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椭圆、双曲线、抛物线,高考历年真题


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【考点 28】椭圆、双曲线、抛物线
2009 年考题 1.(2009 浙江高考)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线 a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是 ( 2
C. 5 )
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的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 B. 3

D. 10

【解析】选 C.对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

? a2 ab ? 2a 2b 2a 2b a2 ab ? ab ab ? , B? , ,? ) ,则有 BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? ? , C( ?, a ?b a ?b ? a ?b a ?b ? ? a ?b a ?b ? a ?b a ?b
因 2 AB ? BC,?4a2 ? b2 ,?e ? 5 . 2.(2009 浙江高考)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 a 2 b2

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BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是(
A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2 1 . 2

【解析】选 D.对于椭圆,因为 AP ? 2PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ? 3.(2009 安徽高考)下列曲线中离心率为 6 的是( 2 (A) )

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

(D) x ? y ? 1
4 10

2

2

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【解析】选 B.由 e ?

b2 3 b2 1 6 c2 3 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? . a 2 a 2 a 2 2 x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32


4.(2009 福建高考)若双曲线

A. 2

B.

3

C.

3 2

D. 1

x2 y2 c a2 ? 3 2 ?c= a ? 3 ?离心率e= ? ? 2, 【解析】 选 D.由 2 ? 2 ? 1可知虚轴b= 3, 解得 a=1 或 a=-1 a 3 a a

(舍去). 5.(2009 海南宁夏高考)双曲线

x2 y2 =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
(C) 3 (D)1



(A) 2 3

(B)2

3?4?0 x2 y2 【解析】选 A.双曲线 =1 的焦点(4,0)到渐近线 y ? 3x 的距离为 d ? ?2 3. 4 12 2
x2 y2 2 6.(2009 山东高考)设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲线的 a b
离心率为( A. ).
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5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5

【解析】选 D. 双曲线
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b ? x2 y2 b ? y? x y ? x ? ? 1 的一条渐近线为 , 由方程组 a , ? a a2 b2 2 ? ? y ? x ?1

2 消去 y,得 x ?

b b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△ = ( ) 2 ? 4 ? 0 , a a

所以

b c a 2 ? b2 b ? ?2 , e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 . a a a a

7. (2009 山东高考) 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ? 4 x B. y 2 ? ? 8x ).
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C. y 2 ? 4 x

D. y 2 ? 8x

【解析】选 B.抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) , 它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△ OAF 的面积为 所以抛物线方程为 y ? ? 8x .
2

a 4

a 4

a 2

1 a a | | ? | |? 4 ,解得 a ? ?8 . 2 4 2

u.c.o.m

8.(2009 天津高考)设双曲线 方程为( )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线 a2 b2

A y ? ? 2x

B y ? ?2 x

C y??

2 x 2

D y??

1 x 2

【解析】选 C.由已知得到 b ? 1, c ? 3, a ? 故渐近线方程为 y ? ?

c 2 ? b 2 ? 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,

b 2 x?? x. a 2

9.(2009 全国Ⅰ)设双曲线 心率等于( (A) 3 ) (B)2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离 a 2 b2

(C) 5
'

(D) 6

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【解析】选 C.设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y

|x? x0 ? 2 x0 .由题意有

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 ,解得: x0

b b x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 . a a
10.(2009 全国Ⅱ)双曲线

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x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r=( 6 3
(C)3 (D)6



(A) 3

(B)2

【解析】选 A.本题考查双曲线性质及圆的切线知识,由圆心到渐近线的距离等于 r,可求 r= 3 .

