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广东省揭阳市2017届高三上学期期末调研考试数学(文)试题 Word版含答案


绝密★启用前

揭阳市 2016-2017 学年度高中三年级学业水平考试

数学(文科)
本试卷共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 答题前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合 M ? x x ? 2k ? 1, k ? Z , N ? x x ? k ? 2, k ? Z ,则 (A) M ? N (B ) M ? N (C) N ? M (D)M ? N ? ?

?

?

?

?

(2)复数 z 满足(1+i)z=i+2,则 z 的虚部为 (A)

3 2

(B)
2

1 2

(C) ?

1 2

(D) ?

1 i 2

(3)设 a, b ? R ,则“ ? a ? b? a ? 0 ”是“ a ? b ”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(4)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2S3 ? 3S2 ? 15 ,则数列 {an } 的公差为 (A)3 (5)已知 cos ? ? (A) (B)4 (C)5 (D)6

3 3? ? , 2? ) ,则 cos(? ? ) ? ,? ? ( 5 2 4
(B ) ?

7 2 10

7 2 10

( C)

2 10

(D) ?

2 10

(6)若空间四条直线 a、b、c、d,两个平面 ? 、 ? ,满足 a ? b , c ? d , a ? ? , c ? ? , 则 (A) b // ? (B ) c ? b (C) b // d (D) b 与 d 是异面直线

x2 y 2 (7)对于任意的非零实数 m ,直线 y ? 2x ? m 与双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 有且只有 a b
1

一个 交点,则双曲线的离心率为 (A) 5 (B)

5 2

(C) 2

(D) 2

(8)已知曲线 f ( x) ? ln x ? 则 a 的值为 (A)1 (B)-4

3? x2 在点 (1, f (1)) 处的切线的倾斜角为 , 4 a
(C) ?

1 2

(D)-1

(9)阅读如图 1 所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果是 (A)242 1 (10) 函数 y ? x ? sin | x |, x ? [?? , ? ] 的大致图象是 π -π O -π (A) π x y π -π -π O -π (B) π x O -π (C) π x y π y -π O -π (D) π x π y (B)274 (C)275 (D)338 图

(11)在 ?ABC 中,有正弦定理:

a b c ? ? ? 定值,这个定值就是 ?ABC 的 sin A sin B sin C 外接圆的直径.如图 2 所示, ?DEF 中,已知 DE ? DF ,点 M 在直线 EF 上从左到右 运动 (点 M 不与 E 、F 重合) , 对于 M 的每一个位置, 记 ?DEM 的外接圆面积与 ?DMF 的外接圆面积的比值为 ? ,那么 (A) ? 先变小再变大 (B)仅当 M 为线段 EF 的中点时, ? 取得最大
(C) ? 先变大再变小 (D) ? 是一个定值



图2

(12)已知 a、b ? R, 且 2ab ? 2a ? 2b ? 9 ? 0 ,若 M 为 a ? b 的最小值,则约束条件
2 2 2 2

?0 ? y ? M 2 ? x 2 , ? ? 所确定的平面区域内整点(横坐标纵坐标均为整数的点)的个数为 ? x ? y ? ?M , ?x ? y ? M . ? ?
(A)9 (B)13 (C)16 (D)18

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题 考生都必须做答.第(22)题~第(23)题为选考题,考生根据要求做答.
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在 答题卡相应的横线上. ? ? ? ? 5 (13)已知向量 a ? (?1, 1) , b ? (n, 2) ,若 a ? b ? ,则 n ? . 3 (14)偶函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 3 对称, f (4) ?4 ,则 f (?2) = .
(15)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的 榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构) 啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,
?

图3

经 90 榫卯起来,如图 3,若正四棱柱体的高为 6 ,底面正方形的边长为1 ,现将该鲁班锁 放进 一个球形容器内, 则该球形容器的表面积的最小值为
2 2

. (容器壁的厚度忽略不计) .

