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河北省唐山市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题


唐山市 2015-2016 学年度高三年级第一次模拟考试理科数学 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要 求. (1)设 A,B 是全集 I={1,2,3,4}的子集,A={l,2},则满足 A ? B 的 B 的个数是 (A)5 (2)复数 (B)4 (C)3 (D)2

1-

i 的虚部为 1 ? 2i 1 (A) 5
(A)

(B)

3 5
(C)

(C)一

1 5
(D)

(D)一

3 5

(3)已知向量 a,b 满足 a·(a-b)=2,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为

? 6

(B)

? 3

5? 6
(C) 60

2? 3

(4) (x-2y)6 的展开式中,x4y2 的系数为 (A) 15 (B) -15 (D) -60 (5) A( 2 ,1)为抛物线 x2=2py(p>0)上一点,则 A 到其焦点 F 的距离为 (A)

3 2

(B)

2+

1 2

(C) 2

(D)

2 +1

(6)执行右侧的程序框图,输出 S 的值为 (A) ln4 (B) ln5 (C) ln 5-ln4 (D) ln 4-ln 3

?y ? 2 ? 0 y ? (7)若 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 的最大值是 x ?x ? y ? 5 ? 0 ?
(A)

3 2

(B) 1

(C)2

(D)3

(8)Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,满足 al=l,Sn+2=4Sn+3,则{an}的公比为 (A) -3 (B)2 (C)2 或-3 (D)2 或-2 (9)己知 A(x1,0),B(x2,1)在函数 f(x)=2sin( ? x+ ? ) ( ? >0)的图象上,|x1-x2|的最小值 (A)

? ,则 ? = 4

3 2
(B) 8 ?

(B)

4 3
15 ? 2

(C)l

(D)

2 3

(10)某几何体的三视图如右图所示,则其体积为 (A)

17 ? 2

(C)

(D) 9 ?

(11)

? 为双曲线

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的右焦点,若 ? 上存在一点 P 使得△OPF 为等边三角形(O 为坐标原 a 2 b2

点) ,则 r 的离心率 e 的值为

(A)2

(B)

3

(C) .

3 ?1 2

(D)

3 +1

(12)数列{an}的通项公式为 an= (1 ? ①{an}为先减后增数列; 其中正确命题的序号为 (A)①③ (B)①④

1 n ?1 ) ,关于{an}有如下命题: n ②{an}为递减数列; ③ ?n ? N *, an ? e
(C)②③ 第 II 卷 (D)②④

④ ?n ? N*, an ? e

本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第(22)题~第(24) 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)在等差数列{an}中,a4=-2,且 al+a2+...+a10=65,则公差 d 的值是 (14) 1000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N(530, 正态总体 在区间 502), 则成绩在 。 生人数约为____. (注: 630 分以上的考

内取值的概率分别为 0.683,0.954,0.997)

(15)已知 f(x)为奇函数,函数 g(x)与 f(x)的图象关于直线 y=x+l 对称,若 g(1)=4,则 f(一 3)=____. (16)一个几何体由八个面围成,每个面都是正三角形,有四个顶点在同一平面内且为正方形,从该几何体的 12 条 棱所在直线中任取 2 条,所成角为 60°的直线共有 对.

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17) - (21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在右图所示的四边形 ABCD 中,∠BAD=90°,∠BCD=120°,∠BAC=60°,AC=2, 记∠ABC=θ 。 (I)求用含θ 的代数式表示 DC; (II)求△BCD 面积 S 的最小值. (18)(本小题满分 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,∠BAD=号,M 为 BB1 的中点, Ol 为上底面对角线的交点. (I)求证:O1M⊥平面 ACM; ( II)求 AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值. (19)(本小题满分 12 分) 某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种, 方案一:每满 200 元减 50 元: 方案二:每满 200 元可抽奖一次.具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲箱,装有 2 个红球、2 个白 球的乙箱,以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随机摸出 1 个球,所得结果和享受的优惠如下表: (注:所有 小球仅颜色有区别)

(I)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率; (II)若某顾客购物金额为 320 元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算?