11.(2009 江西高考)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦 a 2 b2

点,若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

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【解析】选 B.因为 P(?c, ?

b2 3b 2 c 3 ) ,再由 ?F1PF2 ? 60 时有 ? 2a, 从而可得 e ? ? . a a a 3 x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , P(0, 2b) 是 a 2 b2


12.(2009 江西高考)设 F1 和 F2 为双曲线

正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

【解析】选 B.由 tan

?
6

?

c c 3 2 2 2 2 有 3c ? 4b ? 4(c ? a ) ,则 e ? ? 2 . ? a 2b 3

x2 y 2 13. (2009 四川高考) 已知双曲线 其一条渐近线方程为 y ? x , ? ? 1(b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 2 b2
点 P( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF 1 ? PF2 =( A. ?12 B. ?2 ) C .0 D. 4
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【解析】选 C。方法一:由题知 b2 ? 2 ,故 y0 ? ? 3 ? 2 ? ?1, F 1 (?2,0), F 2 (2,0) , ∴PF 1 ? PF 2 ? (?2 ? 3, ?1) ? (2 ? 3, ?1) ? 3 ? 4 ? 1 ? 0 .

x2 y 2 ? ?1 , 则 左 、 右 焦 点 坐 标 分 别 为 方法 2:根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程 2 2

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,再将点 P( 3, y0 ) 代入方程可求出 P( 3, ?1) ,则可得 PF1 ? PF2 ? 0 ,故选 C。
14.(2009 湖南高考)抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标是( A. (2,0)
2

) D. (- 4,0)

B. (- 2,0)

C. (4,0)

【解析】选 B.由 y ? ?8x ,易知焦点坐标是 (?

p , 0) ? (?2, 0) ,故选 B. 2

15. (2009 广东高考)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,且 G 上一点到 2

G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为
【解析】 e ?



x2 y2 3 ? ? 1. , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 36 9 2

答案:

x2 y2 ? ? 1. 36 9

16. (2009 福建高考)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p ? ________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? y 2 ? 2 px p p2 ? 2 【解析】由题意可知过焦点的直线方程为 y ? x ? ,联立有 ? ? 0 ,又 p ? x ? 3 px ? 2 4 ?y ? x ? ? 2

AB ? (1 ? 12 ) (3 p)2 ? 4 ?
答案:2.

p2 ?8? p ? 2。 4

17. ( 2009 辽宁高考)已知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 4 12

PF ? PA 的最小值为



【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0),于是由双曲线性质 |PF|-|PF′|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9, 当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 答案:9 18. (2009 北京高考) 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 , 点 P 在椭圆上, 若 | PF1 |? 4 , 则 | PF2 |? _________; 9 2

?F1PF2 的小大为__________.
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. ∵a ? 9, b ? 3 ,∴c ? a ? b ? 9 ? 2 ? 7 ,
2 2

2

2

∴ F1 F2 ? 2 7 , 又 PF 1 ? 4, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 6 ,∴ PF2 ? 2 ,

又由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ?

22 ? 42 ? 2 7 2? 2? 4
?
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?

?

2

1 ?? , 2

? ∴?F 1PF 2 ? 120 ,故应填 2, 120 .

答案: 2 120?

x2 y2 19. (2009 上海高考)已知 F1 、 F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一 a b
点,且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF
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?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 【解析】依题意,有 ?| PF1 | | PF2 |? 18 ,可得 4c2+36=4a2, ? 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c
即 a2-c2=9,故有 b=3。 答案:3

x2 y 2 20. (2009 重庆高考)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) , a b

若椭圆上存在一点 P 使

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为 ? sin PF1F2 sin PF2 F1 PF2 PF1 ? sin PF1F2 sin PF2 F1



【解析】方法 1,因为在 ?PF1 F2 中,由正弦定理得

则由已知,得

a c ,即 aPF1 ? cPF2 ? PF2 PF1

设点 P ( x0 , y0 ) ,由焦点半径公式,得 PF 1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 则 a(a ? ex0 ) ? c(a ? ex0 ) 记得 x0 ?

a(c ? a) a(e ? 1) a(e ? 1) 由椭圆的几何性质知 x0 ? ?a则 ? ? ?a , e(c ? a) e(e ? 1) e(e ? 1)

整理得 e2 ? 2e ? 1 ? 0, 解得 e ? ? 2 ?1或e ? 2 ?1 ,又e ? (0,1) , 故椭圆的离心率 e ? ( 2 ?1,1) 方法 2 由方法 1 知 PF1 ?

c PF2 由椭圆的定义知 a

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c 2a 2 PF1 ? PF2 ? 2a则 PF2 ? PF2 ? 2a即PF2 ? ,由椭圆的几何性质知 a c?a PF2 ? a ? c, 则
答案:

2a 2 ? a ? c,即c 2 ? 2ac ? a 2 ? 0, 所以 e2 ? 2e ? 1 ? 0, 以下同解析 1. c?a

?

