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2016高考数学大一轮复习 9.2两直线的位置关系教师用书 理 苏教版


§9.2

两直线的位置关系

1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行: (ⅰ)对于两条不重合的直线 l1、l2,若其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2?k1=k2. (ⅱ)当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. ②两条直线垂直: (ⅰ)如果两条直线 l1、l2 的斜率存在,设为 k1、k2,则有 l1⊥l2?k1·k2=-1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为 0 时,l1⊥l2. (2)两条直线的交点 直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 , l2 : A2x + B2y + C2 = 0 ,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组
?A1x+B1y+C1=0, ? ? ? ?A2x+B2y+C2=0

的解.

2.几种距离 (1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 P1P2= ?x2-x1? +?y2-y1? . (2)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离
2 2

d=

|Ax0+By0+C| . A2+B2

|C1-C2| (3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(其中 C1≠C2)间的距离 d= 2 . A +B2 [知识拓展] 1.一般地,与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0;与之垂直的直线方 程可设为 Bx-Ay+n=0. 2.过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+ λ (A2x+B2y+C2)=0 (λ ∈R),但不包括 l2. 3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件: (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且 x,y 的系数对应相等.

1

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2? l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数),若 直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0.( √ ) |kx0+b| (4)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 .( × ) 2 1+k (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )

1 (6)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于- ,且线段 AB 的中

k

点在直线 l 上.( √

)

1.已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a=________. 答案 2-1

|a-2+3| 解析 依题意得 =1. 1+1 解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2. ∵a>0,∴a=-1+ 2. 2. 已知直线 l1: (3+m)x+4y=5-3m, l2: 2x+(5+m)y=8 平行, 则实数 m 的值为________. 答案 -7 3+m 5-3m 解析 l1 的斜率为- ,纵截距为 , 4 4

l2 的斜率为-

2 8 ,纵截距为 . 5+m 5+m

3+m 2 2 又∵l1∥l2,由- =- 得,m +8m+7=0, 4 5+m 得 m=-1 或-7.

m=-1 时, m=-7 时,

5-3m 8 = =2,l1 与 l2 重合,故不符合题意; 4 5+m 5-3m 13 8 = ≠ =-4,符合题意. 4 2 5+m

3 .已知直线 l1 与 l2 : x+ y - 1 = 0 平行,且 l1 与 l2 的距离是 2 ,则直线 l1 的方程为 ________________. 答案 x+y+1=0 或 x+y-3=0
2

|c+1| 解析 设 l1 的方程为 x+y+c=0,则 = 2. 2 ∴|c+1|=2,即 c=1 或 c=-3. ∴直线 l1 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. 4.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=________. 答案 1 解析 依题意得 2×1-2×m=0,∴m=1.

题型一 两条直线的平行与垂直 例 1 已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 思维点拨 本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件,解题易错点在于忽略斜率不存在的 情况. 解 (1)方法一 由已知可得 l2 的斜率存在, ∴k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0. 4 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即 a= (矛盾). 3 ∴此种情况不存在,∴k2≠0. 即 k1,k2 都存在,∵k2=1-a,k1= ,l1⊥l2, ∴k1k2=-1,即 (1-a)=-1.① 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得 a=2,b=2. 方法二 ∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)·1=0. 即 b=a -a.① 又∵l1 过点(-3,-1). ∴-3a+b+4=0.②
2

a b

a b

3

联立①②可得?

?a=2, ? ?b=2. ?

经验证,符合题意. 故 a=2,b=2. (2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在,

a k1=k2,即 =1-a.③ b
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1∥l2, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b.④

b

? ?a=2, 联立③④,解得? ?b=-2 ?

2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2.

