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广西桂林中学2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)


广西桂林中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文 科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分,满分 60 分) 2 1.设集合 M={x|x ﹣2x﹣3<0},N={x|log2x<1},则 M∩N 等于( A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<2} C.{x|0<x<1}

) D.{x|0<x<2}


考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:分别求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,求出两集合的交集即可. 解答: 解:由 M 中的不等式变形得: (x﹣3) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<3,即 M={x|﹣1<x<3}; 由 N 中的不等式变形得:log2x<1=log22,得到 0<x<2,即 N={x|0<x<2}, 则 M∩N={x|0<x<2}. 故选:D. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知 i 为虚数单位,复数 z=﹣ + A.﹣ + i B. ﹣ i

i 的共轭复数为 ,则 +|z|( C. + i

) D.﹣ ﹣ i

考点:复数的基本概念;复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数的有关概念,即可得到结论. 解答: 解:∵z=﹣ + ∴ =﹣ ﹣ 则 +|z|=﹣ ﹣ i,|z|= i+1=z= ﹣ i, i 的共轭复数为 , ,

故选:B 点评:本题主要考查复数的基本运算,比较基础.

3.设 0<θ< A.

, =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,若 ∥ ,则 tanθ=( B.2 C.1 D.0

)

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示.

专题:平面向量及应用. 分析:直接由向量共线的条件列式得到 2sinθcosθ=cos θ,由三角恒等变形得答案. 解答: 解:∵ ∴sin2θ=cos θ, 2 即 2sinθcosθ=cos θ, 又∵ 则 ,∴2sinθ=cosθ, .
2 2



, ∥ ,

故选:A. 点评:本题考查了平面向量共线的坐标表示,考查了三角恒等变形,是基础题. 4.设曲线 A.2 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( B. C. D.﹣2 )

考点:导数的几何意义. 分析: (1)求出已知函数 y 在点(3,2)处的斜率; (2)利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系 k1?k2=﹣1,求出未知数 a. 解答: 解:∵y= ∴y′=﹣

∵x=3∴y′=﹣ 即切线斜率为﹣ ∵切线与直线 ax+y+1=0 垂直 ∴直线 ax+y+1=0 的斜率为﹣a. ∴﹣ ?(﹣a)=﹣1 得 a=﹣2 故选 D. 点评:函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的 切线的斜率,过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′(x0) (x﹣x0) 5.下列命题正确的是(
2

)

A.“x<1”是“x ﹣3x+2>0”的必要不充分条件 2 2 B.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R 均有 x +x﹣1≥0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 2 D.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=2”的否命题为“若 x ﹣3x+2=0,则 x≠2” 考点:命题的真假判断与应用. 专题:阅读型;分析法. 分析:首先对于选项 B 和 D,都是考查命题的否命题的问题,如果两个命题中一个命题的条 件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定,则这两个命题称互为否命题. 即可得出 B

正确, D 错误. 对于选项 A 因为“x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件. 故选项 A 错误. 对 于选项 C,因为若“p 且 q”为假命题,则 p、q 中有一个为假命题,不一定 p、q 均为假命题; 故 C 错误.即可根据排除法得到答案. 2 2 解答: 解: 对于 A: “x<1”是“x ﹣3x+2>0”的必要不充分条件. 因为“x ﹣3x+2>0”等价于“x 2 <1,x>2”所以:“x<1”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件.故 A 错误. 2 2 对于 B:对于命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则¬p:?x∈R 均有 x +x﹣1≥0.因为否 命题是对条件结果都否定,所以 B 正确. 对于 C:若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题.因为若“p 且 q”为假命题,则 p、q 中有 一个为假命题,不一定 p、q 均为假命题;故 C 错误. 2 2 对于 D:命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=2”的否命题为“若 x ﹣3x+2=0 则 x≠2”.因为否命题是 对条件结果都否定,故 D 错误. 故选 B. 点评:此题主要考查充分必要条件,其中涉及到否命题,且命题,命题的真假的判断问题,都 是概念性问题属于基础题型. 6.若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的 最小正值是( ) A. B. C. D.