2 ? 1,1

?

21.(2009 湖南高考)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为端点的四边形中, 有一个内角为 60°,则双曲线 C 的离心率为________. 【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形,由条件知,这个三角形的两直角边分别是 b, c (b 是 虚半轴长, c 是焦半距 ) ,且一个内角是 30 ,即得
?

b ? tan 30? ,所以 c ? 3b ,所以 a ? 2b ,离心率 c

e?

c 3 6 . ? ? a 2 2
6 2

答案:

x2 y 2 2 2 2 22.(2009 湖南高考)过双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点作圆 x ? y ? a 的两条切线, a b
切点分别为 A,B,若 ?AOB ? 120 (O 是坐标原点) ,则双曲线线 C 的离心率为 .

【解析】 答案:2.

?AOB ? 120 ? ?AOF ? 60 ? ?AFO ? 30 ? c ? 2a , ? e ?

c ? 2. a

23.(2009 四川高考)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离是 【解析】焦点 F (1,0) ,准线方程 x ? ?1 ,∴ 焦点到准线的距离是 2 答案:2 24. (2009 安徽高考) 点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 直线 l2 与直线 l1 :

.

x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? , 0 ? ? ? . 2 2 a b

x0 y0 x? 2 y ? 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? . 2 a b

(I)证明: 点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与直线 l1 的唯一交点; a 2 b2

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(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.

【解析】 (I)方法一:由

x0 y0 x2 y 2 b2 2 x ? y ? 1 ? ? 1, 得 代入椭圆 y ? ( a ? x x ), 0 a2 b2 a 2 b2 a 2 y0

得(

1 b2 x0 2 2 2b2 x0 b2 ? ) x ? x ? ( ? 1) ? 0 . a 2 a 4 y02 a 2 y02 y02

将?

? x0 ? a cos ? 2 2 2 代入上式,得 x ? 2a cos ? ? x ? a cos ? ? 0, 从而 x ? a cos ? . y ? b sin ? ? 0

? x2 y 2 ? ?1 ? ? x ? x0 ? a 2 b2 因此,方程组 ? 有唯一解 ? ,即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P. y ? y x y 0 ? ? 0 x ? 0 y ?1 ? b2 ? a2

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方法二: 显然 P 是椭圆与 l1 的交点, 若 Q (a cos ?1 , b sin ?1 ),0 ? ?1 ? 2? 是椭圆与 l1 的另外交点, 代入 l1 的 方程

cos ? sin ? x? y ? 1 ,得 cos ? cos ?1 ? sin ? sin ?1 ? 1, a b

即 cos(? ? ?1 ) ? 1, ? ? ?1 , 故 P 与 Q 重合。

方法三:在第一象限内,由

x2 y 2 b 2 b 2 a ? x 2 , y0 ? a ? x0 2 , ? 2 ? 1 可得 y ? 2 a a a b
bx0 a a 2 ? x0 2 b 2 x0 ?? 2 , a y0

椭圆在点 P 处的切线斜率 k ? y ?( x0 ) ? ?

切线方程为 y ? ?

xx y y b2 x0 ( x ? x0 ) ? y0 , 即 02 ? 02 ? 1 。 2 a b a y0

因此, l1 就是椭圆在点 P 处的切线。 根据椭圆切线的性质,P 是椭圆与直线 l1 的唯一交点。

x0b2 y0 a 2 a y0 b (II) tan ? ? ? tan ? , l1 的斜率为 ? , l2 的斜率为 tan ? ? ? tan ? , x0 a y0 a 2 x0b2 b
由此得 tan ? tan ? ? tan 2 ? ? 0, tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列。

25.(2009 福建高考)已知 A,B 分别为曲线 C:

x2 2 + y =1(y ? 0,a>0)与 x 轴的左、右两个交点, 2 a

直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直,S 为 l 上异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T. (Ⅰ)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 AB 的三等分点,试求出点 S 的坐标; (II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线?

