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高中数学


不 【知识精要】 形如 x+y=4,x+y+z=3, 定 方 程 1 1 ? =1 的方程叫做不定方程,其中前两个方程又叫做一次 x y 不定方程.这些方程的解是不确定的,我们通常研究(1)不定方程是否有解?(2)不定 方程有多少个解?(3)求不定方程的整数解或正整数解. 对于二元一次不定方程问题,我们有以下两个定理: 定理 1.二元一次不定方程 ax+by=c, (1)若其中(a,b) c,则原方程无整数解; (2)若(a,b)=1,则原方程有整数解; (3)若(a,b)|c,则可以在方程两边同时除 以(a,b) ,从而使原方程的一次项系数互质,从而转化为(2)的情形. 如:方程 2x+4y=5 没有整数解;2x+3y=5 有整数解. ? x ? x0 ? x ? cx 0 定理 2.若不定方程 ax+by=1 有整数解 ? ,则方程 ax+by=c 有整数解 ? , ? y ? y0 ? y ? cy 0 ? x ? cx 0 ? bk 此解称为特解.方程方程 ax+by=c 的所有解(即通解)为 ? (k 为整数) . ? y ? cy 0 ? ak 对于非二元一次不定方程问题,常用求解方法有: (1)恒等变形.通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形,使之易于求解; (2)构造法.先利用恒等式构造一些特解,再进一步证明不定方程有无穷多组解; (3)估算法.先缩小方程中某些未知数的取值范围,然后再求解. 【例题精讲】 一 二元一次不定方程 例 1.求方程 4x+5y=21 的整数解. ? x ? ?1 ? x ? ?21 解:因为方程 4x+5y=1 有一组解 ? ,所以方程 4x+5y=21 有一组解 ? . ? y ?1 ? y ? 21 ? x ? 5k 又因为方程 4x+5y=0 的所有整数解为 ? (k 为整数) , ? y ? ?4k ? x ? ?21 ? 5k 所以方程 4x+5y=21 的所有整数解为 ? (k 为整数) . ? y ? 21 ? 4k ? x ? ?1 说明:本题也可直接观察得到方程 4x+5y=21 的一组特解 ? ,从而得到 4x+5y=21 ? y ?5 ? x ? ?1 ? 5k 的通解 ? (k 为整数) . ? y ? 5 ? 4k 练习 1.求方程 5x+3y=22 的所有正整数解. ? x ? ?1 解:方程 5x+3y=1 有一组解为 ? ? y?2 ? x ? ?22 所以方程 5x+3y=22 有一组解为 ? ? y ? 44 ? x ? 3k 又因为 5x+3y=0 的所有整数解为 ? ,k 为整数 ? y ? ?5k ? x ? 3k ? 22 所以方程 5x+3y=22 的所有整数解为 ? ,k 为整数 ? y ? ?5k ? 44 22 ? ?k ? 3 ? 3k ? 22 ? 0 ?x ? 2 由? 解得 ? ,所以 k=8,原方程的正整数解为 ? . 44 ?? 5k ? 44 ? 0 ?y ? 4 ?k ? 5 ? 说明:由此题可见,求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解(通 解) ,然后再求其中的正整数解.这通常需要解不等式组求出通解中 k 的取值范围. 若一次不定方程的特解不易观察得出,我们可以用辗转相除法求特解.下面通过例题 说明这种方法. 例 2.求方程 63x+8y=-23 的整数解. 解: (1)用 x、y 中系数较大者除以较小者.63=8× 7+7. (2)用上一步的除数除以上一步的余数.8=7× 1+1 (3)重复第二步

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