2

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的求值. 分析:利用两角和的正弦函数对解析式进行化简,由所得到的图象关于 y 轴对称,根据对称轴 方程求出 φ 的最小值. 解答: 解:函数 f(x)=sin2x+cos2x= 所得图象是函数 y= sin(2x+ ﹣2φ) , , sin(2x+ )的图象向右平移 φ 的单位,

图象关于 y 轴对称,可得 即 φ=﹣ ,

﹣2φ=kπ+

当 k=﹣1 时,φ 的最小正值是



故选:C. 点评:本题考查三角函数的图象变换,考查正弦函数图象的特点,属于基础题. 7.设有算法如图所示,如果输入 A=144,B=39,则输出的结果是( )

A.144

B.3

C.0

D.12

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:由已知中的程序框图,是一个利用循环,求最大公约数的程序,模拟程序的运行结果, 即可得到. 解答: 解: (1)A=144,B=39,C=27,继续循环; (2)A=39,B=27,C=12,继续循环; (3)A=27,B=12,C=3,继续循环; (4)A=12,B=3,C=0,退出循环. 此时 A=3. 故选:B 点评:本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方 法解答. 8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体 积为( )

A.6

B.9

C.12

D.18

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即可. 解答: 解:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为 3; 底面三角形斜边长为 6,高为 3 的等腰直角三角形,

此几何体的体积为 V=

×6×3×3=9.

故选 B. 点评:本题考查三视图与几何体的关系,考查几何体的体积的求法,考查计算能力. 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S5=25,则 S7=( A.41 B.48 C.49 D.56 考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:利用等差数列{an}的前 n 项和公式,即可得出. 解答: 解:∵数列{an}是等差数列,S3=9,S5=25, ∴3a1+3d=9,5a1+10d=25 ∴a1=1,d=2 ∴S7=7a1+21d=49 故选:C. 点评:本题考查了等差数列的前 n 项和公式,属于基础题. 10.已知函数 f(x)=丨 x﹣2 丨+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是( ) A. (0, ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,+∞) )

考点:函数的零点. 专题:函数的性质及应用. 分析:画出函数 f(x) 、g(x)的图象,由题意可得函数 f(x)的图象(蓝线)和函数 g(x) 的图象(红线)有两个交点,数形结合求得 k 的范围. 解答: 解:由题意可得函数 f(x)的图象(蓝线) 和函数 g(x)的图象(红线)有两个交点, 如图所示:KOA= , 数形结合可得 故选:B. <k<1,

点评:本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于 基础题. 11.已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A. (﹣1,1) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1) D. (﹣∞,+∞) 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:构造函数 g(x)=f(x)﹣2x﹣4,利用导数研究函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 g′(x)=f′(x)﹣2, ∵对任意 x∈R,f′(x)>2, ∴对任意 x∈R,g′(x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(﹣1)=2, ∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0, 则∵函数 g(x)单调递增, ∴由 g(x)>g(﹣1)=0 得 x>﹣1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) , 故选:B 点评:本题主要考查不等式的求解,利用条件构造函数,利用导数研究函数的单调性是解决本 题的关键. 12.设函数 f(x)的定义域为 D,若 f(x)满足条件:存在?D,使 f(x)在上的值域是,则 成 f(x)为“倍缩函数”,若函数 f(x)=log2(2 +t)为“倍缩函数”,则 t 的范围是( A. (0, ) B. (0,1) C. (0, ] D. ( ,+∞]
x

)

考点:函数的值域. 专题:新定义. 分析:由题意得,函数是增函数,构造出方程组,利用方程组的解都大于 0,求出 t 的取值范 围. 解答: 解:∵函数 f(x)= 为“倍缩函数”,

且满足存在?D,使 f(x)在上的值域是, ∴f(x)在上是增函数;









∴方程 ∴

+t=0 有两个不等的实根,且两根都大于 0; ,

解得:0<t< , ∴满足条件 t 的范围是(0, ) , 故答案选:A. 点评:本题考察了函数的值域问题,解题时构造函数,渗透转化思想,是中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.设 m 为常数,若点 F(5,0)是双曲线 的一个焦点,则 m=16.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由于点 F(5,0)是双曲线 的一个焦点,可得 5 =9+m,即可解出.
2

解答: 解:∵点 F(5,0)是双曲线
2

的一个焦点,

∴5 =9+m, 解得 m=16. 故答案为:16. 点评:本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.

14.已知 x,y 满足

,则 z=2x+y 的最大值为 3.

考点:简单线性规划. 专题:计算题. 分析:先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截 距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可.

解答: 解:

,在坐标系中画出图象,

三条线的交点分别是 A(﹣1,﹣1) ,B( , ) , C(2,﹣1) , 在△ ABC 中满足 z=2x+y 的最大值是点 C,代入得最大值等于 3. 故答案为:3.

点评:本题只是直接考查线性规划问题,是一道较为简单的试题.近年来 2015 届高考线性规 划问题 2015 届高考数学考试的热点,数形结合是数学思想的重要手段之一,体现了数形结合 思想的应用. 15.函数 y=sin(πx+φ) (φ>0)的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图象 与 x 轴的交点,则 tan∠APB=8.