若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。 【解析】方法一:(Ⅰ )当曲线 C 为半圆时, a ? 1, 如图,由点 T 为圆弧 AB 的三等分点得 ∠ BOT=60° 或 120° . (1)当∠ BOT=60° 时, ∠ SAB=30° . 又 AB=2,故在△ SAB 中,有 SB ? AB ? tan 30? ?
? ? ? ? ,? s (1, ); ? ? 2 3 )或S(1,2 3) 3

(2)当∠ BOT=120° 时,同理可求得点 S 的坐标为 (1, 2 3) ,综上, S (1,

(Ⅱ )假设存在 a ( a ? 0) ,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上,故 BT ? OS . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? a ) .

? x2 2 ? ? y ?1 得(1 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 k 2 x ? a 4 k 2 ? a 2 ? 0 由 ? a2 ? y ? k ( x ? a) ?

设点 T ( xT , yT ),? xT (?a) ? 即T(

a4 k 2 ? a2 a ? a3 k 2 2ak 故 ,从而 y T ? k ( xT ? a) ? . , x ? T 1 ? a2 k 2 1 ? a2 k 2 1 ? a2 k 2

a ? a3k 2 2ak , ). 1 ? a2 k 2 1 ? a2 k 2 ?2a3k 2 2ak B(a,0),? BT ? ( , ) 2 2 1 ? a k 1 ? a2 k 2
T M

?x ? a 由? 得 s(a,2ak ),?OS ? (a,2ak ). ? y ? k ( x ? a)

由 BT ? OS ,可得 BT ? OS ?

?2a4 k 2 ? 4a2 k 2 ? 0 即 ?2a 4 k 2 ? 4a 2 k 2 ? 0 1 ? a2 k 2

k ? 0, a ? 0,? a ? 2
经检验,当 a ? 2 时,O,M,S 三点共线.故存在 a ? 2 ,使得 O,M,S 三点共线. 方法二:(Ⅰ )同方法一. (Ⅱ )假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故 SM ? BT . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 K>0,可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? a )
? x2 2 ? ? y ?1 得(1 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 3 k 2 x ? a 4 k 2 ? a 2 ? 0 由 ? a2 ? y ? k ( x ? a) ?

a4 k 2 ? a2 . 1 ? a2 k 2 a ? a3k 2 2ak a ? a3 k 2 2ak 故 xT ? , 从而yT ? k ( xT ? a) ? 亦即T ( ? ). 2 2 2 2 2 2 1? a k 1? a k 1 ? a k 1 ? a2 k 2 yT 1 B (a, 0),? k BT ? ? ? 2 , 故kSM ? a 2 k xT ? a a k
设点 T ( xT , yT ) ,则有 xT ? (?a) ?
?x ? a 得S(a,2ak),所直线 SM 的方程为 y ? 2ak ? a2 k ( x ? a) 由? ? y ? k ( x ? a)

O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 ?2ak ? a 2 k (?a) .

a ? 0, K ? 0,? a ? 2 故存在 a ? 2 ,使得 O,M,S 三点共线.

2008 年考题

1. (2008 海南宁夏高考)已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2, ? 1) 的距离与点 P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( A. ? , ? 1? ) D. (1 , ? 2)

?1 ?4

? ?

B. ? , 1?

?1 ? ?4 ?