(16)直线 l : x ? 4 y ? 2 与圆 C : x ? y ? 1 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,若直线 OA 、 OB 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,则 cos ? ? cos ? = (17) (小题满分 12 分)

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 已知递增数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? an ?n. (I)求 an ;

(II)设 bn ? an?1 ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (18) (本小题满分 12 分)

如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中, O ? AD ,AD∥BC,AB⊥AD, AO=AB=BC=1,PO= 2 , PC ? 3 . (I)证明:平面 POC⊥平面 PAD; (II)若 CD= 2 ,三棱锥 P-ABD 与 C-PBD 的体积分别为 V1 、 V2 , 求证 V1 ? 2V2 . (19) (本小题满分 12 分) 某次数学测验后,数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况,得到如下表数据:(单位: 人) 坐标系与参数方程 男同学 女同学 合计 为选 做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关? (II)经过多次测试后,甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”所用的时间为 区间 8 20 不等式选讲 8 合计 30 图4

(I)请完成题中的 2 ? 2 列联表;并根据表中的数据判断,是否有超过 97.5% 的把握认

3

,解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间 [6,8] 内一 [5, 7] 内一个随机值(单位:分钟) 个随机值(单位:分钟) ,试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲” 所用时间更长的概率.

n ? ad ? bc ? 附表及公式: K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P?K2 ? k?
k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(20) (本小题满分 12 分) 已知圆C过点 A( , 0) ,且与直线 l : x ? ? (I)求圆心 C 的轨迹方程;

3 4

3 相切, 4

??? ? 1 ???? ? OP ? OM , 3 ???? 1 ???? OQ ? ON ,证明直线 PQ 过定点,并求出该定点坐标和△APQ 面积的最小值. 3
(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ( x ? 2)e x ? a .( a ? R )

(II) O 为原点,圆心 C 的轨迹上两点 M、N(不同于点 O)满足 OM ? ON ? 0 ,已知

(I)试确定函数 f ( x ) 的零点个数; (II)设 x1 , x2 是函数 f ( x ) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 参考公式: (et ? x )'? ?et ? x (t为常数) 请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程

? x ? ?1 ? t cos? ( t 为参数) .以 O 为极点, x 轴的非负半轴 ? y ? 1 ? t sin ? 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ? cos? ? 2 .
已知直线 l 的参数方程为 ? (I)写出直线 l 经过的定点的直角坐标,并求曲线 C 的普通方程; (II)若 ? ?

?
4

,求直线 l 的极坐标方程,以及直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ?m | x ? 2 | . (I)若 m ? 1 ,求函数 f ( x) 的值域; (II)若 m ? ?1 ,求不等式 f ( x) ? 3x 的解集.

揭阳市 2016-2017 学年度高中三年级学业水平考试

数学(文科)参考答案及评分说明
4

一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.

一、选择题:
题号 答案 1 B 2 C
2

3 A
2

4 C

5 D

6 B
2 2

7 A

8 D

9 B

10 C

11 D

12 C

详细分析: (12)由 2ab ? 2a ? 2b ? 9 ? 0 结合 2ab ? a ? b 得

3(a2 ? b2 ) ? 9 ? a2 ? b2 ? 3 (当且仅当 a ? b 时等号成立)
故 M ? 3 ,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示,在区域内, 在 x 轴上整点有 7 个,在直线 x=1 上有 5 个,在 x=2 上有 3 个, 在 x=3 上有 1 个,共 16 个.

二、填空题:
题号 答案 详细分析: (16)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由三角函数的定义得: cos ? ? cos ? ? x1 ? x2 由? 13 14 4 15 16

1 3

41?

4 17

? x ? 4 y ? 2,
2 2

? x ? y ? 1. 三、解答题:


2 消去 y 得: 17 x ? 4 x ?12 ? 0 ,则 x1 ? x2 ?