(20)(本小题满分 1 2 分) 在△ABC 中,A(-l,0),B(1,0),若△ABC 的重心 G 和垂心 H 满足 GH 平行于 x 轴( G,H 不重合) . (I)求动点 C 的轨迹 ? 的方程; (II)己知 O 为坐标原点,若直线 AC 与以 O 为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求此时直线 AC 的方程. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2x-ex+1. (I)求 f(x)的最大值; ( II)己知 x∈(0,1),af(x)<tanx,求 a 的取值范围. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一 个题目计分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 与圆 O 相切于点 B,CD 为圆 O 上两点,延长 AD 交圆 O 于点 E,BF ∥CD 且交 ED 于点 F (I)证明:△BCE∽△FDB; ( II)若 BE 为圆 O 的直径,∠EBF=∠CBD,BF=2,求 AD·ED. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.半圆 C(圆心为点 C)的极坐标 方程为ρ =2sinθ ,θ ∈(

? 3? , ). 4 4

(I)求半圆 C 的参数方程: (II)直线,与两坐标轴的交点分别为 A,B,其中 A(O,-2),点 D 在半圆 C 上,且直线 CD 的倾斜角是直线, 倾斜角的 2 倍,若△ABD 的面积为 4,求点 D 的直角坐标. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=lx+1|-a|x-l|. (I)当 a=-2 时,解不等式 f(x)>5; (II)若(x)≤a|x+3|,求 a 的最小值.

唐山市 2015—2016 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题: A 卷:CADCB ACBDA B 卷:BADCA ACBDB 二、填空题: (13)3 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)在△ADC 中,∠ADC=360°-90°-120°-θ =150°-θ , (14)23 (15)-2 (16)48 DC DC

DC AC DC 2 由正弦定理可得 = ,即 = , sin∠DAC sin∠ADC sin30° sin(150°-θ )
1 于是:DC= . sin (150°-θ ) …5 分

AC BC 3 (Ⅱ)在△ABC 中,由正弦定理得 = ,即 BC= , sin θ sin 60° sin θ
1 由(Ⅰ)知:DC= , sin (150°-θ ) 3 3 那么 S= = 4sin θ ·sin (150°-θ ) 2sinθ cosθ +2 故 θ =75°时,S 取得最小值 6-3 (18)解: (Ⅰ)连接 AO1,BD 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,所以 BB1⊥AC, ∵ 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∴ AC⊥BD, 又∵ BD∩BB1=B, ∴ AC⊥平面 DBB1D1, 又∵ O1M?平面 DBB1D1, ∴ AC⊥O1M. ∵ 直四棱柱所有棱长均为 2,∠BAD= ∴ BD=2,AC=2 ∴ ? ,M 为 BB1 的中点, 3
A D B A1 D1 C1 B1 M C

3sin2θ



3 3+2sin(2θ -60°)



3.

…12 分

O1

3,B1M=BM=1,

O1M2=O1B12+B1M2=2,AM2=AB2+BM 2=5,O1A2=O1A12+A1A2=7,
. …6 分

∴ O1M2+AM2=O1A2,∴ O1M⊥AM. 又∵ AC∩AM=A,∴ O1M⊥平面 ACM. (Ⅱ)设 BD 交 AC 于点 O,连接 OO1, 以 O 为坐标原点,OA,OB,OO1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 A( 3,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),M(0,1,1), → =(- 3,-1,2),→ → =(0,2,1), AD AD=(- 3,-1,0),DM 1

? ?n·→ AD=0, ?- 3x-y=0, 设平面 ADM 的一个法向量 n=(x, y, z), 则? 即? → ? ?n·DM=0, ?2y+z=0,
令 x=1,得 n=(1,- 3,2 3).设 AD1 与平面 ADM 所成角为?,
A1

D1

z O1 B1 M C1

→ ·n| |AD 4 3 6 1 → 则 sin ?=|cos?AD1,n?|= = = , → ||n| 2 2×4 4 |AD 1 即 AD1 与平面 ADM 所成角的正弦值为 6 4 . …12 分
x A

D O B y

C

3×2×1 3 (19)解: (Ⅰ)记顾客获得半价优惠为事件 A,则 P(A)= = , 4×4×4 32 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率 3 183

P=1-P(- A )P(- A )=1-(1-

32

)2 =

.…5 分 1024

(Ⅱ)若选择方案一,则付款金额为 320-50=270 元. 若选择方案二,记付款金额为 X 元,则 X 可取 160,224,256,320. 3

P(X=160)= P(X=224)= P(X=256)= P(X=320)=

, 32 3×2×3+3×2×1+1×2×1 13 = , 4×4×4 32 3×2×3+1×2×3+1×2×1 13 = , 4×4×4 32 1×2×3 3 = , 4×4×4 32

3 13 13 3 则 E(X)=160× +224× +256× +320× =240. 32 32 32 32 ∵ 270>240,∴第二种方案比较划算. …12 分