C. (1 , 2)

【解析】选 A 点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图,

PF ? PQ ? PS ? PQ ,故最小值在 S , P, Q 三点共线时取得,
此时 P, Q 的纵坐标都是 ?1 ,所以选 A(点 P 坐标为 ( , ?1) ) 。

1 4

2. (2008 海南、宁夏高考)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2
C. 3 3



A. 3 2

B. 4 2

D. 4 3

【解析】选 D.由双曲线方程得 a2 ? 10, b2 ? 2 ?c2 ? 12 ,于是 c ? 2 3,2c ? 4 3 ,选D. 3. (2008 山东高考)设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 13


的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( (A)

x2 y2 ? ?1 4 2 32

(B)

x2 y2 ? ?1 132 5 2 x2 y2 ? ?1 132 122

(C)

x2 y2 ? ?1 32 4 2

(D)

【解析】选 A.本题考查椭圆、双曲线的标准方程。对于椭圆 C1 , a ? 13, c ? 5, 曲线 C2 为双曲线, c ? 5, a ? 4 , b ? 3, 标准方程为:

x2 y2 ? ? 1. 42 32

4. (2008 山东高考)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个 焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为
2 2



【解析】本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆 C : x ? y ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0

0), (4, 0), y ? 0 ? x2 ? 6x ? 8 ? 0, 得圆 C 与坐标轴的交点分别为 (2,

x2 y 2 ? ?1。 则 a ? 2, c ? 4, b ? 12, 所以双曲线的标准方程为 4 12
2

x2 y 2 答案: ? ?1 4 12
5. (2008 江苏高考)在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为 a 2 b2


a2 , 0) 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = 半径作圆,过点 P ( c
【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。 如图,切线 PA, PB 互相垂直,又 OA ? PA ,所以 ?OAP 是

等腰直角三角形,故

a2 c 2 ? 2a ,解得 e ? ? 。 c a 2

答案:

2 2

6. (2008 海南宁夏高考)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 平行于双曲线的一条 9 16


渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为

【解析】双曲线的右顶点坐标 A(3, 0) ,右焦点坐标 F (5, 0) ,设一条渐近线方程为 y ?

4 x, 3

4 ? y ? ( x ? 5) ? 32 ? 3 建立方程组 ? 2 ,得交点纵坐标 y ? ? ,从而 S 2 15 ?x ? y ?1 ? ? 9 16
答案:

AFB

?

1 32 32 ? 2? ? 2 15 15

32 15

7. (2008 海南宁夏高考)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 5 4

为坐标原点,则△OAB 的面积为______________
2 2 ? ?4 x ? 5 y ? 20 ? 0 ?5 4? 【解析】将椭圆与直线方程联立: ? ,得交点 A ? 0, ?2 ? , B ? , ? ; ?3 3? ? ? y ? 2 ? x ? 1?

故 SOAB ? 答案:

1 1 4 5 ? OF ? y1 ? y2 ? ?1? ? 2 ? ; 2 2 3 3

5 3

2007 年考题 1、 (2007 海南宁夏高考) 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ) ,P ,y3 ) 1 ( x1 3 ( x3 在抛物线上,且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3
2


2

B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2

? FP3

2

? FP · FP3 1

【解析】选 C.由抛物线定义, 2( x2 ?

p p p ) ? ( x1 ? ) ? ( x3 ? ), 即: 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 . 2 2 2

2、 (2007 全国Ⅰ)已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 A. 4 12

x2 y 2 ? ?1 B. 12 4

x2 y 2 ? ?1 C. 10 6

x2 y 2 ? ?1 D. 6 10

【解析】选 A。已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则 c=4,a=2, b 2 ? 12 ,双曲线方程



x2 y 2 ? ?1. 4 12 x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点。 若双曲线上存在点 A, 使∠F1AF2=90? , a 2 b2

3、 (2007 全国Ⅱ) 设 F1, F2 分别是双曲线 且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为 (A)

5 2

(B)

10 2

(C)

15 2

(D)

5

【解析】选 B。设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使∠ F1AF2=90? , a 2 b2
2 2

2c ? | AF1 | ? | AF2 | ? 10 , 且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中 2a ?| AF 1 | ? | AF 2 |? 2 ,
∴ 离心率 e ?