2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时, 不仅要考虑到斜率存在的一般情况, 也要考虑 到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x、y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 已知两直线 l1:x+ysin α -1=0 和 l2:2x·sin α +y+1=0,求 α 的值, 使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 解 (1)方法一 当 sin α =0 时,直线 l1 的斜率不存在,l2 的斜率为 0,显然 l1 不平行于

l2.
当 sin α ≠0 时,k1=- 1 ,k2=-2sin α . sin α

1 要使 l1∥l2,需- =-2sin α , sin α 即 sin α =± 2 . 2

π 所以 α =kπ ± ,k∈Z,此时两直线的斜率相等. 4 π 故当 α =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 2sin α -1=0,
2

4

所以 sin α =±

2 π .所以 α =kπ ± ,k∈Z. 2 4

又 B1C2-B2C1≠0,所以 1+sin α ≠0,即 sin α ≠-1. π 故当 α =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 (2)因为 A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, 所以 2sin α +sin α =0,即 sin α =0,所以 α =kπ ,k∈Z. 故当 α =kπ ,k∈Z 时,l1⊥l2. 题型二 两直线相交 例 2 求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x-5y +6=0 的直线 l 的方程. 思维点拨 可先求出 l1 与 l2 的交点,再用点斜式;也可利用直线系方程求解.
? ?3x+2y-1=0, 解 方法一 先解方程组? ?5x+2y+1=0, ?

得 l1,l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率 求出 l 的斜率为- , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出 l:

y-2=- (x+1),即 5x+3y-1=0.
方法二 由于 l⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条, 而 l 过 l1,l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0. 方法三 由于 l 过 l1,l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1+λ (5x+2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ )x+(2+2λ )y+(-1+λ )=0. 3+5λ 5 1 其斜率为- =- ,解得 λ = , 2+2λ 3 5 代入直线系方程得 l 的方程为 5x+3y-1=0. 思维升华 (1)两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交 点. (2)常见的三大直线系方程 ①与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是

5 3

Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C).
5

②与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是

Bx-Ay+m=0(m∈R).
③过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+ λ (A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R),但不包括 l2. 如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线 l1:x +2y-1=0,l2:x+2y-3=0 所截的线段的中点在直线 l3:x-y- 1=0 上,求其方程. 解 与 l1、l2 平行且距离相等的直线方程为 x+2y-2=0. 设所求直线方程为(x+2y-2)+λ (x-y-1)=0, 即(1+λ )x+(2-λ )y-2-λ =0.又直线过(-1,1), ∴(1+λ )(-1)+(2-λ )·1-2-λ =0. 1 解得 λ =- .∴所求直线方程为 2x+7y-5=0. 3 题型三 距离公式的应用 例 3 正方形的中心为点 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0,求其他三边所 在直线的方程. 思维点拨 中心 C 到各边的距离相等. 解 点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离

d=

|-1-5| 3 10 = . 5 1+9

设与 x+3y-5=0 平行的一边所在直线的方程是 x+3y+m=0(m≠-5), 则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离

d=

|-1+m| 3 10 = , 5 1+9

解得 m=-5(舍去)或 m=7, 所以与 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+7=0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0, 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离

d=

|-3+n| 3 10 = , 5 1+9

解得 n=-3 或 n=9, 所以与 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0. 思维升华 正方形的四条边两两平行和垂直, 设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决, 解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线

6

的方程. 运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先 把两平行线方程中 x,y 的系数化为相同的形式. 已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,并求出最大距离. (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2,-1),可见,过 P(2,-1)垂直 于 x 轴的直线满足条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知,得 =2,解之得 k= . 2 4 k +1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线, 由 l⊥OP,得 klkOP=-1. 所以 kl=- 1

kOP

=2.

由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0, |-5| 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过 5的直线,因此不存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线. 题型四 对称问题 例 4 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. 思维点拨 解决对称问题, 不管是轴对称还是中心对称, 一般都要转化为点之间的对称问题. 解 (1)设 A′(x,y),

7

y+2 2 ? ?x+1·3=-1, 再由已知? x-1 y-2 2× -3× +1=0. ? ? 2 2
33 x=- , ? ? 13 解得? 4 y= . ? ? 13

33 4 ∴A′(- , ). 13 13

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m′上. 设对称点为 M′(a,b),则

a+2 b+0 ? ?2×? 2 ?-3×? 2 ?+1=0, ?b-0 2 ? ?a-2×3=-1.
6 30 解得 M′( , ). 13 13
?2x-3y+1=0, ? 设 m 与 l 的交点为 N,则由? ? ?3x-2y-6=0.