4 4 ,即 cos ? ? cos ? ? . 17 17

2 (17)解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, 2S1 ? a1 ? 1 ,解得 a1 ? 1 ;--------------------------------------------1

2 2 当 n ? 2 时,由 2Sn ? an ? n ,得 2Sn?1 ? an ?1 ? n ?1 ,

两式相减,得 2 ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? an?1 ? 1 ,
2 2
2 即 ? an ? 1? ? an ?1 ? 0 ,即 (an ? an?1 ?1)(an ? an?1 ?1) ? 0 2

∵数列 ?an ? 为递增数列,∴ an ? an?1 ?1 ? 0 , ∴ an ? an?1 ? 1 ,------------------------------------------------------------------------------------------4 分 ∴ 数列 ?an ? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,故 an ? n ;---------------------------------6 分 (Ⅱ) bn ? (n ? 1)2 ,
n

Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? ? ? ? ? ??n ? 1? ? 2n ,
5

Tn =


2 ? 22 ? 3? 23 ??? n ? 2n ? ? n ?1? ? 2n?1 , -------------------------------------------8

两式相减,得- Tn ? 4 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? ?n ? 1? ? 2n ?1
n ?1 n ?1

? ? 4 ?1 ? 2 ? ? 4? ? ? n ? 1? ? 2 1? 2

? ?n ? 2n?1 , ------------------------------------------------------------------------11


n ? N * .-------------------------------------------------------12 分 Tn ? n ? 2n ?1,
(18)解: (Ⅰ)在四边形 OABC 中, ∵AO//BC,AO=BC,AB⊥AD, ∴四边形 OABC 是正方形,得 OC⊥AD,-----------------------2 分 在△POC 中,∵ PO ? OC ? PC ,∴OC⊥PO,-------4 分
2 2 2

又 PO ? AD ? O ,∴OC⊥平面 PAD, 又 OC ? 平面 POC,∴平面 POC⊥平面 PAD;-------------6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形 ABCO 为正方形,∴OC=AB=1, OC⊥OD-----------8 分 ∴

OD ? CD2 ? OC 2 ? 1







AD ? 2

,

-----------------------------------------------------9 分 设点 P 到平面 ABCD 的距离为 h ,∵平行线 BC 与 AD 之间的距离为 1,

1 1 S ?h AD ? 1 V1 3 △ ABD S△ ABD 2 AD ∴ ? ? ? ? ? 2 ------------------------------------------1 V2 1 S S BC △ BCD BC ? 1 △ BCD ? h 3 2
11 分 即 V1 ? 2V2 .---------------------------------------------------------------------------------------------12 分 其它解法请参照给分. (19)解: (1) 2 ? 2 列联表如下 坐标系与参数方程 男同学 女同学 合计 分 22 8 30 不等式选讲 8 12 20 合计 30 20 50 ------------------------------------------3

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8? 50 由表中数据得 K ? ? ? 5.556 ? 5.024 , 30 ? 20 ? 30 ? 20 9 查表可知,有超过 97.5% 的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别
2 2

有关; -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 分

6

(2)设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要 x 分钟, 解答一道“不等式选讲”需要 y 分钟, -------------------------------------------------------------7 分 记“甲在考试中选做‘坐标系与参数方程’比选做‘不等式选讲’所用时间更长”为 事件 A , 则总的基本事件构成区域 ?? x, y ? ?

? ?

?5 ? x ? 7 ? ? ,--------------------------------------------------9 ?6 ? y ? 8 ?

分 而满足事件 A 的基本事件构成区域为 ----------10 分

??x, y? x ? y, 5 ? x ? 7, 6? y ?8 ?



1 ?1?1 1 即图中阴影部分,由几何概型知 P ? A? ? 2 ? , 2? 2 8
即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做 “不等式选讲”所用时间更长的概率为

1 .……………12 分 8

(20)解: (Ⅰ)法一:由已知得圆心 C 的轨迹是以 A 为焦点,l 为准线的抛物线, 由 分 【法二:设圆半径为 R,圆心 C(x, y),则|AC|=R= | x ? ( ? ) | ,
2 2 2 即 ( x ? ) ? y = | x ? ( ? ) | ,化简得 y ? 3x

p 3 ? 得 y 2 ? 2 px ? 3x ,得圆心 C 的轨迹方程为 y 2 ? 3x ;-------------------------3 2 4 3 4