10 . 2


4、 (2007 全国Ⅱ)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2 c 3 . ? a 2

【解析】选 D。已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,∴ a ? 2b ,椭圆的离心率 e ?

y2 5、 (2007 全国Ⅱ) 设 F1,F2 分别是双曲线 x ? 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且 PF ? 1 的左、 1 PF 2 ? 0, 9
2

则 PF1 ? PF2 ? ( A. 10

) C. 5
2

B. 2 10

D. 2 5

【解析】选 B。设 F1,F2 分别是双曲线 x ? 则 PF1 ? PF2 ? 2 | PO | = | F 1F 2 |? 2 10 .

y2 ? 1的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 PF1 PF2 ? 0 , 9

6、 (2007 安徽高考)椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为(



(A)

3 2

(B)

3 4

(C)

2 2

(D)

2 3

【解析】选 A。椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 中, a ? 1, b ?

1 3 3 ,∴c ? ,离心率为 . 2 2 2

7、 (2007 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为

x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为(
A. 5 【解析】选 A.由



B.

5 2

C. 3

D. 2

a 1 c ? 得b ? 2a c ? a 2 ? b 2 ? 5a , e ? ? 5 . b 2 a

x2 y 2 ? ? 1 错误!未找到引用源。的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的 8、 (2007 福建高考)以双曲线 9 16
圆的方程是 A 错误!未找到引用源。 C 错误!未找到引用源。 B 错误!未找到引用源。 D 错误!未找到引用源。

【解析】选 A.右焦点即圆心为(5,0) ,一渐近线方程为 y ? 方程为 ( x ? 5) ? y ? 16 ,即 A 错误!未找到引用源。.
2 2

4 | 20 ? 0 | x ,即 4 x ? 3 y ? 0 , r ? ? 4 ,圆 3 5

x2 y 2 1 0) , 方 程 9、 ( 2007 江 西 高 考 ) 设 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? , 右 焦 点 为 F (c, 2 a b
ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) (


A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 【解析】选 A.由 e ?

B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

1 c b 3 c 1 = 得 a=2c,b= 3c ,所以 x1 ? x 2 ? ? , x1 x2 ? ? ,所以点 P( x1,x2 ) 2 a a 2 a 2
2 2

到圆心(0,0)的距离为 x1 ? x2 ?

( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ?

3 7 ?1 ? ? 2 ,所以点 P 在圆内. 4 4

y2 ? 1 上 的 一 点 , F1,F2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 若 10 、 ( 2007 辽 宁 高 考 ) 设 P 为 双 曲 线 x ? 12
2

| PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF1F2 的面积为(
A. 6 3 B. 12 C. 12 3

) D. 24

【解析】选 B.因为 | PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,设 | PF 1 |? 3x, | PF 2 |? 2 x , 根据双曲线定义得 | PF 1 | ? | PF 2 |? 3x ? 2 x ? x ? 2a ? 2 ,
2 2 2 所以 | PF 1 |? 6, | PF 2 |? 4, | F 1 F2 |? 2 13 ,∵ (2 13) ? 52 ? 6 ? 4 ,

∴ △PF1F2 为直角三角形,其面积为 11、 (2007 辽宁高考)双曲线 A. (? 7, 0) , ( 7, 0) C. (?5, 0) , (5, 0)

1 ? 6 ? 4 ? 12 . 2


x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为( 16 9
B. (0, ? 7) , (0,7) D. (0, ? 5) , (0, 5)

【解析】选 C.因为 a=4,b=3,所以 c=5,所以焦点坐标为 (?5, 0) , (5, 0) . 12、 (2007 陕西高考)抛物线 x 2 ? y 的准线方程是( (A)4y+1=0 【解析】选 A .P= (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 ) (D)2x+1=0

1 P 1 ,准线方程为 y= ? ? ? ,即 4 y ? 1 ? 0 . 2 2 4

a2 y2 13、 (2007 陕西高考)已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的浙近线相切 c b
的圆的半径是( A. ab ) B. a ? b
2 2

C.a

D.b

【解析】选 D.圆的半径是(C,0)到渐近线 y ?

| bc ? a ? 0 | bc b x 的距离,所以 R= ? ? b. a c b2 ? a2

14、 (2007 广东高考)在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1) 。若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是______;

【解析】OA 的垂直平分线的方程是 y答案: x ?
5 . 4

1 5 ? ?2( x ? 1) ,令 y=0 得到 x= . 2 4

15、 (2007广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4), 则该抛物线的方程是 .
2

2 【解析】设所求抛物线方程为 y 2 ? ax ,依题意 4 ? 2a ? a ? 8 ,故所求为 y ? 8x .

