,连结 EF、CF,则 EF∥C1D.? ∴∠CEF 是异面直线 A1C 与 C1D 所成的角(或补角).?

EF=

3 5 6 1 1 a .? C1 D= a,CE= A1C= a,CF= CA2 ? AF 2 ? 2 2 2 2 2 CE 2 ? EF 2 ? CF 2 15 ? ,? 2CE ? EF 15 15 .?? 15

6 2 ,AG= . 3 2
3 ,∴∠AGH=60° 2

在△CEF 中,cos∠CEF=

∴sin∠AGH=

则异面直线 A1C 与 C1D 所成角的余弦值为

∴二面角 A—DF—B 的大小为 60°. 11. (1)证明:设 A1B∩AB1=E,? ∵BC1∥面 ADB1,面 ADB1∩面 A1BC1=DE,∴BC1∥DE.? ∵AA1B1B 为矩形,∴E 为 BA1 中点.? ∵DE∥BC1,∴

A1 D A1 E ? ? 1 .? DC1 BE

(3)解:延长 A1D 与 AB 延长线交于 G 点,连结 CG,过 A 作 AH⊥CG 于 H 点,连结 A1H.? ∵A1A⊥平面 ABC, ∴A1H⊥CG(三垂线定理).? 则∠A1HA 是二面角 A1CGA 的平面角,即所求二面角的平面角.?? 在直角三角形 ACG 中,? ∵AC=a,AG=2a, ∴CG= 5 a.?

?∴D 为 A1C1 中点.?? (2)解析:过 D 作 DF⊥A1B1 于 F,? ∵AA1⊥面 A1B1C1,∴AA1⊥DF.? ∴DF⊥面 AA1B1.设所求二面角的大小为α,

∴AH=

AC ? AG 2 5 ? a .? CG 5

在直角三角形 A1AH 中,? tan∠A1HA=

cosα=

S ?AFB1 S ?ADB1

3 3 1 2 2 S ?AA1B ? ? a 2 4 4 2 2 = . ? ? 2 2 S ?ADB 1 ? 3 ? ?? a? 2 ? 2 ? ? ?

A1 A ? 5 ,? AH

即所求二面角的大小的正切值为 5 .??

∴α=45°.
5


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