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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2课件:第4章 复数的有关概念 参考课件


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主题探究导学

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典型例题精析

知能巩固提升

一、选择题(每题5分,共15分) 1.若复数z=a+

bi(a,b∈R)对应的点位于实轴的上方,则( )

(A)b>0
(C)a>0

(B)a>0,b>0
(D)a<0,b>0

【解析】选A.实轴上方的点满足纵坐标大于0,即b>0.

2.设|z|=z,则(

)

(A)z是纯虚数
(B)z是实数

(C)z是正实数
(D)z是非负实数

【解析】选D.∵|z|≥0,∴z=|z|≥0.

3. 若复数 (3-m)+(m2-4)i 对应的复平面内的点位于第一象限,

则实数m的取值范围是(
(A)m<3 (B)m>2或m<-2 (C)2<m<3或m<-2 (D)2<m<3

)

【解析】选 C. 因为复数 (3-m)+(m2-4)i 对应的点位于第一象限, 所以 3-m>0 m2-4>0,解方程组可得2<m<3或m<-2,故选C.

二、填空题(每题5分,共10分) 4. 若复数 z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai 在复平面内所对应的点在 同一条直线上,则实数a=________. 【解题提示】先写出三个复数对应的复平面内的点,然后 利用斜率相等求a的值. 【解析】设复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),P2(1,-1), P3(-2,a),由已知可得 -5+1 = a+1 ,从而可解得a=5.

答案:5

3-1

-2-1

5. 复数z=(a2-2a+4)+(a2-2a+2)i(a∈R)对应的点的轨迹方程为 _________. 【解析】设复数z=x+yi(x,y∈R),则有

x=a2-2a+4
y=a2-2a+2,化简得y=x-2. 又x=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,

所以,点的轨迹方程为y=x-2(x≥3).
答案:y=x-2(x≥3)

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.已知复数z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若

z1>z2,求a的值.
【解析】∵z1>z2, ∴z1,z2都是实数且z1>z2. ∴ 2a2+3a=0 a2+a=0 -4a+1>2a 由①得a=0
3 或a=, 2

① ② ③, 由②得a=0或a=-1,

由③得6a-1<0.
由①②得a=0代入③成立. 因此a的值为0.

7.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i对 应的点Z:

(1)位于x轴上方;
(2)在直线y=x+7上. 【解析】(1)若点Z位于x轴上方,则有m2-2m-15>0,解得m>5

或m<-3.
(2)若点Z在直线y=x+7上,则有 m2-2m-15=(m2+5m+6)+7, 解得m=-4.

1.(5分)若复数z满足|z|=1,则|z-2|的最大值为(
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

)

【解析】选C.设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=1可得

x 2 +y 2 =1,

即x2+y2=1,x,y∈[-1,1].
则|z-2|=|(x-2)+yi|=
(x-2) 2 +y 2 =
(x-2) 2 +1-x 2 =

5-4x .

又因为x∈[-1,1],所以,当x=-1时,|z-2|有最大值,并且 最大值为3.

2.(5分)(a2+a+1)+(-2a2+5a-4)i(a∈R)对应的复平面内的点位

于(

)

(A)第一象限 (B)第二或第三象限 (C)第四象限 (D)与实数a的值有关 【解析】选C.因为a2+a+1=(a+
5 7 2 -2(a) <0,所以,该复数对应的复平面内的点位于 4 8 3 1 2 ) + 4 >0,-2a2+5a-4= 2

第四象限.

3.(5分)已知复数z1=a+i,z2=3+i,且满足|z1|>|z2|,则实数 a的取值范围是________. 【解析】因为|z1|>|z2|,所以有 a 2 +1> 32 +1 , 解得a>3或a<-3. 答案:a>3或a<-3

4.(15分)已知复数z=x+yi(x,y∈R),且满足 x2+y2+i=r2+(x+y)i,问实数r取何值时,这样的复数z:(1)有 一个?(2)有两个?(3)不存在? 【解析】由复数相等的条件,得 x2+y2=r2 x+y=1,

消去y,得2x2-2x+1-r2=0.
Δ=4-8(1-r2)=8r2-4. (1)当Δ=0时,x有唯一解,即复数z只有一个. 由8r2-4=0,得r=〒 ∴当r=
2 2 2 2

2 . 2

或r=-

时,这样的复数z只有一个.

(2)当Δ>0时,x有两个不同的解,即复数z有两个.
2 2 或r> . 2 2 2 2 ∴当r<或r> 时,这样的复数z有两个. 2 2

由8r2-4>0,得r<-

(3)当Δ<0时,方程无实根,即复数z不存在. 由8r2-4<0,得2 ∴当<r< 2 2 2 <r< . 2 2 2 时,这样的复数z不存在. 2


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