答案: y ? 8x
2

16、 (2007 山东高考)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点,FA
? 与 x 轴正向的夹角为 60 ,则 OA 为________.

【解析】过 A 作 AD ? x 轴于 D,令 FD ? m ,则 FA ? 2m , p ? m ? 2m , m ? p 。

p 21 ? OA ? ( ? p)2 ? ( 3 p)2 ? p. 2 2
答案:

21 p 2

17、 (2007 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,

顶点 B 在椭圆

x2 y2 sin A ? sin C ? ________. ? ? 1 上,则 sin B 25 9
b=2×4=8

【解析】利用椭圆定义和正弦定理 得 a ? c ? 2 ? 5 ? 10

sin A ? sin C a ? c 10 5 ? ? ? sin B b 8 4 5 答案: 4

x2 y 2 ? ? 1 ,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物 18、 (2007 上海高考)已知双曲线 4 5
线方程为 _____

x2 y 2 【解析】双曲线 ? ? 1 的中心为O(0,0),该双曲线的左焦点为F(-3,0)则抛物线的顶点为 4 5
(-3,0),焦点为(0,0),所以p=6,所以抛物线方程是 y 2 ? 12( x ? 3) 答案: y 2 ? 12( x ? 3)

19、 (2007 上海高考)以双曲线 是 【解析】双曲线 .

x2 y2 ? ? 1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程 4 5

x2 y 2 ? ? 1 的中心为O(0,0),该双曲线的右焦点为F(3,0)则抛物线的顶点为(0,0), 4 5

焦点为(3,0),所以p=6,所以抛物线方程是) y 2 ? 12 x . 答案: y 2 ? 12 x 20、 (2007 福建高考) 已知正方形 ABCD, 则以 A、 B 为焦点, 且过 C、 D 两点的椭圆的离心率为__________; 【解析】设 c=1,则

b2 c 1 ? 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a ? a ? 1 ? 2 ? e ? ? ? 2 ?1 , a a 2 ?1

答案: 2 ? 1 21、 (2007 福建高考)已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 。

【解析】由已知 C=2,

b2 c 2 1 ? 3 ? b 2 ? 3a ? a 2 ? 4 ? 3a ? a ? 4, e ? ? ? a a 4 2

答案:

1 2

22、 (2007 海、宁高考)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐 近线的距离为 6,则该双曲线的离心率为________.

y
C B

【解析】如图,过双曲线的顶点 A、焦点 F 分别 向其渐近线作垂线,垂足分别为 B、C,则

O
A F

x

| OF | | FC | c 6 ? ? ? ? 3. | OA | | AB | a 2
答案:3 23、 (2007 重庆高考)过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 105 的直线,交双曲线于 P、Q 两点,
2 2
0

则|FP| ? |FQ|的值为__________. 【解析】

F (2 2,0), k ? tan1050 ? ?(2 ? 3). ?l : y ? ?(2 ? 3)( x ? 2 2).

代入 x 2 ? y 2 ? 4 得: (6 ? 4 3) x2 ? 4 2(7 ? 4 3) x ? 60 ? 32 3 ? 0. 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ). ? x1 ? x2 ?