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析:由题意求出函数的周期,与最值,过 p 作 PD⊥x 轴于 D,解出∠APD 与∠BPD 的正切, 利用两角和的正切函数求出 tan∠APB. 解答: 解:由题意可知 T= ,最大值为:1;过 p 作 PD⊥x 轴于 D,AD= ,DB= ,

DP=1,所以 tan∠APD= 与 tan∠BPD= ,

所以 tan∠APB=tan(∠APD+∠BPD)=

=8.

故答案为 8. 点评:本题是中档题,考查三角函数的图象与两角和的正切函数公式的应用,题目新,考查理 解能力计算能力.
2

16.已知函数 f(x)=2sin (

+x)﹣

cos2x,x∈.若不等式|f(x)﹣m|<2 在 x∈上恒成

立,则实数 m 的取值范围为 1<m<4. 考点:三角函数中的恒等变换应用. 专题:函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:首先对三角函数式进行恒等变换,变换成正弦型函数,进一步求出值域,然后根据函数 的恒成立问题求得 m 的范围. 解答: 解:已知函数 =

∵ ∴ ∴

,∴ ,



,f(x)max=2×1+1=3. 上恒成立, ∴﹣2<f (x) ﹣m<2 在

∵不等式|f (x) ﹣m|<2 在 上恒成立, 即 f(x)﹣2<m<f(x)+2 在 因为 f(x)在

上恒成立.

上的最小值是 2,最大值是 3,

∴1<m<4. 点评:本题考查的知识点:三角函数式的恒等变换,正弦型函数的性质,根据自变量的范围求 三角函数的值域,恒成立问题及相关的运算. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分) 17.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinB(tanA+tanC)=tanAtanC. (Ⅰ)求证:a, b,c 成等比数列; (Ⅱ)若 a=1,c=2,求△ ABC 的面积 S. 考点:等比数列的性质;三角函数中的恒等变换应用;解三角形.

专题:三角函数的求值;解三角形. 分析: (I) 由已知, 利用三角函数的切化弦的原则可得, sinB (sinAcosC+sinCcosA) =sinAsinC, 利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得 sin B=sinAsinC,由正弦定理可证 (II)由已知结合余弦定理可求 cosB,利用同角平方关系可求 sinB,代入三角形的面积公式 S= 可求.
2

解答: (I)证明:∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC ∴sinB( ∴sinB? )= =

∴sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinc ∴sinBsin(A+C)=sinAsinC, ∵A+B+C=π ∴sin(A+C)=sinB 2 即 sin B=sinAsinC, 2 由正弦定理可得:b =ac, 所以 a,b,c 成等比数列. 2 (II)若 a=1,c=2,则 b =ac=2, ∴ ∵0<B<π ∴sinB= ∴△ABC 的面积 . ,

点评: 本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、 三角形的内角和定理的应用及余 弦定理和三角形的面积公式的综合应用. 18.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=kc ﹣k(其中 c,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3. (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 考点:数列的求和;等比数列的通项公式. 专题:计算题. 分析: (1)先根据前 n 项和求出数列的通项表达式;再结合 a2=4,a6=8a3 求出 c,k,即可求 出数列的通项; (2)直接利用错位相减法求和即可. 解答: 解: (1)由 Sn=kc ﹣k,得 an=sn﹣sn﹣1=kc ﹣kc
5 2 n n n﹣1 n



(n≥2) , ;

由 a2=4,a6=8a3.得 kc(c﹣1)=4,kc (c﹣1)=8kc (c﹣1) ,解得 所以 a1=s1=2; n n﹣1 n an=sn﹣sn﹣1=kc ﹣kc =2 , (n≥2) ,

于是 an=2 . n (2) :∵nan=n?2 ; 2 3 n ∴Tn=2+2?2 +3?2 +…+n?2 ; 2 3 4 n n+1 2Tn=2 +2?2 +3?2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 ; ∴﹣Tn=2+2 +2 …+2 ﹣n?2
n+1 2 3 n n+1

n

=

﹣n?2

n+1

=﹣2+2

n+1

﹣n?2

n+1



即:Tn=(n﹣1)?2 +2. 点评: 本题主要考察数列求和的错位相减法. 数列求和的错位相减法适用于一等差数列乘一等 比数列组合而成的新数列.数列求和的错位相减法也是这几年 2015 届高考的常考点. 19.如图,菱形 ABCD 的边长为 4,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B﹣ACD,点 M 是棱 BC 的中点,DM=2 . (1)求证:OM∥平面 ABD; (2)求证:平面 DOM⊥平面 ABC; (3)求三棱锥 B﹣DOM 的体积.