得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线方程为 9x-46y+102=0. (3)设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y), ∵P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0. 思维升华 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点,点 M 与点 N 关于直线 l 对称,则线段

MN 的中点在直线 l 上,直线 l 与直线 MN 垂直.
(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公式就可解决问题. (3)若直线 l1、l2 关于直线 l 对称,则有如下性质:①若直线 l1 与 l2 相交,则交点在直线 l 上;②若点 B 在直线 l1 上,则其关于直线 l 的对称点 B′在直线 l2 上. (2013·湖南改编)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC,CA 发射后又回到原 点 P(如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP=________.

8

答案

4 3

解析 建立如图所示的坐标系: 可得 B(4,0),C(0,4),故直线 BC 的方程为 x+y=4, △ABC 的重心为

?0+0+4,0+4+0?,设 P(a,0),其中 0<a<4, ? 3 3 ? ? ?
a+x y+0 ? ? 2 + 2 =4, 则点 P 关于直线 BC 的对称点 P (x,y),满足? y-0 ? ?x-a·?-1?=-1,
1

解得?

? ?x=4, ?y=4-a, ?

即 P1(4,4-a),易得 P 关于 y 轴的对称点 P2(-a,0),

由光的反射原理可知 P1,Q,R,P2 四点共线, 4-a-0 4-a 4-a 直线 QR 的斜率为 k= = ,故直线 QR 的方程为 y= (x+a), 4-?-a? 4+a 4+a 4 4 2 由于直线 QR 过△ABC 的重心( , ),代入化简可得 3a -4a=0, 3 3 4 4 ?4 ? 解得 a= ,或 a=0(舍去),故 P? ,0?,故 AP= . 3 3 ?3 ?

妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次 项系数与常数项有必然的联系. 典例 1:求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程. 思维点拨 (c≠1). 规范解答 解 依题意,设所求直线方程为 3x+4y+c=0 (c≠1), 又因为直线过点(1,2), 所以 3×1+4×2+c=0,解得 c=-11. 因此,所求直线方程为 3x+4y-11=0. 温馨提醒 与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+C1=0 (C1≠C),再由其他条 因为所求直线与 3x+4y+1=0 平行,因此,可设该直线方程为 3x+4y+c=0

9

件求 C1. 二、垂直直线系 由于直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件为 A1A2+B1B2=0.因此,当两直 线垂直时,它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解. 典例 2:求经过 A(2,1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线 l 的方程. 思维点拨 依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解. 规范解答 解 因为所求直线与直线 2x+y-10=0 垂直,所以设该直线方程为 x-2y+C1=0,又直线 过点(2,1),所以有 2-2×1+C1=0,解得 C1=0,即所求直线方程为 x-2y=0. 温馨提醒 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx-Ay+C1=0, 再由其他条件求出 C1. 三、过直线交点的直线系 典例 3:求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y +5=0 垂直的直线 l 的方程. 思维点拨 可分别求出直线 l1 与 l2 的交点及直线 l 的斜率 k,直接写出方程;也可以利用过 交点的直线系方程设直线方程,再用待定系数法求解. 规范解答 解 方法一 解方程组?
? ?x-2y+4=0, ?x+y-2=0, ?

得 P(0,2).

3 因为 l3 的斜率为 ,且 l⊥l3, 4 4 所以直线 l 的斜率为- , 3 4 由斜截式可知 l 的方程为 y=- x+2, 3 即 4x+3y-6=0. 方法二 设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ (x+y-2)=0, 即(1+λ )x+(λ -2)y+4-2λ =0. 又∵l⊥l3,∴3×(1+λ )+(-4)×(λ -2)=0, 解得 λ =11. ∴直线 l 的方程为 4x+3y-6=0. 温馨提醒 本题方法一采用常规方法,先通过方程组求出两直线交点,再根据垂直关系求出 斜率,由于交点在 y 轴上,故采用斜截式求解;方法二则采用了过两直线 A1x+B1y+C1=0 与

A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0,直接设出过两直
线交点的方程,再根据垂直条件用待定系数法求解.