4 2(7 ? 4 3) 60 ? 32 3 , x1 ? x2 ? . 6?4 3 6?4 3

2 2 又 | FP |? 1 ? k | x1 ? 2 2 |,| FQ |? 1 ? k | x2 ? 2 2 |,

?| FP | ? | FQ |? (1 ? k 2 ) | x1 x2 ? 2 2( x1 ? x2 ) ? 8 | ? (8 ? 4 3)? | ? 60 ? 32 3 16(7 ? 4 3) ? ?8| 6?4 3 6?4 3

(8 ? 4 3) ? 4 8 3 ? . 3 6?4 3

答案:

8 3 3

24、 (2007 上海高考)我们把由半椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 ( x ≤ 0 ) 合成的曲线 ( x ≥ 0 ) 与半椭圆 a2 b2 b2 c2

称作“果圆”,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 , a ? 0 , b ? c ? 0 . 如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, M 是线段

A1 A2 的中点.
(1)若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求该 “果圆”的方程;

y
B2

y x (2)设 P 是“果圆”的半椭圆 2 ? 2 ? 1 b c
( x ≤ 0 ) 上任意一点.求证:当

2

2

A1

.F . . O M . F
2

0

A2

x

PM 取得最小值时,

F1

P 在点 B1,B2 或 A1 处;
(3)若 P 是“果圆”上任意一点,求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标.
0), F1 0, ? b2 ? c 2 , F2 0, b2 ? c 2 , 【解析】 (1)? F0 ( c,

B1

?

?

?

?

?

F0 F2 ?

?b

2

? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1 ,

3 7 于是 c2 ? , a2 ? b2 ? c2 ? , 4 4 4 4 所求“果圆”方程为 x2 ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) . 7 3
y ) ,则 (2)设 P ( x,

a?c? ? 2 | PM | ? ? x ? ? ?y 2 ? ?
2

2

? b2 ? ( a ? c )2 ? ? 1 ? 2 ? x2 ? ( a ? c ) x ? ? b2, ? c ≤ x ≤ 0 , c 4 ? ?

? 1?

b2 ? 0 ,? | PM | 2 的最小值只能在 x ? 0 或 x ? ?c 处取到. 2 c

即当 PM 取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处. ( 3 ) ? | A1 M |?| MA2 | , 且 B1 和 B2 同 时 位 于 “ 果 圆 ” 的 半 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 和 半 椭 圆 a 2 b2 y 2 x2 x2 y 2 P 上,所以,由( 2 )知,只需研究 位于 “ 果圆 ” 的半椭圆 ? ? 1 ( x ≤ 0) ? ? 1( x ≥ 0) 上的情形 b2 c 2 a 2 b2

即可.

c2 ? a 2 (a ? c) ? (a ? c) 2 a 2 (a ? c) 2 a?c? ? 2 2 ? x ? ? b ? ? . | PM | ? ? x ? ? y ? ? ? 4 a2 ? 2c 2 ? 4c 2 2 ? ?
2

2

2

当 x?

a (a ? c) a 2 ( a ? c) 2 时取到,此时 P 的横坐标是 ≤ a , 即 a ≤ 2c 时 , | PM | 的 最 小 值 在 x ? 2 2c 2c 2
2

a 2 (a ? c) . 2c 2 a 2 (a ? c) ? a ,即 a ? 2c 时,由于 | PM | 2 在 x ? a 时是递减的, 当x ? 2 2c

| PM | 2 的最小值在 x ? a 时取到,此时 P 的横坐标是 a .
综上所述,若 a ≤ 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 若 a ? 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a . 25、 (2007 广东高考)在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线

a 2 (a ? c) ; 2c 2

y ? x 相切于坐标原点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , 使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长. 若存在, 请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x 相 切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则 又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 联立方程① 和② 组成方程组解得

m?n 2

=2 2

即 m ? n =4 ②



m2+n2=8

?m ? ?2 ? ?n ? 2
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

(2) a =5,∴ a2=25,则椭圆的方程为 25 +

x

2

y
9

2

=1

其焦距 c= 25 ? 9 =4,右焦点为(4,0),那么 OF =4。 要探求是否存在异于原点的点 Q, 使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长度 4, 我们可以转化为探求以 右焦点 F 为顶点,半径为 4 的圆(x─4)2+y2=16 与(1)所求的圆的交点数。

12 4 ,y= 5 5 4 12 即存在异于原点的点 Q( , ),使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长。 5 5
通过联立两圆的方程解得 x=


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