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高考数学总复习经典测试题解析版12.7 正态分布


12.7 正态分布
一、选择题 1.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.6826,则 P(X>4) =( ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 解析 通过正态分布对称性及已知条件得 1- 1-0.6826 P(X>4)= = =0.1587,故选 B. 2 2 答案 B 2. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ) , 则函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? ? 不存在零点的 概率为( 1 A. 4 ) B.
1 3 1 2 2 3

C.

D.

解析 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? ? 不存在零点,则 ? ? 4 ? 4? ? 0, ? ? 1,
1 因为 ? ~ N (1, ? 2 ) ,所以 ? ? 1, P ?? ? 1? ? . 2 答案 C 3.以 Φ (x)表示标准正态总体在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量 ξ

服从正态分布 N(μ ,σ 2),则概率 P(|ξ -μ |<σ )等于( A.Φ (μ +σ )-Φ (μ -σ ) ?1-μ ? ? C.Φ ? ? σ ?

).

B.Φ (1)-Φ (-1) D.2Φ (μ +σ )

? ξ -μ ? |<1?=Φ (1)-Φ (-1). 解析 由题意得,P (|ξ -μ |<σ )=P?| σ ? ? 答案 B 4.已知随机变量 X~N(3,22),若 X=2η +3,则 D(η )等于( A.0 B.1 C.2 D.4 ).

解析 由 X=2η +3,得 D(X)=4D(η ) ,而 D(X)=σ 2=4,∴D(η )=1. 答案 B 5.标准正态总体在区间(-3,3)内取值的概率为( A.0.998 7 B.0.997 4 C.0.944 ). D.0.841 3

解析 标准正态分布 N(0,1),σ =1,区间(-3,3),即(-3σ ,3σ ),概率

P=0.997 4.

答案 B 6. 已知三个正态分布密度函数 φ i(x)= 的图象如图所示 ,则( ). 1 e- 2π σ i

x-μ

2

2

i i

(x∈R, i=1,2,3)

A.μ 1<μ 2=μ 3,σ 1=σ 2>σ C.μ 1=μ 2<μ 3,σ 1<σ 2=σ

3

B.μ 1>μ 2=μ 3,σ 1=σ 2<σ D.μ 1<μ 2=μ 3,σ 1=σ 2<σ
3

3

3

解析 正态分布密度函数 φ 2(x)和 φ 3(x)的图象都是关于同一条直线对称, 所以 其平均数相同,故 μ 2=μ 3,又 φ 2(x)的对称轴的横坐标值比 φ 1(x)的对称轴的 横坐标值大,故有 μ 1<μ 2=μ 3.又 σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线 越“瘦高”,由图象可知,正态分布密度函数 φ 1(x)和 φ 2(x)的图象一样“瘦 高”,φ 3(x)明显“ 矮胖”,从而可知 σ 1=σ 2<σ 3. 答案 D 1? ? 7. 在正态分布 N?0, ?中, 数值前在(-∞, -1)∪(1, +∞)内的概率为( 9? ? A.0.097 B.0.046 1 3 C.0.03 D.0.0026 ).

解析 ∵μ =0,σ =

∴ P(X < 1 或 x > 1) = 1 - P( - 1≤x≤1)= 1 - P(μ - 3σ ≤X≤μ + 3σ ) = 1 - 0.997 4=0.002 6. 答案 D 二、填空题 8. 随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ 2),已知 P(ξ <0)=0.3,则 P(ξ <2)= ________.

答案 0.7 9. 某班有 50 名学生, 一次考试后数学成绩 ξ (ξ ∈N)服从正态分布 N(100,102), 已知 P(90≤ξ ≤100)= 0.3 ,估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为

________. 解析 由题意知,P(ξ >110)= 1-2P 2 ξ =0.2,∴该班学生数学

成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50=10. 答案 10 10.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ 2)(σ >0).若 X 在(0,1) 内取值的概率为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为________. 解析 ∵X 服从正态分布(1,σ 2),∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为 0.4.∴X 在(0,2)内取值概率为 0.4+0.4=0.8 答案 0.8 11.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),记 Ф (x)=P(ξ <x),给出下列结论: ①Φ (0)=0.5; ②Φ (x)=1-Φ (-x);③P(|ξ |<2)=2Φ (2)-1.