(20)解: (Ⅰ)由题意可设 C (x,y),则 G(

x
3
2



y
3

),H(x,

y ).→ BH =(x-1, ),→ AC =(x+1,y), 3 3
2

y

y y 因为 H 为垂心,所以→ BH ?→ AC =x2-1+ =0,整理可得 x2+ =1, 3 3
即动点 C 的轨迹 Г 的方程为 x2+ =1(x·y≠0) . 3

y2

…5 分

(Ⅱ)显然直线 AC 的斜率存在,设 AC 方程为 y=k(x+1),C(x0,y0).

y2 3-k2 6k 3-k2 2k 将 y=k(x+1)代入 x2+ =1 得(3+k2)x2+2k2x+k2-3=0, 解得 x0= , y , 则 H ( , ). 0= 3 3+k2 3+k2 3+k2 3+k2
原点 O 到直线 AC 的距离 d= , 1+k2 | k|

k2 9-2k2+k4 依题意可得 = ,即 7k4+2k2-9=0,解得 k2=1,即 k=1 或-1, 1+k2 9+6k2+k4
故所求直线 AC 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1. …12 分

(21)解: (Ⅰ)f ?(x)=2-ex,

x<ln 2 时,f ?(x)>0; x>ln 2 时,f ?(x)<0,
所以 f (x)在(-∞,ln 2 )上单调递增,在(ln 2 ,+∞)上单调递减, 则当 x=ln 2 时,f (x)取得最大值 2ln 2-1. 且 f (0)=0,f (1)=3-e>0,所以此时 f (x)>0, 因为 tan x>0,所以当 a≤0 时,af (x)≤0<tan x. …6 分 1 1 x)= 当 a>0 时,令 g (x)=tan x-af (x),则 g ?(x)= - a (2 - e +a(ex-2), cos2x cos2x 故 g ?(x)在(0,1)上单调递增且 g ?(0)=1-a. (ⅰ)当 0<a≤1 时,g ?(0)≥0,g ?(x)≥0,所以 g (x)在(0,1)上单调递增, 又 g (0)=0,所以此时 g (x)>0,即 af (x)<tan x 成立; (ⅱ)当 a>1 时,g ?(0)<0,g ?(1)>0,所以存在 x0∈(0,1)使得 g ?(x0)=0, 即 x∈(0,x0)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减,又 g (0)=0,所以此时 g (x)<0, 与 af (x)<tan x 矛盾; 综上,a 的取值范围是 a≤1. (22)解: (Ⅰ)因为 BF∥CD,所以∠EDC=∠BFD, 又∠EBC=∠EDC,所以∠EBC=∠BFD, 又∠BCE=∠BDF,所以△BCE∽△FDB. (Ⅱ)因为∠EBF=∠CBD,所以∠EBC=∠FBD, 由(Ⅰ)得∠EBC=∠BFD,所以∠FBD=∠BFD, 又因为 BE 为圆 O 的直径,所以△FDB 为等腰直角三角形,BD= 2 2 …4 分 …12 分 …4 分 (Ⅱ)x∈(0,1)时,f (x)在(0,ln 2 )上单调递增,在(ln 2 ,1)上单调递减,

BF= 2,

因为 AB 与圆 O 相切于点 B,所以 EB⊥AB,即 AD·ED=BD2=2. …10 分 (23)解: (Ⅰ)半圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1(y>1) , 它的参数方程是?

?x=cos φ ,

?y=1+sin φ ,

φ 是参数且 φ ∈(0,π).

…4 分

(Ⅱ)设直线 l 的倾斜角为 α , 则直线 l 的方程为 y=xtan α -2, D (cos2α ,1+sin2α ),2α ∈(0,π). 2 |AB|= , sin α 点 D 到直线 l 的距离为|sin α cos2α -cos α sin2α -3cos α |=|3cos α -sin α cos2α +cos α sin2α |=3cos α +sin α , 由△ABD 的面积为 4 得 tan α =1,即 α = π 4 ,故点 D 为 (0,2). …10 分

?1-3x, x<-1, (24)解: (Ⅰ)当 a=-2 时,f (x)=?3-x, -1≤x≤1, ?3x-1, x>1.
由 f (x)的单调性及 f (- 4 3 )=f (2)=5,得 f (x)>5 的解集为{x|x<- 4 3 ,或 x>2}. …5 分

|x+1| (Ⅱ)由 f (x)≤a|x+3|得 a≥ , |x-1|+|x+3| 由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得 故 a 的最小值为 1 2 . 1 1 ≤ ,得 a≥ . (当且仅当 x≥1 或 x≤-3 时等号成立) |x-1|+|x+3| 2 2 …10 分 |x+1|


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