3 4

3 4

即圆心 C 的轨迹方程为 y 2 ? 3x ------------------------------------------------------------------3 分】 (Ⅱ)证明:依题意知 OM 的斜率 k 存在,且 k ? 0 ,设 OM 的方程为 y ? kx , ------------4 分 ∵OM⊥ON,则 ON 的方程为 y ? ? 由? 分 同理得 xN ? 3k ,
2

1 x, k

? y ? kx 3 2 2 得 k x ? 3x ,得 x M ? 2 , ------------------------------------------------------6 2 k ? y ? 3x

由已知得 x P ? 分

1 1 1 2 , x N ? k 2 ,∴ P ( 2 , ) , Q(k , ? k ) , ----------------------------8 2 k k k

7

∴ k PQ

1 k ? ? k ,直线 PQ 的方程为 y ? k ? ? k ( x ? k 2 ) , ? 1 k 2 ?1 k 2 ?1 k2 ? 2 k ?k ?

即 k ( x ? 1) ? (k 2 ? 1) y ? 0 ,∴直线 PQ 过定点(1,0) ,---------------------------------10 分 设B (1, 0) , 则 S ?APQ ?

1 1 1 1 1 1 1 1 | AB | ? | y P ? y Q |? ? ? | ? k | ? (| | ? | k |) ? ? 2 ? , 2 2 4 k 8 k 8 4 1 ∴△APQ 面积的最小值为 .---------------------------------------------------------------------12 分 4

【证法二:设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 的方程为 x ? ty ? m 由?

? x ? ty ? m 得 y 2 ? 3ty ? 3m ? 0 ,---------------------------------------------------------------------4 分 2 ? y ? 3x
2

则 ? ? 9t ? 12m ? 0 , 且 y1 ? y2 ? ?3t , y1 y2 ? ?3m ---------------------------------------------------5 分 ∵ OM ? ON ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 -----------------------------------------------------------------------6 分 即 分 ∴ MN 的方程为 x ? ty ? 3 ,则直线 MN 过定点 E ? 3, 0? ---------------------------------------------8 分 设 PQ 与 x 轴相交于点 F

???? ? ????

1 2 2 y1 y2 ? y1 y2 ? 0 ,解得 y1 y2 ? ?9 ,所以 ?3m ? ?9 ,解得 m ? 3 --------------------------- 7 9

??? ? 1 ???? ? ???? 1 ???? ? OP ? OM , OQ ? ON ,? PQ / / MN 3 3

| OF | | OP | 1 ? ? ,可得 OF ? 1 ,则 F ?1,0 ? , | OE | | OM | 3
故 PQ 过定点 F ?1,0 ? -------------------------------------------------------------------------------------10 分

? S? APQ ?

1 1 1 1 1 1 AF yP ? yQ ? ? ? ? y1 ? y2 ? 9t 2 ? 36 ? 2 2 4 3 24 4 1 ∴△APQ 面积的最小值为 .-------------------------------------12 分】 4
(21)解: (I)由 g ( x) ? 0 得 a ? (2 ? x)e ,令 g( x) ? (2 ? x)e ,
x x

函数 f ( x ) 的零点个数即直线 y ? a 与曲线 g( x) ? (2 ? x ) e x 的交点个数, ∵ g '( x) ? ?e ? (2 ? x)e ? (1 ? x)e ,-------------2 分
x x x

由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 ,∴函数 g ( x ) 在 (??,1) 单调递增, 由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 ,∴函数 g ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴当 x ? 1 时,函数 g ( x ) 有最大值, g( x)max ? g(1) ? e ,----------------------------------------3
8

