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第十章 排列、组合、二项式定理


2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编 第十章《排列、组合、二项式定理》 一、选择题(共 24 题) 1. (北京卷)在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇 数的共有 (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个 解:依题意,所选的三位数字有两种情况: (1)3 个数字都是奇数,有 A3 3 种方

法(2)3 个 3 3 1 3 数字中有一个是奇数,有 C1 3 A 3 ,故共有 A3 + C3 A 3 =24 种方法,故选 B 2. (福建卷)从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至 少有 1 名女生,则选派方案共有 (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种 3 3 解析:从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A7 =186 种,选 B. ? A4 3. (湖北卷)在 ( x ? A.3 项 1 24 ) 的展开式中, x 的幂的指数是整数的项共有 3 x B.4 项 C.5 项 D.6 项 r 24-r 解: Tr+1=C24 x (- 72-4 r 1 r r r 3 ,当 r=0,3,6,9,12,15,18,21,24 ) = (-1) C x 24 3 x 时,x 的指数分别是 24,20,16,12,8,4,0,-4,-8,其中 16,8,4,0,-8 均为 2 的整数次幂,故选 C 4. (湖南卷)某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目 不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种 1 2 解析:有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有 C3 ? A4 ? 36 种 3 方案,二是在三个城市各投资 1 个项目,有 A4 ? 24 种方案,共计有 60 种方案,选 D. 5. (湖南卷)若 (ax ? 1) 的展开式中 x 的系数是 80,则实数 a 的值是 5 3 A.-2 5 B. 2 2 3 C. 3 4 D. 2 解析: (ax ? 1) 的展开式中 x 的系数 C53 (ax)3 ? (?1)210a3 x3 = 80 x3, 则实数 a 的值是 2,选 D 6. (湖南卷)在数字 1,2,3 与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相 邻的全排列个数是 A.6 B. 12 C. 18 D. 24 1 3 2 解析:先排列 1,2,3,有 A3 , “-”两个符号插入,有 A2 ? 6 种排法,再将“+” ? 2种 方法,共有 12 种方法,选 B. 7. (江苏卷) ( x ? (A)0 1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 3x (B)2 (C)4 (D)6 【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识. 3r ?10 1? ? r r 1 10 ? r r 1 10 ? r ? C10 ( ) x 2 ,因此含 x 【正确解答】 ? x ? ? 的展开式通项为 C12 ( x ) ( ) 3x 3 3x ? ? 10 的正整数次幂的项共有 2 项.选 B 【解后反思】 多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化 成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用 ,例如求常数项,可令 x ? 0 .在二项式的 展开式中

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