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2.4正态分布(二)


高二数学 选修2-3

2.4 正态分布(二)

旧知回顾
1 、正态曲线的定义:

y

x? ?

函数 f ( x) ?

1 2? ?

?

( x?? ) 2?
2

2

e

x ? (??,??)
称f( x)的图象称为正态曲线。式中的 实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示 总体的平均数与标准差。
y

x

2、标准正态总体的函数表示式
x 2

μ=0

σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

f ( x) ?

1 2?

?

e

2

x ? (??,??)

3.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:

P(a ? X ? b) ? ? ? ? ,? ( x)dx
a

b

则称为X 为正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分 布记作X~ N( μ,σ2).其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从 正态分布,则记作 X~ N( μ,σ2)
若 X是 一 个 随 机 变 量 , 对 任 给 区 间

Y

( a , b ], P ( a< X ? b ) 恰 好 是 正 态 密 度
曲 线 下 方 和 x 轴 ( a , b ]上 方 所 围 成 的 图 形的面积,我们就称X服从参数m 和s 的正态分布。


简 记 为 : X : N ( m, s



)

a

b

X

4、正态曲线的性质
y μ= -1 σ=0.5 y

? ? ?? ( x ) ?

1 2??

?

( x?? ) 2?
2

2

e

, x ? ( ??, ?? )
y μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ 2 π (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)若? 固定, 随 ? 值的变化而沿x轴平移, 故 ? 称为位置参数 (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 .σ越大,曲线越“矮 胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示 总体的分布越集中.

练习:
一台机床生产一种尺寸为10mm的零件,现从中抽 测10个,它们的尺寸分别如下(单位:mm):10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产零 件的尺寸 ? 服从正态分布,求正态分布的概率密度函 数式。

若数据无限增多且组距无限缩小,那么频率分布 直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线,我们称 此曲线为概率密度曲线.
概率密度曲线的形状特征.

频率 组距

概率密度曲线

“中间高,两头低, 左右对称”

总体在区间 ( a , b )内取值的概率

a

b

产品 尺寸 (mm)

正态曲线下的面积规律
? X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 ? 对称区域面积相等。

S(-?,-X)

S(X,?)=S(-?,-X)

?

正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。

S(-x1, -x2)

S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

-x1 -x2

?

x2 x1

5、特殊区间的概率:
若X~N ( ? , ? ) ,则对于任何实数a>0,概率
2

? ?a

P(? ? a ? ? ≤ ? ? a) ?

? ?a

?

? ? ,? ( x )dx

为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 ? 和 ? 而言,该面 积随着 ? 的减少而变大。这说明 ? 越小, 落在区间 ( ? ? a , ? ? a ] 的概率越大,即X集中在 ? 周围概率越大。

特别地有 x=μ
P ( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0 .6 8 2 6, P ( ? ? 2 ? ? X ? ? ? 2 ? ) ? 0 .9 5 4 4, P ( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0 .9 9 7 4 .

?-a

?+a





取值概率 68.3% 95.4% 99.7%

(μ -σ ,μ +σ ] (μ -2σ ,μ +2σ ] (μ -3σ ,μ +3σ ]

我们从上图看到,正态总体在 ? ? ? 2? , ? ? 2? ?以外取 值的概率只有4.6%,在 ? ? ? 3? , ? ? 3? ? 以外取值的概率只 有0.3 %。 当 a ? 3? 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小(一般不超过5 % ),通常 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3? 原则.

1、在某次数学考试中,考生的成绩 态分布,即 ? ~N(90,100).

? 服从一个正

(1)试求考试成绩 ? 位于区间(70,110)上的概率是 多少? (2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人? 练习:1、已知一次考试共有60名同学参加,考生的 2 (1 0 0, 5 ),据此估计,大约应有57人的分 成绩X~ 数在下列哪个区间内?( C ) A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

2、已知X~N (0,1),则X在区间 ( ? ? , ? 2 ) 内取值的概率 等于( D )
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 ,

3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P ( X ? 0 )=
P (?2 ? X ? 2) =

0.9544

.

4、若已知正态总体落在区间 (0 .3, ? ? ) 的概率为0.5,则 相应的正态曲线在x= 0.3 时达到最高点。

5、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落 在(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学 1 期望是 。

2、已知

? ~ n (0, ? ,且 )
2

P ( ? 2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,

则 P (? ? 2 ) 等于( A )

A.0.1

B. 0.2

C. 0.3

D.0.4

3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
y

4、如图,为某地成年男性 体重的正态曲线图,请写出 其正态分布密度函数,并求 P(|X-72|<20).

1 1 0 2?

x ? (?? , ?? )

72(kg)

x

5、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态 分布 N (7 0,1 0 2,如果规定低于60分为不及格,求: )
(1)成绩不及格的人数占多少?

(2)成绩在80~90内的学生占多少?


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