分 又当 x ? 2 时, g ( x ) >0, g (2) ? 0 ,当 x ? 2 时 g ( x ) ? 0 , ∴当 a ? e 时,函数 f ( x ) 没有零点;----------------------------------------------------------------4 分 当 a ? e 或 a ? 0 时,函数 f ( x ) 有一个零点;------------------------------------------------------5 分 当 0 ? a ? e 时,函数 f ( x ) 有两个零点. ------------------------------------------------------------6 分 (II)证明:函数 f ( x ) 的零点即直线 y ? a 与曲线 g( x) ? (2 ? x)e x 的交点横坐标, 不妨设 x1 ? x2 ,由(I)知 x1 ? 1, x2 ? 1,得 2 ? x2 ? 1 , ∵函数 g( x) ? (2 ? x)e x 在 (??,1) 上单调递增, ∴函数 f ( x) ? ? g ( x) ? a 在 (??,1) 单调递减, 要证 x1 ? x2 ? 2 ,只需证 x1 ? 2 ? x2 , ------------------------------------------------------------7 分 ∴只需证 f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ) ,又 f ( x1 ) ? 0 ,即要证 f (2 ? x2 ) ? 0 ,---------------------8 分 ∵由 a ? g ( x2 ) 得 f (2 ? x2 ) ? ? x2e 分 令 h( x) ? ? xe 2? x ? ( x ? 2)e x ,则 h '( x) ? (1 ? x )( e x ? e 2? x) ,------------------------------10 分
x 2? x 当 x ? 1 时, e ? e , h '( x) ? 0 ,即函数 h( x ) 在 (1, ??) 上单调递减,

2? x2

( x2 ? 1 ) --------9 ? a ? ? x2e2? x2 ? ( x2 ? 2)e x2 ,

∴ h( x) ? h(1) ? 0 , ∴当 x2 ? 1 时, f (2 ? x2 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ? 2 .------------------------------------------------12 分 【证法二:由(Ⅰ)知, a ? 0 ,不妨设 x1 ? 1 ? x2 ,
x 2? x 设 F ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ( x ? 1) ,则 F ( x) ? ( x ? 2)e ? xe ,-----------------------------8



F ' ( x) ? (1 ? x)(e 2? x ? e x ) ,易知 y ? e 2? x ? e x 是减函数,
9

当 x>1 时, e

2? x

? e x ? e ? e ? 0 ,又 1-x<0, 得 F ' ( x) ? 0 ,

所以 F ( x) 在 (1, ? ?) 递增, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 f ( x) > f (2 ? x) .---------------------------10 分 由 x2 ? 1 得 f ( x2 ) > f (2 ? x2 ) ,又 f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ,所以 f (2 ? x2 ) ? f ( x1 ) , 由 g( x) ? (2 ? x)e x 在 (??,1) 上单调递增,得 f ( x) ? ? g ( x) ? a 在 (??,1) 单调递减, 又 2 ? x2 ? 1 ,∴ 2 ? x2 ? x1 ,即 x1 ? x2 ? 2 ,得证. ---------------------------------------12 分】 选做题: (22)解: (Ⅰ)直线 l 经过定点 (?1, 1) ,----------------------------------------------------------------2 分 由 ? ? ? cos? ? 2 得 ? 2 ? ( ? cos? ? 2) 2 , 得曲线 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ,化简得 y 2 ? 4 x ? 4 ;---5 分

? x ? ?1 ? ? ? ? ? ? (Ⅱ)若 ,得 ? 4 ? y ? 1? ? ?


2 t 2 ,的普通方程为 y ? x ? 2 , --------------------------------6 2 t 2

则直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos? ? 2 , ------------------------------------------------8 分 联立曲线 C : ? ? ? cos? ? 2 . 得 sin ? ? 1 ,取 ? ? 分 ( 23 )解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ------------------------------------------------1 分 ∵ | | x ? 1 | ? | x ? 2 | |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 , ------------------------------------------------3 分

?
2

,得 ? ? 2 ,所以直线 l 与曲线 C 的交点为 ( 2,

?
2

) . -----------10

? ?3 ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 3 ,函数 f ( x) 的值域为 [?3, 3] ;-------------------------------5
分 (Ⅱ)当 m=-1 时,不等式 f ( x) ? 3x 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 3x , ---------------------------------6 分 ①当 x ? ?1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ,解得 x ? 分

1 ,? x ? ?1 ;------------------------7 5

10

②当 ? 1 ? x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ,解得 x ? 1 ,? ?1 ? x ? 1 ;------------------8 分 ③当 x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ,解得 x ? ?1 ,所以无解;--------------------------- 9 分 综上所述,原不等式的解集为 ( ??, 1) . --------------------------------------------------------10 分

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