考点:平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 分析: (1)利用三角形中位线定理,证出 OM∥AB,结合线面平行判定定理,即可证出 OM∥ 平面 ABD. (2)根据题中数据,算出 DO= BD=2,OM= AB=2,从而得到 OD +OM =8=DM ,可得 OD⊥OM.结合 OD⊥AC 利用线面垂直的判定定理,证出 OD⊥平面 ABC,从而证出平面 DOM⊥平面 ABC. (3)由(2)得到 OD 为三棱锥 D﹣BOM 的高.算出△ BOM 的面积,利用锥体体积公式算出 三棱锥 D﹣BOM 的体积,即可得到三棱锥 B﹣DOM 的体积. 解答: 解: (1)∵O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点,∴OM∥AB. 又∵OM?平面 ABD,AB?平面 ABD, ∴OM∥平面 ABD. (2)∵在菱形 ABCD 中,OD⊥AC,∴在三棱锥 B﹣ACD 中,OD⊥AC. 在菱形 ABCD 中,AB=AD=4,∠BAD=60°,可得 BD=4. ∵O 为 BD 的中点,∴DO= BD=2. ∵O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点,∴OM= AB=2. 因此,OD +OM =8=DM ,可得 OD⊥OM. ∵AC、OM 是平面 ABC 内的相交直线,
2 2 2 2 2 2

∴OD⊥平面 ABC. ∵OD?平面 DOM, ∴平面 DOM⊥平面 ABC. (3)由(2)得,OD⊥平面 BOM,所以 OD 是三棱锥 D﹣BOM 的高. 由 OD=2,S△ BOM= ×OB×BM×sin60°= , = .

所以 VB﹣DOM=VD﹣BOM= S△ BOM=×DO= ×

点评:本题给出平面折叠问题,求证线面平行、面面垂直并求三棱锥的体积,着重考查了线面 平行判定定理、线面垂直与面面垂直的判定和锥体的体积求法等知识,属于中档题. 20.对某校 2015 届高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本, 得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图: 分组 频数 频率 专题:计算题;分类讨论;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出导数,令它大于 0,得到增区间,令小于 0,得到减区间,从而求出极小值; (Ⅱ)求出 g(x)的表达式,令它为 0,则有 m=﹣ x +x.设 h(x)=﹣ x +x,其定义域为 (0,+∞) .则 g(x)的零点个数为 h(x)与 y=m 的交点个数,求出单调区间得到最值,画 出 h(x)的图象,由图象即可得到零点个数. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=e 时,f(x)=lnx+ ,其定义域为(0,+∞) .
3 3

f′(x)= ﹣

=

令 f′(x)=0,x=e.f′(x)>0,则 0<x<e;f′(x)<0,则 x>e. 故当 x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2.

(Ⅱ)g(x)=f′(x)﹣ = ﹣
3

﹣ =

,其定义域为(0,+∞) .

令 g(x)=0,得 m=﹣ x +x.

设 h(x)=﹣ x +x,其定义域为(0,+∞) .则 g(x)的零点个数为 h(x)与 y=m 的交点个 数. 2 h′(x)=﹣x +1=﹣(x+1) (x﹣1) x (0,1) h′(x) + h(x) 递增 故当 x=1 时,h(x)取得最大值 h(1)= . 作出 h(x)的图象, 由图象可得, ①当 m> 时,g(x)无零点; ②当 m= 或 m≤0 时,g(x)有且仅有 1 个零点; ③当 0<m< 时,g(x)有两个零点.

3

1 0 极大值

(1,+∞) ﹣ 递减

点评:本题考查导数的综合运用:求单调区间和求极值,考查函数的零点问题,同时考查分类 讨论的思想方法,属于中档题.

22.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率是

,且点 P(1,

)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程; (2)若过点 D(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 E,F,试求△ OEF 面积的取值范围 (O 为坐标原点) . 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由 e= = ,得 ,把点 P(1,
2 2

)代入,能求出椭圆的方程.

(2)设 l 的方程为 y=kx+2,代入 已知条件能求出△ OEF 面积的取值范围.

,得: (2k +1)x +8kx+6=0,由此韦达定理结合

解答: 解: (1)∵椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率是



∴e=

=

,∴a=

,c=b,

∴椭圆的方程



∵点 P(1,

)在椭圆上,∴

,解得 b =1,

2



.…

(2)由题意知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y=kx+2,代入 (2k +1)x +8kx+6=0, 由△ >0,解得 k
2 2 2

,得:



设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,则

,…

S△ OEF=S△ OED﹣S△ OFD = = = |x1﹣x2|

=|x1﹣x2|, |x1﹣x2|=

=

=

=





,∴

, (t>0)

∴S△ OEF=|x1﹣x2|=

=

=2

=2

≤2

=







点评:本题考是查椭圆方程的求法,考查三角形面积的取值范围的求法,解题时要认真审题, 注意弦长公式的合理运用.


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