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方法与技巧 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1、

l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜
率一定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法. 失误与防范 1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率, 可根据判定定理判断,若直线无斜率,要单独考虑. |C1-C2| 2.在运用两平行直线间的距离公式 d= 2 时,一定要注意将两方程中 x,y 的系数化为 A +B2 相同的形式.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.已知两条直线 l1:x+y-1=0,l2:3x+ay+2=0 且 l1⊥l2,则 a=________. 答案 -3 解析 由 l1⊥l2,可得 1×3+1×a=0,∴a=-3. 2.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直线 方程为________. 答案 x+2y-4=0 1 解析 由直线与向量 a=(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率 k= ,所以直线的方程为 y 2 1 -3= (x-2),其与 y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(-2,3),所以 2 反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式得所求方程为 x+2y-4=0. 3. (教材改编)若 A(-3, -4), B(6,3)两点到直线 l: ax+y+1=0 的距离相等, 则 a=________. 7 1 答案 - 或- 9 3 |-3a-4+1| |6a+3+1| 解析 依题意, = , a2+1 a2+1

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7 1 解得 a=- 或 a=- . 9 3 4.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是________. 答案 2 6 m 14 解析 ∵ = ≠- ,∴m=8,直线 6x+my+14=0. 3 4 3 |-3-7| 可化为 3x+4y+7=0,两平行线之间的距离 d= =2. 2 2 3 +4 5.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反 射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经 过的路程是________. 答案 2 10 解析 由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2),关于 y 轴的对称 点为 C(-2,0),则光线所经过的路程 PMN 的长为 CD=2 10.

6.与直线 l1:3x+2y-6=0 和直线 l2:6x+4y-3=0 等距离的直线方 程是______________. 答案 12x+8y-15=0 3 解析 l2:6x+4y-3=0 化为 3x+2y- =0,所以 l1 与 l2 平行,设与 l1,l2 等距离的直线 l 2 3 15 的方程为 3x+2y+c=0,则:|c+6|=|c+ |,解得 c=- ,所以 l 的方程为 12x+8y- 2 4 15=0. 7.已知点 A(-1,1),B(2,-2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 AB 相交(包含端点的情况), 则实数 m 的取值范围是______________. 1? ? 答案 ?-∞, ?∪[2,+∞) 2? ? 解析 直线 l:x+my+m=0 可化为 x+m(y+1)=0, 所以直线恒过定点 P(0,-1). 1 ∵点 A(-1,1),B(2,-2),∴kPA=-2,kPB=- , 2 ∵直线 l:x+my+m=0 与线段 AB 相交(包含端点的情况), 1 1 1 ∴- ≤-2 或- ≥- , m m 2 1 ∴m≤ 或 m≥2(经验证 m=0 也符合题意). 2

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1? ? ∴实数 m 的取值范围是?-∞, ?∪[2,+∞). 2? ? 8.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则 m+n =________. 答案 34 5

解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线 y=2x-3,它也是 3+n 7+m ? ? 2 =2× 2 -3, 点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是? n-3 1 =- , ? ?m-7 2 3 m= , ? ? 5 解得? 31 n= , ? ? 5

34 故 m+n= . 5

9.若直线 l 过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点,且 AB=5,求直线 l 的方程. 解 过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1.
?x=1, ? 解方程组? ? ?2x+y-6=0,

求得 B 点坐标为(1,4),此时 AB=5, 即 x=1 为所求.
?2x+y-6=0, ? 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),解方程组? ?y+1=k?x-1?, ?

k+7 ? ?x=k+2, 得两直线交点为? 4k-2 ?y= k+2 . ?
(k≠-2,否则与已知直线平行). 则 B 点坐标为( 由已知(

k+7 4k-2 , ). k+2 k+2

k+7 4k-2 2 2 2 -1) +( +1) =5 , k+2 k +2

3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1), 4 4 即 3x+4y+1=0.
13

综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 10.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的 高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程. 解 依题意知:kAC=-2,A(5,1), ∴lAC 为 2x+y-11=0,
? ?2x+y-11=0, 联立 lAC、lCM 得? ?2x-y-5=0, ?

