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期末复习——三角


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考点一:高考中三角函数常见的基本问题
考向:三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、特 殊角的三角函数值等.

例 1 (1)[2013· 四 川 卷 ] 设 sin2α = - sinα , ?π ? ? ? α∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ?

(2)已知 A(xA,yA)是单位圆(圆心在坐标原点 O) 上任意一点,将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30°到 OB,交单位圆于点 B(xB,yB),则 xA-yB 的最大值为 ( ) 3 1 A. 2 B. C.1 D. 2 2
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考向二

三角函数的图像

考向:根据三角函数的图像求函数的解析式,根据函数 的解析式确定函数图像,利用三角函数图像解决问题等.

例 2.函数 y=sin(π x+φ)(φ>0)的部分图像如图所示,设 P 是图像的最高点,A,B 是图像与 x 轴的交点,记 ∠APB=θ,则 sin2θ 的值是( ) 16 63 A. B. 65 65 16 16 C.- D.- 63 65

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考向三:三角函数的性质

考向:三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值.
例 3 (1)[2013· 湖北卷] 将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的 图像向左平移 m(m>0)个单位长度后, 所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) π π π 5π A. B. C. D. 12 6 3 6 (2)若函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(x∈R, ω>0)满足 π f(α)=-2,f(β)=0,且 |α- β|的最小值为 ,则函数 f(x) 2 的单调增递区间为____________________.
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考向四

三角函数的性质与图像的综合应用

考向:以解答题的形式考查三角函数图像与性质 的综合问题. 2ω x 例 4 函数 f(x)=6cos + 3sin ω x-3(ω>0)在一个周期 2 内的图像如图所示,A 为图像的最高点,B,C 为图像与 x 命 题 轴的交点,且△ABC 为正三角形. 考 (1)求函数 f(x)的解析式; 向 探 (2)求函数 f(x)的单调递增区间和对称中心. 究

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示例 [2013· 新课标全国卷 Ⅱ] 函数 y = cos(2x + π φ)(-π ≤φ <π )的图像向右平移 个单位长度后, 与函 2 5π ? ? [答案] 6 π? ? 数 y=sin?2x+ ?的图像重合,则φ =________. 3? ?

π [解析] 由已知, y=cos(2x+φ)的图像向右平移 个单位 2 长度后得到函数 y=cos(2x-π+φ)=-cos(2x+φ)的图像. ? ?π 5π π? π? ? ? ? ? y=sin?2x+ ?=-cos? +2x+ ?=-cos2x+ .上 6 3 2 3 ? ? ? ? 5π 述两个函数图像重合,比较得 φ= 6 .

—— 体验高考 ——
(2011新课标全国卷) 已知角?的顶点和原点重合, 始边与x轴正半轴重合,终边 在直线y ? 2 x上,则 tan ? ? ____ .

——主干知识 ——
? 三角函数 的定义 关键词:始边、终 边、单位圆、三角 函数的定义,如①.

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—— 体验高考 ——
2. [2012· 辽宁卷改编] 若 sin α - cos α = 2 , α∈(0 , π ) , 则 tan α ②= ________.

——主干知识 ——
? 同角三角 函数关系 关键词:平方 关系、商数关系, 如②.

[答案] -1
[解析] 已知式两端平方可得 1- 3π sin 2α=2, 即 sin 2α=-1, 所以 α= 4 , 所以 tan α=-1.或者把已知与 sin2α+ cos2α=1 联立求出 sin α,cos α的值,
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—— 体验高考 —— 3 . [2012· 天津卷改编 ] 将函数 f(x) = sin ω x(ω>0) 的 图 像 向 右 ③π 平移 个单位长度,所得图像经 4 ?3π ? ? ? 过点 ? ,则 ω 的最小值是 , 0 ? ? 4 ? ________.
[答案] 2

——主干知识 ——
? 图像平移 变换 关键词: 平移、 左加右减、只变换 x,如③.

π [解析] 函数 f(x)的图像向右平移 4 π 个单位长度得到函数 g(x)=f(x- )= 4

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——
? 图像平移 变换 关键词: 平移、 x,如③.

π ωπ 左加右减、只变换 sinω(x- 4 )=sin(ωx- 4 )的图像, 3π 因为此时函数图像过点( 4 ,0) ,所以 3π π 3π π sin ω( 4 - 4 )=0,即 ω( 4 - 4 ) = 2 =kπ(k∈Z),所以 ω=2k(k∈Z), 又 ω>0,所以 ω 的最小值为 2.

ωπ

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

4. [2012· 新课标全国卷改编] 已知 ? 函数图像 π 5π 关键词:相邻 ω>0,0<φ<π ,直线 x= 4 和 x= 4 是 函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图像的两条相 对称轴、周期、最 ④ 邻的 对称轴 ,则 φ=________. 值,如④. π [答案] 4 π 5π π [解析 ] 由题设知 = 4 - 4 ,∴ω= ω

π π π 1,∴ +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ+ 4 2 4 π (k∈Z).∵0<φ<π,∴φ= . 4

—— 体验高考 —— 5 . [2012· 新课标全国卷改编 ] 已 ? π? ? 知 ω>0 , 函 数 f(x) = sin ?ω x+ ? 在 ? 4? ? ?π ? ⑤ ? ? 上 单调 递减,则 ω 的取值范 , π ?2 ? ? ? 围是________.
[答案]
?1 5? ? , ? ?2 4?

——主干知识 ——
? 单调性 关键词: 单调、 取值范围,如⑤.

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—— 体验高考 ——
π [解析] 由题意,ω(π- 2 )≤π?ω π π π π ≤2, (ωx+ )∈[ ω+ ,πω+ ]? 4 2 4 4

——主干知识 ——
? 单调性 关键词: 单调、 取值范围,如⑤.

π 3π π π π [2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 ]得 2 ω+ 4 ≥2kπ+ 2 , π 3π 1 π ω + 4 ≤ 2k π+ 2 ? ω ≥ 4k + 2 , ω≤2k 5 1 5 + .又因为 0<ω≤2,所以 ≤ω≤ . 4 2 4

—— 体验高考 ——
6.[2013· 山东卷改编] 将函数 y= sin(2x+φ)(0<φ<π )的图像沿 x 轴向左 π 平移 8 个单位长度后,得到一个

——主干知识 ——
? 奇偶性 关键词:图像 平移、偶函数、奇

偶函数⑥ 的图像,φ=________. 函数,如⑥. π [答案] 4 [解析] 把函数 y=sin(2x+φ)(0<φ<π)
π 的图像向左平移 8 个单位得到的图像的解 π 析式是 y=sin2x+ 4 +φ(0<φ<π),该函数 是偶函数的充要条件是 π π + φ = k π+ , 4 2

π k∈Z, 即 φ=kπ+ 4 , k∈Z.又因为 0<φ<π, 所以 φ= π . 4


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