则正确结论的序号是________. 答案 ①②③ 12.商场经营的某种包装大米的质量(单位:kg)服从正态分布 X~N(10,0.12), 任选一袋这种大米,质量在 9.8~10.2 kg 的概率是________. 解析 P(9.8<X<10.2)=P(10-0.2<X<10+0.2)=0.954 4. 答案 0.954 4 三、解答题 13.某 人乘车从 A 地到 B 地,所需时间(分钟)服从正态分布 N(30,100),求此人 在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率. 解析 由 μ =30,σ =10,P(μ -σ <X≤μ +σ )=0.682 6 知, 此人在 20 分钟至 40 分钟到达目的地的概率为 0.682 6, 又由于 P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.954 4, 所以此人在 10 分钟至 20 分钟和 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为 0.954 4-0.682 6=0.271 8,由正态曲线关于直线 x=30 对称得此人在 40 分钟 至 50 分钟到达目的地的概率为 0.135 9. 14.若一批白炽灯共有 10 000 只,其光通量 X 服从正态分布,其概率密度函数 是 φ
μ ,σ (x)=

1 e- 6 2π

x-
72

2

,x∈(-∞,+∞),试求光通量在下列范

围内的灯泡的个数. (1)209-6~209+6; 解析 由于 X 的概率密度函数为 1 φ μ ,σ (x)= e- 6 2π (2)209-18~209+18.

x-
72

2

,x∈(-∞,+∞),∴μ =209,σ =6.

∴μ -σ =209-6,μ +σ =209+6. μ -3σ =209-6×3=209-18, μ +3σ =209+6×3=209+18. 因 此光通量 X 的取值在区间(209-6,209+6), (209-18,209+18)内的概率应 分别是 0.682 6 和 0.997 4. (1)于是光通量 X 在 209-6 ~209+6 范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.682 6= 6 826. (2)光通量在 209-18~209+18 范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.997 4=9 974. 15.在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从正态分布,即 ξ ~N(100,100),已 知满分为 150 分. (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(80,120]内的概率; (2)若这次考试共有 2 000 名考生参加,试估计这次考试及格(不小于 90 分)的人 数. 解析 (1)由 ξ ~N(100,100)知 μ =100,σ =10. ∴P(80<ξ ≤120)=P(100-20<ξ ≤100+20)=0.954 4, 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为 0.954 4. (2)P(90<ξ ≤110)=P(100-10<ξ ≤100+10) =0.682 6, 1 ∴P(ξ >110)= (1-0.682 6)=0.158 7, 2 ∴P(ξ ≥90)=0.682 6+0.158 7=0.841 3. ∴及格人数为 2 000×0.841 3≈1 683(人). 16 .在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布

N(60,100),已知成绩在 90 分以上的学生有 13 人.
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人?

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生,问受奖学生的分数线是多少? 解析 设学生的得分情况为随机变量 X,X~N(60,100). 则 μ =60,σ =10. (1)P(30<X≤90)=P(60-3×10<X≤60+3×10)=0.997 4. 1 ∴P(X>90)= [1-P(30<X≤90)]=0.001 3 2 ∴学生总数为: 13 =10 000(人). 0.001 3

(2)成绩排在前 228 名的学生数占总数的 0.022 8. 设分数线为 x.则 P(X≥x0)=0.022 8. ∴P(120-x0<x<x0)=1-2×0.022 8=0.954 4. 又知 P(60-2×10<x<60+2×10)=0.954 4. ∴x0=60+2×10=80(分).


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