∴C(4,3).

设 B(x0,y0),AB 的中点 M 为(

x0+5 y0+1
2 , 2

),

代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0,
?2x0-y0-1=0, ? 联立方程? ?x0-2y0-5=0, ?

∴B(-1,-3),

6 6 ∴kBC= ,∴直线 BC 的方程为 y-3= (x-4), 5 5 即 6x-5y-9=0. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1.(2013·天津改编)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1) +y =5 相切,且与直线 ax-y+1 =0 垂直, 则 a=_________________________________________________________________. 答案 2 解析 圆心为 O(1,0), 由于 P(2,2)在圆(x-1) +y =5 上, ∴P 为切点,OP 与 P 点处的切线垂直. 2-0 ∴kOP= =2, 2-1 又点 P 处的切线与直线 ax-y+1=0 垂直. ∴a=kOP=2. 2.(2014·四川改编)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m +3=0 交于点 P(x,y),则 PA+PB 的取值范围是________. 答案 [ 10,2 5] 解析 由动直线 x+my=0 知定点 A 的坐标为(0,0), 由动直线 mx-y-m+3=0 知定点 B 的坐 标为(1,3),且两直线互相垂直,故点 P 在以 AB 为直径的圆上运动.故当点 P 与点 A 或点 B 重合时, PA+PB 取得最小值, (PA+PB)min=AB= 10.当点 P 与点 A 或点 B 不重合时, 在 Rt△PAB 中,有 PA +PB =AB =10.因为 PA +PB ≥2PA·PB,所以 2(PA +PB )≥(PA+PB) ,当且仅当
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

PA=PB 时取等号,
14

所以 PA+PB≤ 2 PA +PB = 2× 10=2 5, 所以 10≤PA+PB≤2 5, 所以 PA+PB 的取值范围是[ 10,2 5]. 3.如图,已知直线 l1∥l2,点 A 是 l1,l2 之间的定点,点 A 到 l1,l2 之间 的距离分别为 3 和 2,点 B 是 l2 上的一动点,作 AC⊥AB,且 AC 与 l1 交于 点 C,则△ABC 的面积的最小值为________. 答案 6 解析 以 A 为坐标原点,平行于 l1 的直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐 标系,设 B(a,-2),C(b,3). ∵AC⊥AB, 6 ∴ab-6=0,ab=6,b= .

2

2

a

1 2 2 Rt△ABC 的面积 S= a +4· b +9 2 = ≥ 1 2 a +4· 2 36

a2

+9=

1 2

144 2 72+9a + 2

a

1 72+72=6.(当且仅当 a=-2 时取等号) 2

4.点 P(2,1)到直线 l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是________. 答案 2 5 解析 直线 l 经过定点 Q(0,-3),如图所示. 由图知,当 PQ⊥l 时,点 P(2,1)到直线 l 的距离取得最大值 PQ = ?2-0? +?1+3? =2 5, 所以点 P(2,1)到直线 l 的最大距离为 2 5. 5.(2013·四川)在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之 和最小的点的坐标是________. 答案 (2,4) 解析 设平面上任一点 M, 因为 MA+MC≥AC, 当且仅当 A, M, C 共线时取等号, 同理 MB+MD≥BD, 当且仅当 B,M,D 共线时取等号,连结 AC,BD 交于一点 M,若 MA+MC+MB+MD 最小,则点 M 为所求. 6-2 又 kAC= =2, 3-1 ∴直线 AC 的方程为 y-2=2(x-1), 即 2x-y=0.①
2 2

15

5-?-1? 又 kBD= =-1, 1-7 ∴直线 BD 的方程为 y-5=-(x-1), 即 x+y-6=0.②
? ?2x-y=0, 由①②得? ?x+y-6=0, ?

∴?

? ?x=2, ?y=4, ?

∴M(2,4).

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