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《集合与函数概念》复习


《集合与函数概念》复习

知识要点
? ? ? ? ? ? 1、集合的含义; 2、集合间的基本关系; 3、集合的运算; 4、函数的概念; 5、函数的基本性质; 6、映射的概念。

列举法 集合的表示 描述法

Venn图
集合 集合基本关系 包含 相等 交集 集合间的基本运算 并集 全集 补集

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知识梳理
1、集合中元素的性质 (1)确定性:即集合中的元素必须是 确定 的, 任何一个对象都能明确判断它“是”或者“不 是”某个集合的元素,二者必居其一。 (2)互异性:集合中任意两个元素都是不同的, 换言之,同一个集合里不能重复出现。 (3)无序性:集合与它的元素顺序无关的。

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2、集合的表示方法 (1)列举法:把集合中的元素 一一列举 出来, 花括号 写在 内表示集合的方法。列举法表 示集合的特点是清晰、直观。常适用于集合 中元素较少时。 (2)描述法:把集合中的元素的 共同特征 描 述出来,表示集合的方法。一般形式是 {x|p},其中竖线前面的x叫做此集合的元 素,p指出元素x所具有的共同特征。描述法 便于从整体把握一个集合,常适用于集合中 元素的公共属性较为明显时。

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(3)韦恩图:为了形象的表示集合,有时常用一 些封闭的 曲线 表示一个集合,这样的图形称为韦 恩图,在解题时,利用韦恩图“数”和“形”结 合,使得解答十分直观。 3、元素与集合的关系 如果一个元素a是集合A的元素,称元素a 属于 集合A,记为a ? A ,否则称元素a 不属于集 合A,记为 a ? A 。

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4、子集、交集、并集、补集 (1)子集的定义:对于集合A和B,如果集合A 的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说 集合A 包含于 集合B,或集合B 包含 集合A, 也可以说集合A是集合B 的子集。记作 A ? B 或 B ? A ,如果集合A不包含于集合B,或集合 B不包含集合A,就记作 A ? B 。 规定:空集是任何集合的子集。 如果A是B的子集,且A≠B,称集合A是集合B B B? A 的 真子集,记作 A ? ≠ 或 ≠ 。

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(2)交集的定义:一般地,由属于集合A 且 属于 集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集。 记作 A∩B 。即A∩B={x|x∈A且∈B}。 (3)并集的定义:一般地,由属于集合A 或 属于 集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集。 记作 A∪B 。即A∪B={x|x∈A或∈B}。 (4)补集的定义:一般地,设U是一个全集,A是 U的一个子集,由U中所有 不属于 A的元素组成 的集合,叫做集合A的补集,记作 CUA 。即 CUA={X|X∈U,且X∈A}

1.选择适当的符号填空

0 ∈φ

0∈ {0}

? Φ {0}

A∩φ = φ A∪φ = A A∩B ? A∪B

2.已知 M ? {x | y ? x 2 ? 1}, N ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} 那么 M N = (c )

( A) ?

( B)

M

(C ) N

( D) R

3、已知集合A={x|x2-x-6<0}, B={x|0<x+8<9} (1) 求A∪B,A∩B.

7.设集合M={(x,y)|y=√16-x2,y≠0}, N={(x,y)|y=x+a}, 若M∩N= ? ,求实数a的取值范围.
【解题指导】 (1)本题将两集合之间的关系转化为两曲线之 间的关系,然后用数形结合的思想求出a的范 围,既快又准确.准确作出集合对应的图形 是解答本题的关键.. (2)讨论两曲线的位置关系,最常见的解法还 有讨论其所对应的方程组的解的情况.该题若 用此法,涉及解无理方程与无理不等式,较 繁,不再赘述.

函数及其性质复习课
定义域

函数的概念

值域 对应法则

解析法
映射 函数 函数的表示法 列表法 图象法 函数的基本性质 函数的单调性 函数的奇偶性

知识梳理
5、函数的概念 (1)函数定义:给定两个非空数集A和B,如 果按照某个对应关系f ,对于A中的 , 在集合B中都有 的数 f (x) 与之对应, 那 么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数, 记作y= f (x),x∈A. 其中,x叫做自变量, X的取值范围A叫做 , 与X的值对应的y值 叫做函数值, 函数值y的 集合叫做 .

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(2)函数的三要素: , , 。 (3)区间的概念。 (4)函数的表示法: , , 。 (5)两个函数相同必须是它们的 和 分 别完全相同 (6)映射的定义:设A、B是两个非空集合, 如果按照某个对应关系f ,对于A中 的 , 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就称f:A→B为集合A到集合 B的一个映射。

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6、函数的单调性 (1)对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1,x2当x1<x2时,如果都有f(x1) < f(x2),那么就说f(x)在区间D上是 函 数,这个区间D就叫做这个函数的 区 间;如果都有f(x1) > f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是 函数,这个区间D就叫做 这个函数的 区间;

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(3)函数的奇偶性:对于函数f(x),如果对 于定义域内任意一个x 都有f(-x)= , 那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内 任意一个x 都有f(-x)= ,那么f(x)就 叫做偶函数。 (4)奇函数的图象是关于 对称;偶函 数的图象关于 对称。反之也成立。

例1、求下列函数的定义域

4? x f(x) ? ? log 2 ( x ? 1) x ?1
3

练习p24 1

例2

已知二次函数

y ? f ( x) ,若 f (?4) ? f (0) f (?2) ? ?2 求 y ? f ( x)

练习

(1)已 知 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, 求f ( x ? 1)
2

(2)已 知 f ( x) ? ax ? bx ? c, 且 f (0) ? ?3, f (1) ? ?4, f (?1) ? 0, 求 f ( x)
2

?x ? 3 x?0 ? (3)已知f ( x) ? ? 1 x ? 0 ,求f [ f (?4)] ?x ? 4 x ? 0 ?
2

二次函数给定区间值域问题
例3

已知函数 y ? 2x2 ? 4x ? 3, 求x ??0,3?时的值域

x ?? 2, 4?

x ?? ?3, 2?

例 函数y=mx +(n+2)x-1是 定义在[m,m -6]上的偶函数,则 该函数的值域是:___________;
2

2

例4:证明函数f(x)=x2+1在区间(0,+∞)上 是增函数还是减函数?并给予证明。
解: 函数f(x)=x2+1在 (0,+∞)上是增函数.
下面给予证明: 设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2

y

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)
2 2

2

2

1
O 1

x

? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? x1 , x2 ? (0,??) ? x1 ? x2 ? 0 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? ? ?f ( x ) ? f ( x ) 1 2

∴函数f(x)=x2+1在(0,+∞)上是增函数.

练习.证明函数 f ( x) ? 3x ? 2 在 (??,??) 上 是增函数。

2 f ( x ) ? x ? ax ? 1在(??,1] 上是减 例5.已知函数在 函数,求实数a的取值范围。

a ? ?2


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